2023 APMCM アジア太平洋コンペティション (質問 B) ガラス温室の微気候ルール | アジア太平洋大学生数学モデリング コンペティション モデリング分析、シニア Xiaolu がチームを率いて完全なコード記事とアイデアを指導

情報 2023-12-17 20:35:54 訪問数: null

私は上海交通大学で学んでいるシャオルー先輩です。これまでに 200 人以上の人々のモデリングとアイデア構築を支援してきました~
アジアを見てみましょう-パシフィックコンテストの質問B!
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完全な内容は記事の最後でご覧いただけます。

問題の再説明

質問 1: 作物のないガラス温室内の温度と風速の分布を記述する数学的モデルを確立します。温室の断面、具体的には高さ0.5メートルの位置での温度と風速の分布を示します。

質問 2: 作物が栽培されているガラス温室内の温度と風速の分布を記述する数学的モデルを作成してください。分布は、温室内の 2 つの断面で表示されます。1 つは高さ 0.5 m (植物の樹冠のレベルに相当) で、もう 1 つは高さ 0.1 m (作物の樹冠の内側) です。これらの条件が作物の最適な成長に役立つかどうかを分析します。

質問 3: 2 つのシナリオの下でガラス温室内の温度と風速の分布を提供し、それらを質問 2 の解決策と比較してください。オプション 1 では、温風の出口速度を 2m/s から 3m/s に増加します。オプション 2 では、温室ファンの位置を 1.3 メートルから 1 メートルの高さに下げることで低くなります。

質問 4: 温室ファンの数、場所、風速、吹き出し温度、仕様、さまざまな作物の影響を考慮して、ガラス温室ファンの設計をさらに最適化できる可能性を調査してください。これらの要因の分析に基づいて、改善提案が行われます。

質問 1

数値解法に差分法を使用する場合、問題 1 の数学モデルは次の手順に従って詳細に確立できます。

  1. グリッド: 温室スペースをグリッドに分割し、空間と時間で離散化します。温度を定義する T T T和速度场 v \mathbf{v} 各グリッド点における v の値。

  2. 熱伝導方程式を離散化する: 陰的差分法を使用して熱伝導方程式を離散化します。温度の場合 T T T、微分形式は次のように表すことができます:

    ρ c p Ti , j n + 1 − Ti , j n Δ t = ∇ ⋅ ( k ∇ T ) \rho c_p \frac{T_{i,j}^{n+1} - T_{i,j}^n }{\Delta t} = \nabla \cdot (k \nabla T)ρcp ΔtTi、jn+1 −Ti、jn ​=∇⋅(k∇T)

    其中， i i i和 j j j是网格索引， n n n 是时间步数， Δ t \Delta t Δt は時間ステップです。

  3. ナビエ ストークス方程式を離散化する: 陰的差分法を使用してナビエ ストークス方程式を離散化します。速度フィールドの場合 v \mathbf{v} v、微分形式は次のように表すことができます:

    ρ ( vi , j n + 1 − vi , j n Δ t + ( vi , j n ⋅ ∇ ) vi , j n ) = − ∇ pi , j n + 1 + μ ∇ 2 vi , j n + 1 + ρ g \rho \left( \frac{\mathbf{v}_{i,j}^{n+1} - \mathbf{v}_{i,j}^n}{\Delta t} + (\mathbf{v}_{i ,j}^n \cdot \example) \mathbf{v}_{i,j}^n \right) = -\example p_{i,j}^{n+1} + \mu \example^2 \ mathbf{v}_{i,j}^{n+1} + \rho \mathbf{g}r(Δtでi、jn+1 −vi、jn ​+(vi、jn ⋅∇)vi、jn )=−∇pi、jn+1 +μ∇2vi、jn+1 +ρg

  4. 圧力-速度結合: 圧力-速度結合アルゴリズム (SIMPLE アルゴリズムなど) を使用して、速度フィールドと圧力フィールドを結合します。

  5. 境界条件: 問題の説明によると、温室の片側で、温風を吹き出す速度入口条件として温室ファンに境界条件を設定します。その他の境界条件は実際の条件に応じて設定できます。

