1.1, problema de programação linear
Na prática de produção das pessoas, elas freqüentemente encontram o problema de como usar os recursos existentes para organizar a produção a fim de obter o máximo de benefícios econômicos. Tais problemas constituem um ramo importante da programação matemática de pesquisa operacional, e a programação linear (Programação Linear abreviada como LP) é um ramo importante da programação matemática. Desde que GBDantzig propôs o método simplex para resolver a programação linear em 1947, a programação linear tornou-se mais madura na teoria e tornou-se mais extensa e profunda na prática. Especialmente depois que o computador pode lidar com a programação linear com milhares de restrições e variáveis de decisão, a aplicação da programação linear se tornou mais extensa e se tornou um dos métodos básicos freqüentemente usados na gestão moderna.
1.1.1 Exemplos e definições de programação linear
Exemplo 1.1 Uma fábrica de máquinas-ferramenta produz dois tipos de máquinas-ferramenta, A e B, e o lucro após a venda de cada máquina é de 4.000 yuans e 3.000 yuans, respectivamente. A produção da máquina-ferramenta A precisa ser processada pelas máquinas A e B, e o tempo de processamento é de 2 horas e 1 hora para cada máquina, respectivamente; a produção da máquina-ferramenta B precisa ser processada pelas máquinas A, B e C, e o tempo de processamento é de uma hora para cada máquina. Se o
número de horas de máquina disponíveis para processamento por dia for 10 horas para a máquina A, 8 horas para a máquina B e 7 horas para a máquina C, quantas máquinas-ferramenta a fábrica deve produzir para maximizar o lucro total?
O modelo matemático do problema acima: suponha que o lucro total z seja o maior quando a fábrica produz x1 máquina A e x2 máquina B, então x1 e x2 devem atender:
As variáveis x1, x2 são chamadas de variáveis de decisão, a fórmula (1.1) é chamada de função objetivo do problema e várias desigualdades em (1.2) são as restrições do problema, denotadas como st (sujeito a).
A função objetivo e as restrições são funções lineares, por isso é chamado de problema de programação linear. O problema de programação linear é um problema de encontrar a função objetivo linear máxima ou mínima sob a restrição de um conjunto de restrições lineares. Ao resolver problemas práticos, o problema é reduzido a um modelo matemático de programação linear é uma etapa muito importante, e muitas vezes é uma etapa muito difícil.O fato de o modelo ser estabelecido corretamente ou não afeta diretamente a solução. A escolha de variáveis de decisão apropriadas é uma das chaves para estabelecermos um modelo eficaz.
1.1.2 O conceito de soluções para problemas de programação linear
Onde c e x são vetores de coluna n-dimensionais, A e Aeq são matrizes de dimensões apropriadas, eb e beq são vetores de coluna de dimensões apropriadas. [ Nota: matlab é para min ]
A solução viável que satisfaz a restrição (1.4) é a solução x = [x, L, x, I, que é chamada de solução viável do problema de programação linear, e a solução viável que maximiza a função objetivo (1.3) é chamada a solução ideal.
O conjunto de regiões viáveis da região viável é chamado de solução viável para todos os problemas que consistem em, referido como R.
1.1.3 Forma padrão Matlab de programação linear e solução de software
Onde c e x são vetores de coluna n-dimensionais, A e Aeq são matrizes de dimensões apropriadas, eb e beq são vetores de coluna de dimensões apropriadas.
O comando para resolver a programação linear em Matlab é
[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)[ Nota: Estas são três maneiras diferentes de escrever. Para a forma padrão, você pode escrever o parâmetro que possui. ]
Onde x retorna o valor do vetor de decisão, fval retorna o valor ótimo da função objetivo, c é o vetor de valor, A, b correspondem a restrições de desigualdade linear, Aeq, beq correspondem a restrições de igualdade linear, lb e ub correspondem respectivamente a o vetor de limite inferior e o vetor de limite superior do vetor de decisão.
Exemplo 1.2 Resolva o seguinte problema de programação linear
O programa MATLAB para resolver é o seguinte.
f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; .
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,yl=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y1.1.4 Problemas que podem ser transformados em programação linear
1.2 Benefícios e riscos do investimento
1.2.1 Perguntas
1.2.2 Requisitos de símbolo e suposições básicas
O símbolo estipula que
si representa o i-ésimo projeto de investimento, como ações, títulos, etc., i = 0, 1, L, n, onde s0 se refere ao depósito no banco;
ri, Pi e qi representam respectivamente o rendimento médio de si, a taxa de taxa de transação, taxa de perda de risco, i = 0, L, n, onde p0 = 0, q0 = 0;
ui representa a cota de negociação de si, i = 1, L, n;
xi representa o fundos do projeto de investimento si, i = 0, 1, L, n;
a representa o grau de risco do investimento;
Q representa o retorno geral;
Premissas básicas
(1) O valor do investimento M é bastante grande. Para facilidade de cálculo, assuma M = 1;
(2) Quanto mais diversificado o investimento, menor o risco total;
(3) O risco geral é o projeto de investimento s ; o maior risco a medir;
(4) n + 1 tipos de ativos s; são independentes uns dos outros;
(5) neste período de investimento, r;, P;, q; é um valor fixo, não afetado por imprevistos fatores;
(6) A receita líquida e o risco geral são afetados apenas por r;, P;, 9; e não são afetados por outros fatores.
1.2.3 Análise e estabelecimento do modelo
Modelo 1: Fixar o nível de risco e otimizar o retorno
Ou seja, o nível de risco não excede um
Modelo 2: fixe o nível de lucro e minimize o risco
Ou seja, o benefício mínimo é k
c) Quando os investidores avaliam os riscos dos ativos e os retornos esperados, eles esperam escolher uma carteira que os satisfaça. Portanto, os pesos s (0 <s≤1) e (1-s) são atribuídos respectivamente ao risco e ao retorno es é chamado de coeficiente de preferência de investimento.
1.2.4 Solução do Modelo Um
clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1 ),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1 .045,1.065];
beq=1; LB=zeros(5,1);，
[x,Ql=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q; plot(a,Q,'*k'); .
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')1.2.5 Análise de resultados
Percebe-se que
(1) o risco é grande e o retorno também é grande.
(2) Quando o investimento é mais diversificado, o risco assumido pelos investidores é menor. Os investidores de risco terão investimento concentrado, enquanto os investidores conservadores diversificarão seus investimentos tanto quanto possível.
(3) Há um ponto de inflexão próximo a = 0,006. À esquerda deste ponto, quando o aumento do risco é pequeno, os lucros aumentam rapidamente. Do lado direito deste ponto, quando o risco aumenta muito, o lucro aumenta muito lentamente. Portanto, para investidores que não têm preferência especial por risco e retorno, o ponto de viragem da curva deve ser selecionado como a carteira ótima, que é cerca de a = 0,6%. Q = 20%, o plano de investimento correspondente é grau de risco a = 0,006, retorno Q = 0,2019, x, = 0, x = 0,24, x, = 0,4, X3 = 0,1091, x4 = 0,2212.
Fonte de aprendizagem: