I.はじめに
この論文は、 NNを使用したバトラー法を使用して、スイッチド ビーム ベースのマルチユーザー大規模 MIMO システムの総データ レートを最大化する、複雑さの低いビーム割り当てアルゴリズムを開発することを目的としています。N個のアンテナ素子の均一な線形アレイKKK 個のユーザー サービスが多数のNNN 個の固定ビーム、つまり:N ≫ KN \gg KN≫K._ _ ビーム割り当て問題は、 2 つの制約を持つ組み合わせ最適化として定式化されます。つまり、各ユーザーは最大 1 つのビームによってサービスを受けることができ、各ビームは最大 1 人のユーザーにサービスを提供できます。ブルート フォース検索の最適解を取得する複雑さはO (NK) O(N^K)O ( NK )、ビーム数NNNが大きいと解決が困難になる問題
この論文は、組み合わせ最適化問題を解決するための強力なツールであるサブモジュラー最適化理論に基づいた次善の低複雑性ビーム割り当て ( LBA ) アルゴリズムを提案します [37]。具体的には、元の最適化問題は、まず2 つのパーティション マトロイド制約の下で非単調サブモジュラー最大化問題に再構築されますが、目的関数の非単調な性質により、この問題は依然として高い計算量を持っています。複雑さを軽減するために、非単調サブモジュラス最大化問題は、ビームユーザー関連付けサブ問題とビーム割り当てサブ問題含む 2 つのサブ問題にさらに分離されます。は、単一パーティション マトロイド制約の対象となる単調サブモジュラー最大化問題であり、貪欲なアルゴリズムによって効率的に解くことができます。次に、これら 2 つの部分問題の解決策を組み合わせることによって LBA アルゴリズムが提案されます。シミュレーション結果は、最適なブルート フォース検索と比較して、LBA アルゴリズムはほぼ同じ合計データ レートを達成できるが、複雑さはわずかであることを示しています。O ( K log N ) O(K \log N)O ( Kログ_N ）。
データ速度を最大化するために、一部のユーザーにサービスが提供されず、サービスを受けられないユーザーに遅延が発生する可能性があることに注意してください。したがって、システムが同時に何人のユーザーにサービスを提供できるかを検討することが非常に重要です。このパフォーマンスは、論文ではサービス率で表されています。サービス率は、総ユーザー数に対するサービスを受けたユーザー数の比率として定義されます。平均サービス率 (つまり、ユーザーの場所での平均サービス率) の明示的な式が取得され、ビーム数NNとして示されます。Nとユーザー数KKKの比の単調増加関数。シミュレーション結果では、解析結果が平均サービス率を十分に近似できることが確認され、サービス遅延に関する重要な洞察が得られます。
この記事の残りの部分は次のように構成されています。セクション 2 では、システム モデルと問題の定式化を紹介します。低複雑度のビーム割り当てアルゴリズムはセクション III で提案され、続いてセクション IV でシミュレーション結果と考察が続き、結論はセクション V で要約されます。
この記事では、E [ ⋅ ] \mathbb{E}[·]E [ ⋅]は期待値演算子を表します。x 〜 CN ( u , σ 2 ) x \sim \mathcal{CN}\left(u, \sigma^{2}\right)バツ〜CN _(あなた、p2 ) は平均がuuu、分散はσ 2 σ^2p2 つの複素ガウス確率変数。∣ X ∣ |X|∣X∣ は集合XXを表しますXのベース。22X は集合XXXのパワーセット。X∩YX∩Yバツ∩Y和X ∪ YX\カップYバツ∪Yはそれぞれ集合XXXとYYYの交差点と和集合。X \ YX \バックスラッシュ YX \ Y は集合YYY はコレクションXXにありますXの相対補数∅ \empty∅は空集合を表します。( nk ) \left(\begin{配列}{l} n \\ k \end{配列}\right)(nｋ)は、 nnからの二項係数を表します。n個の異なる要素セットkkk要素のウェイの数。{ nk } \left\{\begin{配列}{l} n \\ k \end{配列}\right\}{ nｋ} は2 番目の種類のスターリング数、つまりnnn個の異なる要素のセットはkkに分割されますk 個の空でないサブセットのメソッドの数。
II. システムモデルと問題の定式化
