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1.3 Ljung-Box混成检验残差序列的相关性，判断是否有ARCH效应
本文的研究内容包括以下几个方面：
1.选择上证指数，利用GARCH模型对波动率进行预测；
2.在假设收益率满足正态分布的条件下，利用预测的波动率动态计算VaR；
3.选取适合的重尾分布（如t分布或Gumbel分布），假设收益率满足该分布，利用预测的波动率动态计算VaR；
4.在以上分析的基础上，进行相关图表的绘制；
5.统计正态分布和重尾分布条件下的VaR穿透率，并进行双尾检验。
本文围绕上述问题包含了一整套研究的流程，包括对数据的平稳性检验、残差检验、相关性分析、模型的定阶等。
文字通俗易懂，全面地指导了研究的进行，特别适合新手快速上手。
一、收益率波动效应的分析
通过进行收益率波动效应的分析，我们可以了解到收益率的波动是如何影响市场的，以及波动的原因和机制。
这有助于我们更好地理解金融市场的特点和规律，并为GARCH模型预测提供基础。
1.1 收益率序列平稳性检验
Python绘制收益率随日期变动趋势，如图所示：
根据图片可知，上证指数的收益率曲线呈现出明显的上下波动，波动的振幅较大，在相对短时间内频繁地在某一水平上下波动，形成一种震荡的走势，表明市场或者数据存在较大的不确定性。
通过进一步检验收益率序列的平稳性，决定是否需要进行差分。原假设H0：序列为非平稳的，备择假设H1:序列是平稳的。利用ADF检验可以判断任意时间序列的平稳性，一般情况下，非平稳时间序列存在单位根，可通过差分的方式消除单位根得到平稳序列。
计算得到p-value的值为0.0，小于显著性水平，故拒绝原假设，该收益率序列为平稳的非白噪声序列。
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1.2 建立AR(p)模型
建立AR均值方程在时间序列分析中是非常常见和重要的步骤。AR均值方程可以用来描述序列的长期趋势和平均水平，可以揭示序列的长期趋势、对序列进行预测和模拟、准确地分离序列中的信号和噪声。通过分析模型系数，我们可以了能够揭示序列长期趋势、进行预测和模拟、分析信号和噪声、以及进行模型检验和优化等重要工具。这些都对我们更好地理解和解释时间序列数据非常有帮助。
根据该收益率序列的自相关函数进一步判定AR(p)模型的阶次，结果如图所示：
位于阴影内的第一个数为1，因此建立任意1阶及它之后的阶数都可以。作者尝试了几个阶数，发现7的效果最好（波动率的预测效果），因此建立AR(7)的模型。
1.3 Ljung-Box混成检验残差序列的相关性，判断是否有ARCH效应
数据序列具有ARCH效应是建立GARCH模型的前提条件之一。ARCH效应指的是序列中存在自相关的异方差性，即序列的波动程度与之前的波动程度相关。如果一个序列显示出ARCH效应，那么使用ARCH模型无法完全捕捉到其波动特征。
残差及残差平方的时间序列趋势如图所示：
对序列进行混成检验。原假设H0:序列没有相关性，备择假设H1:序列具有相关性。我们检验25个自相关系数：
通过观察上图，我们可以发现在所绘制的序列中，p-value的值均小于显著性水平0.05。由此推断，我们可以拒绝原假设，并且得出结论认为该序列具有相关性。进一步分析显示，残差平方的序列具有ARCH效应。这意味着序列中的波动性具有时间上的相关性和异方差性，即在不同的时间点上波动程度的大小存在明显差异。通过这一观察结果，我们可以深入研究波动模型，以更好地理解和解释序列的波动特性。
1.4 建立ARCH模型
通过对序列进行偏自相关函数（PACF）的分析，我们可以确定最适合的阶次。从下方图中可以观察到，PACF在3阶之后显著下降，因此我们可以将阶次定为3。
基于此结果，我们可以建立一个ARCH(3)模型，以更好地分析和描述序列的波动特征。ARCH(3)模型是一种常用的时间序列模型，它能够捕捉序列中的波动性和波动特征，从而提供更准确的预测和分析结果。通过使用这个模型，我们可以进一步研究和解释序列中的波动行为，并为后续的分析提供有力的基础。
模型结果如下：
根据回归结果得到以下方程：
对上述模型，我们可以看出，沪深300指数的日收益率期望大约在0.073%。并且回归模型的R-squared较小，拟合效果一般。根据拟合的方程进行预测并查看整体的预测拟合情况，从图中可以看出，虽然预测值和实际值的具体数值差距挺大，但是整体上均值和方差的变化相类似。
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二、GARCH模型与波动率预测
