알고리즘 설계 및 분석 [0009] 동적 프로그래밍 (II) (최대 합계 / 제품 부분 배열)

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　이 문서 (53) 최대 부분 배열 및 152 부분 배열 최대 제품 분할 및 하위 문제 해결 : 동적 프로그래밍 아이디어의 문제를 해결하는 열쇠의 분석.

문제 설명

• 유사한 문제를 해결하기위한 두 가지 문제는 출력 시퀀스가 ​​필요하지 않더라도, 소정의 수학적 특성 (최대 및 최대 / 상품)를 만족하는 시퀀스 주어진 서열에 해결된다.

• : 키 문구에주의를 기울여야하는 것입니다 containing at least one number그래서도 우리와 같은 특수 치료를 영감을 수있는 적어도 주어진 시퀀스 요소가있다.

53 최대 부분 배열의 문제 해결 방안

• 생각 : $ 합은 [J]를 $ 해답과 비교하여 $ 합 [N] $로 해결 시퀀스 J 요소 및 서브 문제 전에 최대 서브 세그먼트이다. 그러나, 방법 $ 합을 사용하여, [1, 2, ..., J - 1] $ $을 합계 [J]를 $ 그것을 해결? 분명히 분명히 하위 상태 전이의 문제를 해결, 최대 필드 전 J-요소 하위 세그먼트의 시작과 끝 위치를 알고 더 복잡합니다.
• 그것은 또 다른 생각을 넣습니다. 두 아이디어 : $ [j]가 $ 아이 서브 세그먼트 및 문제 해결, $의 MAX_ {1 당량 J의 당량에의 j 번째 엘리먼트의 상기 제 1 단부와 최대 서브 세그먼트이고 합계 N} (합계 [J]) $가 전체이며 가장 큰 서브 세그먼트 시퀀스. $ 합 스루 [J-1] 현재 요소와 nums [J]를 $의 j 번째 엘리먼트의 최대 서브 세그먼트이고 계산 종료 $ 합 [J] $ 될 수 $ $ 状态转移方程다음과 같다
  . $$ 합계 [j 개의 + 1 = {이 경우} nums 시작 [ J + 1] 합계 [J] LT 0 CR 합 [J] + nums [J + 1] 다른 케이스 {} 최종 $$
• 두 개의 아이디어는, 53 최대 부분 배열은 다음과 같은 답변을 :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

클래스 { 공개 : INT maxSubArray ( 벡터 < INT > & nums) { INT SizeofNums nums.size = (); 경우 (SizeofNums == 1 ) { 리턴 nums [ 0 ]; } INT의 합 [SizeofNums]; 합 [ 0 ] = nums의 [ 0 ]; 대 ( int로는 I = 1 ; i가 SizeofNums를 <; 내가 ++) { 합계 [I] = 합계 [I -1 ] < 0 ? nums [내가] 합계 [I -1 ] + nums [I]; } INT largestSum는 합계 = [ 0 ]; 위한 ( int로 I = 1 ; i가 SizeofNums를 <; 내가 ++) { 경우 (largestSum <합 [I]) { largestSum = 합계를 [I]; } } 반환 largestSum을; } };

• 얻기 위해 largestSum우리가 할 수있는 변수에 대응하는 시퀀스 startIdx끝 j 번째 엘리먼트를 기록 ( endIdx개시 위치) 및 최대 서브 세그먼트에 대응하는 서브 시퀀스 $의 nums를 [startIdx는 ... endIdx] $는 해당 순서이고; 또한, 고려 현재 상태에만 관련된 이전 상태를 , 그 취득 회피하면서, 메모리를 절약하는 대신 배열 변수를 사용할 수있는 The largest sum of the whole array시간의주기를 반복.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

클래스 해결 { 공개 : INT maxSubArray ( 벡터 < INT > & nums) { INT SizeofNums nums.size = (); 경우 (SizeofNums == 1 ) { 리턴 nums [ 0 ]; } 현재 요소 끝 부분 배열 용 // 최대 합 INT curSum nums = [ 0 ]; 전체 어레이 배열의 // 최대 합 INT largestSum = curSum; // 서브 어레이 [startIdx, endIdx] 전체 어레이의 최대 합 INT startIdx = 0 , = endIdx 0 ; 위한 ( int로 I = 1 ; i가 SizeofNums를 <; 내가 ++) { 경우 (커서 < 0 ) { 커서 nums = [I]; startIdx = 1; } 그렇지 { 커서 속도 + = nums [I]; } 인 경우 (주자> largestSum) { largestSum = 속도; endIdx = 1; } } 반환 largestSum을; } };

(152) 최대 제품 부분 배열의 문제 해결 방안

• 문제 해결 과정 이전 질문과 실질적으로 유사하지만, 해결해야 할 주요 문제는 다음 상태 전이, 즉 (j 번째 엘리먼트의 최대 제품 서브 세그먼트의 마지막 인) 방법이며,이 서브 문제에 대한 대답에 기초하여 계산된다 현재의 서브 - 문제의 결과.
• 从上一题的分析可以看出，当前子问题（以第 j 个元素为结尾的子段的max sum）的计算只需考虑上一个子问题的结果 $sum[j-1]$，$sum[j-1] < 0$，因为是加法，显然可以将子问题结果忽略；$sum[j-1] > 0$，$sum[j-1]$ 加上当前元素就是当前子问题的结果。
• 类似的问题，只不过换成乘积，子问题的求解就变得复杂了，需要考虑以下几种情况：
  • 当前元素是正数，max product可能是正正得正的情况，因为都是整数，乘积＞1，上一子问题的结果乘上当前元素即为当前子问题的答案
  • 当前元素是负数，max product可能是负负得正的情况，因此需要维护以第 j 个元素为结尾的子段的min product（很大可能是负数）
  • 另外，需要考虑上一个子问题的结果为0的情况
  • 总之，乘积的最大值为上述三种情况之一
    状态转移方程如下：
    $$ maxProducts[j+1] = max(maxProducts[j-1]*nums[j], minProducts[j-1]*nums[j], nums[j])$$
• 152. Maximum Product Subarray 解答如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

class Solution { public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int maxProducts[SizeofNums]; int minProducts[SizeofNums]; maxProducts[0] = minProducts[0] = nums[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero maxProducts[i] = max( max(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero minProducts[i] = min( min(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); } // getting the largest product for the whole array int largestProduct = maxProducts[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { if(maxProducts[i] > largestProduct) { largestProduct = maxProducts[i]; } } return largestProduct; } };

• 与上一题类似，添加额外变量，也能实现节省内存，记录子段最大乘积对应子段（$nums[startIdx, endIdx]$）的起始和终止位置。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

class Solution { public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int largestProduct = nums[0]; int leastProduct = nums[0]; // The largest product for the whole array int maxProduct = largestProduct; // subarray[startIdx, endIdx] with largest product for the whole array int startIdx = 0, endIdx = 0; // start index for largestProduct/leastProduct int startIdx_pos = startIdx, startIdx_neg = startIdx; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { int largestProduct_pre = largestProduct; int leastProduct_pre = leastProduct; // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero largestProduct = max( max(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((largestProduct_pre != nums[i]) && (largestProduct == nums[i])) { startIdx_pos = i; } // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero leastProduct = min( min(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((leastProduct_pre != nums[i]) && (leastProduct == nums[i])) { startIdx_neg = i; } if(largestProduct > maxProduct) { maxProduct = largestProduct; if(largestProduct_pre*nums[i] > leastProduct_pre*nums[i]) { startIdx = startIdx_pos; } else { startIdx = startIdx_neg; } endIdx = 1; } } 반환 maxProduct을; } };