図 1(a) に示すように、KKを持つことを検討します。K人のユーザーとNNたマルチユーザー スイッチド ビーム ベースのシステム等間隔に配置された同一等方性アンテナ ユニットのN個の線形アレイの BS、NNN 個の固定ビームのダウンリンク送信。KKと仮定しますK人のユーザーが単位半径の円形セル内に均等に分散され、各ユーザーにはアンテナが装備されています。BS はセルの中心に位置し、すべての BS アンテナ ユニットはd = 0.5 λ d = 0.5 λd=0.5 λで等間隔に配置されますλ はλ は伝播波長です。( ρ k , θ k ) \left(\rho_{k}, \theta_{k}\right)( rｋ、私ｋ)ユーザーkkkの位置。
N = 2 i N =2^i はバトラー法を適用して形成されますN=2iのビーム(i ≥ 1 i ≥ 1)私≥1は整数)、任意のビームnnn、n = 1 , 2 、 ⋅ ⋅ ⋅ 、 N n = 1,2、...、Nn=1 、2 、⋅⋅⋅、N信号の出発角 (AoD)θ θθの正規化された配列係数は[24] で与えられます。
A n ( θ ) = sin ( 0.5 N π cos θ − β n ) N sin ( 0.5 π cos θ − 1 N β n ) (1) A_{n}(\theta)=\frac{\ sin \left(0.5 N \pi \cos \theta-\beta_{n}\right)}{N \sin \left(0.5 N \pi \cos \theta-\frac{1}{N}\beta_{n } \right)}\tag{1}あん(私)=N罪( 0.5p _コス私−N1bん)罪( 0.5Nπ _ _コス私−bん)( 1 )
図 1(b) はN = 16 N = 16を示していますN=16時位置の(1)と(2)に従って生成された配列パターン。左側から右側に向かってビームインデックスが1からNNん。
ユーザーkkを追加kを参照ユーザーとして指定します。従来のセルラー システムのマルチパス チャネル [38] ～ [40] とは異なり、ミリ波周波数でのLOSの存在を想定していますkkkでの受信信号のAoD はθk θ_k私ｋ、対応する受信電力は次のように書くことができます [41]
P k = ∑ n = 1 N ck , n ⋅ pn ⋅ D n ( θ k ) ⋅ ρ k − α (3) P_{k}=\sum_{n=1}^{N} c_{k, n} \cdot p_{n} \cdot D_{n}\left(\theta_{k}\right) \cdot \rho_{k}^{-\alpha}\tag{3}Pｋ=n = 1∑Nck 、 n⋅pん⋅Dん(私はｋ)⋅rk- _( 3 )
2: 指向性は、同じ総電力を放射する等方性アンテナに対する単一アンテナの指向性の尺度です。言い換えれば、指向性は、同じ総電力を放射する等方性アンテナに対する異方性アンテナの電力密度の比です[42]。
(3) において、ck , n ∈ { 0 , 1 } c_{k, n} \in\{0,1\}ck 、 n∈{ 0 ,1 } はビーム割り当てインジケーターを表します。ビームnnnはユーザーkkk，ck , n = 1 c_{k, n}=1ck 、 n=1。
max { ck , n } ∀ k , ∀ n ∑ k = 1 KR k (10a) \max _{\left\{c_{k, n}\right\}_{\forall k, \forall n}} \sum_{k=1}^{K} R_{k}\tag{10a}{ ck 、 n}∀k 、∀n _ _マックスk = 1∑KRｋ( 10a )
st ∑ n = 1 N ck , n ≤ 1 , ∀ k ∈ { 1 , 2 , ⋯ , K } , (10b) \text { st } \sum_{n=1}^{N} c_{k, n} \leq 1, \quad \forall k \in\{1,2, \cdots, K\} \text {, }\tag{10b} セント n = 1∑Nck 、 n≤1 、∀ｋ_∈{ 1 、2 、⋯、K } 、 ( 10b )
∑ k = 1 K ck , n ≤ 1 , ∀ n ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N } (10c) \sum_{k=1}^{K} c_{k, n} \leq 1, \quad \ forall n \in\{1,2, \cdots, N\}\tag{10c}k = 1∑Kck 、 n≤1 、∀n _∈{ 1 、2 、⋯、N }( 10c )
