Geodésico é encontrar a distância mais curta entre dois pontos na superfície de um objeto tridimensional. As aplicações específicas das linhas geodésicas são bastante amplas, como o projeto de hidrovias de aeronaves e navios. Em primeiro lugar, sabemos que o segmento de reta entre dois pontos no plano bidimensional é o mais curto, mas se você mudar para tridimensional, isso não pode ser alcançado, porque você não pode penetrar no objeto para encontrar a distância mais curta. Portanto, temos que encontrar uma maneira de encontrar a distância mais curta na superfície. Como a superfície curva é ligeiramente abstrata e há muitos caminhos que tornam as pessoas difíceis de manejar, parece difícil de encontrar.
Na verdade, imagine um pedaço de papel (supondo que sua espessura seja insignificante). Você pode achatá-lo para torná-lo em um estado bidimensional absoluto ou dobrá-lo em formas diferentes para torná-lo em um estado tridimensional. Se você pensar dessa forma, as coisas ficarão mais simples. Supondo que o papel, independentemente da espessura, esteja nivelado e que haja dois pontos no papel em posições diferentes, você pode encontrar facilmente a menor distância entre os dois pontos. Então, você dobra o papel em formas diferentes.Embora as faces sejam diferentes neste momento, a distância mais curta entre os dois pontos ainda é a linha original: porque a área da face permanece a mesma, não importa como ela seja dobrada.
Portanto, a chave para encontrar a linha geodésica é a etapa de transformar a superfície em um plano. O termo em cálculo é chamado de parametrização, então não vou explicar muito. Depois de parametrizar a superfície em uma superfície bidimensional, podemos obter a derivada por cálculo e, finalmente, converter a bidimensional de volta para tridimensional.
Expressão matemática da linguagem
A equação geodésica
Em uma variedade Riemanniana M com tensor métrico g , o comprimento L de uma curva continuamente diferenciável γ: [ a , b ] → M é definido por
Outra forma equivalente de definir geodésicas em uma variedade Riemanniana é defini-las como os mínimos da ação seguinte ou funcional de energia
As equações de movimento de Euler-Lagrange para o funcional E são dadas em coordenadas locais por
Onde
os símbolos de Christoffel da métrica
são os símbolos de Christoffel da métrica. Esta é a equação geodésica.
Expressão geométrica intuitiva
Paráfrase
1. ADJ relacionado a ou envolvendo a geometria de superfícies curvas 曲面 几何学 的 (Veja também geodésico, geodésico)
2. Na linha mais curta entre dois pontos em uma superfície curva ou plana 短程 线 (também chamada de linha geodésica)
A existência de infinitas geodésicas fechadas de uma variedade Riemanniana compacta não simplesmente conectada.
Existe um problema com a existência de um número infinito de linhas geodésicas fechadas em uma variedade Riemanniana compacta não conectada individualmente?
Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.
测地线在光滑曲面上有很好的几何性质，也有相应的测地线偏微分方程表达以及一些解析的方法来求解。
参考资料
Geodesic Deviation：https://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/GeodesicDeviation.htm
https://www.zhihu.com/question/22274518/answer/42849207
https://www.markushanke.net/tag/geodesic-equation/