[Descrição do problema]
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matriz n dada {A1, A2, ..., An}, em que Ai e Ai + 1 é multiplicativo, i = 1,2 ..., N-1. Como determinar a ordem de computação da matriz até mesmo calcular o produto, de modo que, mesmo neste fim calcular o produto multiplicação de matrizes do número mínimo exigido.
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Por exemplo:
A1 é A (5 * 10) da matriz;A2 é A (10 * 15) da matriz;
A representa A3 (2 * 15) da matriz;
então existem duas cálculos:
1. (A1A2) A3
2. A1 (A2A3)
um primeiro número de multiplicações é: 10 * 5 * 5 * 15 + 15 * 2 = 900
para um segundo número de multiplicações é: 10 * 15 * 5 * 2 + 10 * 2 = 400
, obviamente, a melhor ordem é (A1A2) A3, o número de multiplicações de 400 vezes. -
A multiplicação de matrizes cadeia Descrição do problema:
Dada uma sequência de n matrizes de {A1, A2, ..., An }, um produto de A1A2 ... An, para encontrar o mais sequência Xiao Chengfa multiplicando o número de ordem, isto é, método suportado. -
ideias de resolução de problemas de programação dinâmica
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Para encontrar a subestrutura ótima
seqüência do A1A2 produto ... Uma métodos arbitrários são enquadradas é dividido em duas partes em um determinado lugar, que é o último lugar uma multiplicação cálculo, vamos lembrar este local como k, que é calculado primeiro A1 ... Ak e Ak + 1 ... Um, então a multiplicação resultados das duas partes.
subestrutura óptima: A1A2 ... Uma suposição de um produto óptimo nos suportes Ak e Ak + 1 quarto separadas, a filha prefixo cadeia A1 ... Ak parênteses forma de realização é necessariamente uma óptima A1 ... Ak parênteses sufixo cadeias de empatia.
Inicialmente não saber a localização exata de k, precisamos percorrer todos garantidos para encontrar a posição certa para ser dividido ainda pela matriz k. -
O estabelecimento de uma relação recursiva
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Construindo mesa de apoio, a solução de sub-problema de sobreposição
a partir do segundo passo do processo recursivo pode ser encontrada nas soluções têm uma série de sobreposição de sub-problemas podem ser uma dimensão n * n mesa auxiliar m [N] [N] s [n] [ n] representam, respectivamente, o custo do produto e a sua posição óptima segmentação k.
mesa auxiliar s [n] [n] é construído de uma folha de baixo para cima, este método requer os passos para completar a solução de sub-problema de uma maneira crescente, isto é, para calcular o comprimento de toda a solução de matriz de cadeia de 2, e, em seguida, calcular o comprimento da 3 matriz de cadeia, até que o comprimento de n. -
exemplo:
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Construção de mesa auxiliar:
ordem de cálculo:
cálculo:
m [i] [J] Resultados do cálculo:
S [I] [J] Os resultados dos cálculos:
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De baixo para cima resultado intermediário recursiva e excepto a matriz bidimensional para evitar a dupla contagem
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código do núcleo:
void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length)
{
int n=length-1;
int l,i,j,k,q=0;
//m[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
for(i=1;i<length;i++)
{
m[i][i]=0;
}
//l表示矩阵链的长度
// l=2时，计算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (长度l=2的链的最小代价)
for(l=2;l<=n;l++)
{
for(i=1;i<=n-l+1;i++)
{
j=i+l-1; //以i为起始位置，j为长度为l的链的末位，
m[i][j]=0x7fffffff;//先假定最小代价为int类型所能取到的最大值
//k从i到j-1,以k为位置划分
for(k=i;k<=j-1;k++)
{
q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q<m[i][j])
{
m[i][j]=q;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
cout << "最小的次数为：\n"<<m[1][N-1] << endl;
}
void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
{
if(i==j)
{
cout<<"A"<<i;
}
else
{
cout<<"(";
PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
cout<<")";
}
}
- O código-fonte completo:
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=7;
//p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度
//所以如果有六个矩阵，每个矩阵的行和最后一个矩阵的列，所以length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，s为存储选择最优结果路线的
//二维矩阵
void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length)
{
int n=length-1;
int l,i,j,k,q=0;
//m[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
for(i=1;i<length;i++)
{
m[i][i]=0;
}
//l表示矩阵链的长度
// l=2时，计算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (长度l=2的链的最小代价)
for(l=2;l<=n;l++)
{
for(i=1;i<=n-l+1;i++)
{
j=i+l-1; //以i为起始位置，j为长度为l的链的末位，
m[i][j]=0x7fffffff;//先假定最小代价为int类型所能取到的最大值
//k从i到j-1,以k为位置划分
for(k=i;k<=j-1;k++)
{
q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q<m[i][j])
{
m[i][j]=q;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
cout << "最小的次数为：\n"<<m[1][N-1] << endl;
}
void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
{
if(i==j)
{
cout<<"A"<<i;
}
else
{
cout<<"(";
PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
cout<<")";
}
}
int main()
{ int p[N],x,i;
int m[N][N],s[N][N];
cout<<"请依次输入每个矩阵的行和最后一个矩阵的列数："<<endl;
for(i=0;i<N;i++)
cin>>p[i];
MatrixChainOrder(p,m,s,N);
PrintAnswer(s,1,N-1);
return 0;
}
- tiro Run:
parte do mapa da Internet.