ck , n ∈ { 0 , 1 } , ∀ k ∈ { 1 , 2 , ⋯ , K } , ∀ n ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N } (10d) \begin{array}{l} c_{k, n} \in\{0,1\}, \quad \forall k \in\{1,2, \cdots, K\}, \\ \forall n \in\{1,2, \cdots, N\ } \end{配列}\tag{10d}ck 、 n∈{ 0 ,1 } 、∀ｋ_∈{ 1 、2 、⋯、K } 、∀n _∈{ 1 、2 、⋯、N }( 10日)
(10b) と (10c) はそれぞれ、各ユーザーが送信用に最大 1 つのビームを選択でき、深刻なビーム内干渉を避けるために各ビームを最大 1 人のユーザーが使用できるという制約に従います。
(10a)-(10d) で与えられる組み合わせ最適化問題の場合、全部で(N + 1) K (N +1)^K( N+1 )K 個の可能なビーム割り当ての間でブルート フォース検索を行うと、多数のビームを含むNNが生成されます。Nの大規模 MIMO システムは、耐えられないほど複雑です。
文献 [43] ～ [47] では、組み合わせ最適化問題を解くために広く使用されている方法は、指標ck, n c_{k,n}を組み合わせるというものです。ck 、 n0～1の連続変数に緩和し、目的関数を凸関数に変換します。これは、凸最適化アルゴリズムによって効率的に解決できます。ただし、この例では、 N × KN ×Kがあります。N×Kインデックスを最適化する必要があります。緩和が実行されたとしても、依然として大きなNNNの計算の複雑さは法外に高くなります。したがって、この論文では、組み合わせ最適化問題を解決するための強力なツールであることが証明されているサブモジュラー最適化に目を向けます[37]。次のセクションでは、ビーム割り当て問題を、マトロイド制約最大化問題
Ⅲ．サブモジュール最適化に基づいたビーム割り当て設計
ビーム割り当て問題をサブモジュラー最適化問題として再定式化する前に、まず、[37] で与えられているサブモジュラー関数とマトロイドの定義を次のように与えましょう。
A. 基本的な定義
定義 1: UUにするUは有限基底集合、2 U 2^U2UはUUUのべき集合(つまり、空集合とUUU自体）。集合関数f ( S ) f (S)f ( S )、入力はS ⊆ US⊆US⊆U (つまりS ∈ 2 US∈2^US∈2U )、出力は実数値であり、f : 2 U → R f: 2^{U} \rightarrow \mathbb{R}f:2U→Rは、次の場合にサブモジュラーと呼ぶことができます。
f ( S ) + f ( T ) ≥ f ( S ∩ T ) + f ( S ∪ T ) (11) f(S)+f(T) \geq f(S \cap T)+f(S \cup T)\タグ{11}f ( S )+f ( T )≥f ( S∩た）+f ( S∪た）( 11 )
任意のS 、T ⊆ US、T ⊆Uの場合Ｓ、T⊆U._ _ 部分モジュラー関数の同等の定義は次のとおりです。
f ( S ∪ { e } ) − f ( S ) ≥ f ( T ∪ { e } ) − f ( T ) (12) f(S \cup\{e\})-f(S) \geq f( T \cup\{e\})-f(T)\tag{12}f ( S∪{ e })−f ( S )≥f ( T∪{ e })−f ( T )( 12 )
任意のS ⊆ T ⊆ US⊆T⊆Uの場合S⊆T⊆U和e ∈ U \ T e∈U \バックスラッシュ Te∈U \ T、つまり、セットに要素を追加する限界ゲインは、セットのサイズとともに減少します。直感的には、集合関数がサブモジュラーである場合、集合関数に要素を追加して集合サイズが大きくなるにつれて、その限界利得は減少します。
特に、集合関数f (S) f (S)f ( S )は単調です。
f ( S ) ≤ f ( T ) (13) f(S) \leq f(T)\tag{13}f ( S )≤f ( T )( 13 )
任意のS ⊆ T ⊆ US \subseteq T \subseteq Uに対してS⊆T⊆U。
B. 問題の再定式化