2.1 建立GARCH模型
GARCH(m,s)模型的定阶较难，但是据学者们的实证研究结果，我们一般使用低阶模型GARCH(1,1),GARCH(2,1),GARCH(1,2)等就能够基本消除模型的波动性。下面我们构建均值方程为AR(7)模型，波动率模型为GARCH(1,1)的GARCH模型，回归结果如下：
最终我们得到波动率模型为：
上面第一张图为标准化残差，近似平稳序列，说明模型在一定程度上是正确的；第二张图中绿色为原始收益率序列、蓝色为条件异方差序列，可以发现条件异方差很好得表现出了波动率。
上图为方差的拟合图，观察拟合图发现，模型在方差的还原上表现不错。
2.2 波动率预测
接着根据上面得到的波动率模型预测波动率，我们将原始数据、条件异方差拟合数据及预测数据一起画出来，进一步分析波动率预测情况。
图中红色部分为预测结果，可以看到最终的预测效果较好，基本符合原始数据的波动情况。
三、正态分布的假设下通过波动率计算VaR
利用序列的均值和标准差来描述其分布特征，通过选择置信水平来确定预测VaR的可靠性水平，常见的置信水平为95%或99%，再利用正态分布的累积分布函数逆函数（即Z-score）来计算对应于置信水平的VaR值。VaR代表在未来一定时间内，在给定置信水平下可能达到的最大损失。因此，通过将Z-score与波动率相乘，可以得到预测的波动率VaR。
四、厚尾分布的假设下通过波动率计算VaR
株式収益の順序が t 分布に従うと仮定すると、ボラティリティ VaR を計算する方法は次のとおりです: まず、株式収益の順序が t 分布に従うと仮定します。この分布は株式収益の非正規特性をより適切に考慮できます。特に尾部のファットテール現象。次に、信頼レベルを選択して、予測された VaR の信頼レベルを決定します。一般的な信頼レベルは 95% または 99% です。次に、自由度を使用して t 分布の形状を記述します。自由度は、戻り系列の長さから 1 を減算することによって計算されます。信頼水準と自由度に基づいて、t 分布の逆累積分布関数 (t スコア) を使用して、信頼水準に対応する VaR 値が計算されます。 VaR は、将来の特定の期間内に特定の信頼水準で達成される可能性のある最大損失を表します。したがって、tスコアとボラティリティを乗算することで、予測ボラティリティVaRを取得できます。
5. 株価の損失率グラフとVaRグラフを同じ座標系で描画する
6. 正規分布とファットテール分布におけるVaR普及率
財務リスク管理の分野では、VaR (バリュー・アット・リスク) が一般的に使用されるリスク測定指標であり、特定の信頼水準でポートフォリオまたは資産の起こり得る最大損失を評価するために使用されます。 VaR を計算する場合、多くの場合、株式収益の確率分布モデルを仮定する必要があります。
株式収益が正規分布に従うという仮定の下では、所定の信頼水準における VaR 値は、収益シリーズの平均と標準偏差を計算することによって決定できます。 VaR浸透率は、実際の損失がVaR値を超える確率を表します。正規分布の仮定の下では、VaR 普及率が低いほど、リスク管理能力が優れていることを示します。ただし、実際の状況では、株式収益率はファットテール分布の特徴を示すことがよくあります。つまり、より極端な事象や外れ値が存在します。リスクをより正確に推定するには、ファットテール分布を使用して株式収益の分布特性を近似します。一般的な方法は、t 分布を使用してファットテール分布を近似し、適切な自由度パラメーターを選択して VaR 値を計算することです。より極端なケースが考慮されるため、裾の厚い分布での VaR 浸透率は通常より高くなります。
さらに、戻り系列に有意な極値があるかどうかをさらに確認するために、この論文ではそれらに対して両側検定を実行します。正規分布を仮定した場合。標準正規分布表または正規分布の臨界値を使用して両側検定を実行できます。太い尾分布の仮定の下では、t 分布の臨界値を両側検定に使用する必要があります。両側検定の合格率を計算することで、臨界値を超える極端な現象の確率を評価できます。両側検定の合格率が低いほど、極端な現象のリスクが小さいことを示します。
CSI 300 指数の結果は次のとおりです。
正規分布での VaR 浸透率: 0.05155
裾の厚い分布におけるVaR普及率: 0.20672
正規分布における両側検定の合格率: 0.0
太い裾分布での両側検定の合格率: 0.0
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