  6. 初期条件: 初期瞬間の温度フィールドと速度フィールドを設定します。

  7. 反復解: 時間と空間で反復し、離散化された方程式系に基づいて数値的に解きます。

  8. 結果分析: 各時間ステップおよび空間的位置での温度と風速のデータを収集します。高さ 0.5 メートルの断面上の分布に特に注意してください。

  9. 後処理: 可視化ツールを使用して温度と風速の等温線またはベクトル プロットを描画し、温室内の気候条件をより直感的に理解できます。 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 温室参数
length = 10  # 温室长度 (m)
width = 3    # 温室宽度 (m)
height = 2   # 温室高度 (m)

# 空间和时间离散化
dx = 0.1     # 空间步长 (m)
dt = 0.1     # 时间步长 (s)
steps = 100   # 时间步数

# 网格大小
nx = int(length / dx) + 1
ny = int(width / dx) + 1

# 初始化温度场和速度场
T = 20 * np.ones((nx, ny))  # 初始温度场
u = np.zeros((nx, ny))      # x方向速度场
v = np.zeros((nx, ny))      # y方向速度场

# 模拟主循环
for n in range(steps):
    # 更新温度场
    Tn = T.copy()
    T[1:-1, 1:-1] = Tn[1:-1, 1:-1] + dt * (k * (Tn[2:, 1:-1] - 2*Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[:-2, 1:-1]) / dx**2
                                         + k * (Tn[1:-1, 2:] - 2*Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[1:-1, :-2]) / dx**2)
    
    # 更新速度场（简化为稳态流场）
    u[1:-1, 1:-1] = 2  # 假设稳态时x方向速度为常数
    v[1:-1, 1:-1] = 0  # 假设稳态时y方向速度为0
#完整版关注文末名片获取

質問2

質問 2 の数学モデルを確立する際には、温室内の作物の状況をより詳細に考慮する必要があります。より詳細な手順は次のとおりです。

  1. 熱伝導方程式:

    • モデル形式: 3 次元の熱伝導方程式を使用して、作物による温室内の熱の吸収と放出を考慮して、温室内の温度の変化を記述します。
      ρ c p ∂ T ∂ t = ∇ ⋅ ( k ∇ T ) + Q c \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q_c ρcp ∂t∂T =∇⋅(k∇T)+Qc
      其中， Q c Q_c Qc 作物によって生成される追加の熱源を表します。

    • 追加の熱源 Q c Q_c Qc : 作物の光合成、呼吸、その他の代謝プロセスによって生成される熱を考慮することで、作物の追加の熱源をモデル化できます。

  2. 流体力学方程式:

    • モデル形式: 3 次元のナビエ・ストークス方程式を使用して、空気の流れに対する作物の抵抗を考慮して、温室内の空気の流れを記述します。
      ρ ( ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v + ρ g − R c v \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v }}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g} - R_c \mathbf{v} r(∂t∂v +で⋅∇v)=−∇p+μ∇2v+ρg−Rc v
      其中， R c R_c Rc 作物抵抗性に関する項目です。

    • 作物阻力 R c R_c Rc : 作物の構造や形状、植物の表面を通過する空気の抵抗をシミュレーションすることで、作物の抵抗力を求めることができます。これには、植物生理学と流体力学の知識が必要になる場合があります。

  3. 境界条件:

    • 温室の境界: ガラス、下層土などを含む温室構造の境界条件を考慮します。
    • 温室ファン入口: ファンの位置で速度入口条件を設定し、温風の流入をシミュレートします。
    • 作物表面: 作物表面の熱流束と抵抗を考慮します。これには、植物の成長状態と気孔コンダクタンスの考慮が必要になる場合があります。

  4. トリミングモデル:

    • 熱源モデル: 作物が放出または吸収する熱の量を決定するために、光合成や呼吸を含む作物の成長モデルを検討します。
    • 抵抗モデル: 植物の構造と形態、および流体力学の知識に基づいて、空気の流れに対する作物の抵抗モデルが確立されます。

  5. 初期条件：

    • 初期温度フィールド: 温室の初期条件に従って、初期瞬間の温度フィールドを設定します。
    • 初期速度フィールド: 温室ファンの入力を考慮して、初期瞬間の速度フィールドを設定します。

  6. 数値解:

    • 離散化: 有限差分法を使用して、熱伝導方程式とナビエ・ストークス方程式を離散化します。
    • 反復解法: 結合した熱伝導方程式と流体力学方程式を、定常状態に達するまで、または必要なタイム ステップ数の間反復的に解きます。

  7. 結果分析:

    • 温度と風速の分布: 温室内のさまざまな場所、特に作物の樹冠付近の温度と風速の分布を分析します。
    • 作物の生育条件: 必要な温度と風速の範囲に基づいて、温室内の気候条件が作物の生育に適しているかどうかを評価します。

  8. 後処理：

    • 視覚化: 視覚化ツールを使用して温度と風速の等温線またはベクトル プロットを描画し、温室内の気候条件をより直観的に理解します。 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 温室参数
length = 10  # 温室长度 (m)
width = 3    # 温室宽度 (m)
height = 2   # 温室高度 (m)

# 空间和时间离散化
dx = 0.1     # 空间步长 (m)
dt = 0.1     # 时间步长 (s)
steps = 100   # 时间步数

# 网格大小
nx = int(length / dx) + 1
ny = int(width / dx) + 1

# 初始化温度场和速度场
T = 20 * np.ones((nx, ny))  # 初始温度场
u = np.zeros((nx, ny))      # x方向速度场
v = np.zeros((nx, ny))      # y方向速度场

# 模拟主循环
for n in range(steps):
    # 更新温度场#完整版关注文末名片
    Tn = T.copy()

質問 3

質問 3 では、2 つの異なるシナリオ (シナリオ 1: 温風出口速度の増加、シナリオ 2: 温室ファンの位置の減少) を検討し、それらを質問 2 の状況と比較する必要があります。以下は、質問 3 のモデル化のアイデアです。

シナリオ 1: 温風の出口速度を上げる

  1. 境界条件を調整します。

    • 温風出口速度をシナリオ 2 の値 (例: 2 m/s) からシナリオ 1 の目標値 (例: 3 m/s) まで増加させます。

  2. モデルを再実行します。

    • 質問 2 で確立した数学モデルを使用して、境界条件での温風出口速度を新しい目標値に調整します。
    • 熱伝導方程式とナビエ・ストークス方程式を離散化し、それを反復的に解くことで、新しい温度と風速の分布を取得します。

  3. 結果分析:

    • 気温と風速の変化、作物の生育条件への影響に特に注意を払い、シナリオ 1 の結果と質問 2 の状況を比較します。
    • 温室内の温度と風速の分布の均一性と安定性を解析します。

シナリオ 2: 温室ファンの位置を下げる

  1. 境界条件を調整します。

    • 温室ファンの位置をシナリオ 2 の値 (例: 1.3 m) からシナリオ 2 の目標値 (例: 1 m) まで減らします。

  2. モデルを再実行します。

    • 質問 2 で確立した数学モデルを使用して、境界条件内の温室ファンの位置を新しい目標値に調整します。
    • 熱伝導方程式とナビエ・ストークス方程式を離散化し、それを反復的に解くことで、新しい温度と風速の分布を取得します。

  3. 結果分析:

    • 気温や風速の変化、作物の生育状況への影響に注意しながら、シナリオ 2 の結果と質問 2 の状況を比較してください。
    • 温室内の温度と風速の分布の均一性と安定性を解析します。

包括的な分析:

  1. シナリオ 1 とシナリオ 2 を比較します。

    • シナリオ 1 とシナリオ 2 の気温と風速の分布を比較し、温風の出口速度の増加と温室用ファンの位置を下げる効果を分析します。
    • これらの変化が気候条件や温室内の作物の成長に及ぼす影響を考慮してください。

  2. 最適化の提案:

    • 比較結果に基づいて、温室内の気候条件を改善するために、さまざまなシナリオの下で温風の出口速度や温室ファンの位置を調整するなど、可能な最適化の提案が提案されます。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 温室参数
length = 10  # 温室长度 (m)
width = 3    # 温室宽度 (m)
height = 2   # 温室高度 (m)

# 空间和时间离散化
dx = 0.1     # 空间步长 (m)
dt = 0.1     # 时间步长 (s)
steps = 100   # 时间步数

# 网格大小
nx = int(length / dx) + 1
ny = int(width / dx) + 1

# 温度场和速度场
T = 20 * np.ones((nx, ny))  # 初始温度场
u = np.zeros((nx, ny))      # x方向速度场
v = np.zeros((nx, ny))      # y方向速度场

def run_greenhouse_model(air_outlet_velocity, fan_position):
    # 重新运行模型的相关代码

    # 假设有一个函数 update_boundary_conditions，用于更新边界条件
    def update_boundary_conditions():
        # 在这里根据参数更新边界条件
        pass

    # 模拟主循环
    for n in range(steps):
        # 更新边界条件
        update_boundary_conditions()

        # 更新温度场
        Tn = T.copy()
        # TODO: 添加热传导方程的离散化更新步骤

        # 更新速度场（简化为稳态流场）
        u[1:-1, 1:-1] = 2  # 假设稳态时x方向速度为常数
        v[1:-1, 1:-1] = 0  # 假设稳态时y方向速度为0

    # 返回结果
    return T, u, v

質問4

  1. 最適化目標の決定:

    • 目的関数: 温室内の作物の成長率を最大化するなど、目的関数を定義します。これは、温度、湿度、光などの要素を考慮した、作物の成長モデルと生理学的原理に基づく関数です。

  2. 決定変数の選択:

    • 温室内のファンの数: 温室内のファンの数は決定変数として使用され、温室内で使用されるファンの数を示します。
    • ファンの位置: ファンの位置 (おそらく 3D 座標) を決定変数として使用して、最適な位置レイアウトを決定します。
    • 風速と送風温度: ファンの風速と送風温度を決定変数として使用して、最適な環境制御戦略を見つけます。

  3. 制約の確立:

    • 技術的および物理的制約: 温室の物理的寸法、ファンの技術仕様などを制約として考慮します。
    • 作物の要件: 制約として、適切な温度範囲や湿度など、作物の成長要件を考慮します。

  4. モデリング：

    • 統合モデル: 質問 2 と質問 3 で確立した温室モデルを統合し、風速分布、温度分布などの温室ファンの影響を追加します。
    • 作物成長モデル: 作物の成長モデルを温室モデルと統合して、作物の成長ニーズをより十分に考慮します。

  5. 数学的最適化モデル:

    • 目的関数の形式化: 成長率関数の最大化など、最適化の目的と決定変数を数学的最適化問題として形式化します。
    • 制約: 技術的、物理的、成長要件に関する制約を数学的制約に形式化します。
    • ソルバーの選択: 線形計画法、非線形計画法、進化的アルゴリズムなど、適切な数学的最適化ソルバーを選択します。

  6. モデルの解決と分析:

    • モデルを解く: 選択した数学的最適化手法を使用してモデルを解き、決定変数の最適な組み合わせを見つけます。
    • 分析結果: 各変数に対する最適解の影響を分析し、温室環境と作物の成長に対する最適解の改善効果を理解します。

  7. 感度分析:

    • パラメータの感度: 感度分析を実行して、入力パラメータに対するモデルの感度を評価し、パラメータの変更に対する最適なソリューションの堅牢性を理解します。

  8. 最適化結果の解釈:

    • 提案: 最適なソリューションを説明し、ファンの数、場所、風速、送風温度などを含む温室ファンの設計に関する具体的な提案を提供します。

  9. 検証と実装:

    • 検証: 最適化結果の実現可能性を検証します。実際の実験やシミュレーションを通じて検証する必要がある場合があります。
    • 実装: 最適化計画を実装するときは、実際の結果を監視し、必要な調整を行います。 
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np

# 假设问题四的目标函数为最大化作物生长速率
def objective_function(decision_variables):
    # 在这里调用你的模型，并返回一个优化目标，例如作物生长速率
    # decision_variables 包含温室风扇的数量、位置、风速和吹出温度等决策变量
    # 这里仅作为示例，需要根据实际模型进行修改
    return -1 * your_growth_rate_model(decision_variables)

# 定义约束条件
def constraint_1(decision_variables):
    # 示例：温室风扇数量不能超过上限
    return total_fans - np.sum(decision_variables[0:number_of_fans])

# 更多约束条件的定义...

# 定义初始决策变量的猜测值
initial_guess = np.array([1, 2, 3, 4, ...])

# 定义优化问题
optimization_problem = {
    
    
    'type': 'maximize',
    'fun': objective_function,
    'x0': initial_guess,
    'constraints': [
        {
    
    'type': 'ineq', 'fun': constraint_1},
        # 更多约束条件的添加...
    ],
}

詳細については、以下の名刺をクリックしてください。詳細を確認し、Xiaolu シニアが勝利への道を導きましょう。アジアパシフィックチャンピオンシップ！ 私たちの取り組みがどのような結果をもたらすか、ぜひご期待ください。 ルル先輩はいを忘れずにフォローしてください

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転載: blog.csdn.net/Tech_deer/article/details/134569476
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