U = { u 1 , 1 , u 1 , 2 , ⋯ , u 1 , N ; u 2 , 1 , u 2 , 2 , ⋯ , u 2 , N ; ⋯ ; u K , 1 , u K , 2 , ⋯ , u K , N } , (15) \begin{aligned} U=&\left\{ u_{1,1}, u_{1,2}, \cdots, u_{1, N} ; u_{2,1}、u_{2,2}、\cdots、u_{2,N} ; \cdots ;\そうです。\\ ＆\左。u_{K, 1}、u_{K, 2}、\cdots、u_{K, N}\right\}、\end{aligned}\tag{15}U={ あなた1、1 _ _、あなた1、2 _ _、⋯、あなた1 、 N;あなた2、1 _ _、あなた2、2 _ _、⋯、あなた2 、 N;⋯;あなたK 、 1、あなたK 、 2、⋯、あなたK 、 N}、( 15 )
そしてビーム割り当てセットSSS 为 U U uk , n ∈ S u_{k,n}∈SとなるようなUの部分集合あなたk 、 n∈Sビーム n がユーザー k に割り当てられている場合、つまり ck,n= 1, ∀k, n; それ以外の場合、任意のビーム割り当てセット S⊆U に対して uk,n∈/ S である場合、(10a) の目的関数は次のように書くことができます。として
RS ( S ) = ∑ uk , n ∈ S log 2 ( 1 + P t ∣ S ∣ D n ( θ k ) ρ k − α σ 0 2 + ∑ uj , l ∈ S , j ≠ k P t ∣ S ∣ D l ( θ k ) ρ k − α ) , (16) R_{S}(S)=\sum_{u_{k, n} \in S} \log _{2}\left(1+\frac) {\frac{P_{t}}{|S|} D_{n}\left(\theta_{k}\right) \rho_{k}^{-\alpha}}{\sigma_{0}^{2 }+\sum_{u_{j, l} \in S, j \neq k} \frac{P_{t}}{|S|} D_{l}\left(\theta_{k}\right) \rho_ {k}^{-\alpha}}\right),\tag{16}RS( S )=あなたk 、 n∈ S∑ログ_2( 1+p02+∑あなたj 、 l∈ S , j= k∣ S ∣PたD私(私はｋ)rk- _∣ S ∣PたDん(私はｋ)rk- _)、( 16 )
(3) および式 (6) ～ (9) による。
この制約は、基底セット U 上の 2 つの分割行列の共通部分として記述できます。具体的には、基底セット U を K 個の互いに素なサブセット U1U、U2U、...、UKU に分割します。ここで、UkU={ uk,1, uk,2, · · ·, uk,N} は、ユーザー K に対するすべての可能なビーム割り当てを含むセットであり、上付き文字はユーザー インデックスに従った地上セットの分割を示します。uk,n がビーム割り当てセット S に属する場合、つまり uk,n∈S の場合、ビーム割り当てインデックス ck,n = 1 であるため、(10b) で与えられる制約は S∈IU と書くことができます。
1 p + 2 + 1 p + ϵ \frac{1}{p+2+\frac{1}{p}+\epsilon}p + 2 +p1+ ϵ1小さな値ppを持つ指定されたパラメーターです。pはマトロイド制約です。[48] には、このアルゴリズムには最大でも O ( 1 ϵ pq 4 log q ) O\left(\frac{1}{\epsilon} pq^{4} \log q\right) が必要であることが示されています。○(ϵ1pq _4ログ_q )ローカル操作。ここで、q はグラウンド セットのサイズです。この場合、基底集合のサイズ q = |U| = KN、行列制約の数 ? p = 2、必要なローカル演算の数は O ( 1 ϵ ( KN ) 4 log ( KN ) ) です。 O\left(\frac{1}{\epsilon}(KN)^{4} \log (KN)\right)○(ϵ1( K N )4log ( K N ) )のように、ビーム数 N が大きい場合でも、複雑さは依然として非常に高くなります。次のセクションでは、(20a) ～ (20c) によって与えられるビーム割り当て問題が 2 つの部分問題に分離され、これに基づいて、低複雑さのビーム割り当てアルゴリズムが提案されます。