来源：ScienceAI
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人工智能设备可能也会对数学产生同样的影响。
ロサンゼルスのゲッティ美術館のコレクションには、17 世紀の古代ギリシャの数学者ユークリッドの肖像画が展示されています。ぼろぼろでだらしなく、手は土で覆われ、幾何学作品「Elements」を掲げています。
ユークリッドの肖像。
2,000 年以上にわたり、ユークリッドの著作は数学的な議論と推論のモデルとして機能してきました。
カーネギーメロン大学の論理学者、ジェレミー・アビガド氏は、「誰もが知っているように、ユークリッドはほとんど詩的な[定義]から始まった。その後、彼は基本的な概念、定義、アプリオリ定理を使って、各ステップが前のステップに[明確に従う]方法で物事を証明し、その上に当時の数学を構築した。」と述べた。
Euclidの「明白な」ステップの一部が明白ではないという苦情もあるが、システムは依然として機能するとアビガド博士は述べた。
しかし 20 世紀までに、数学者はもはやこの直感的な幾何学的基礎に基づいて数学を構築しようとしなくなりました。その代わりに、彼らは正確な象徴的表現や機械的な規則などの正式なシステムを開発しました。最終的に、この形式化により数学をコンピューター コードに変換できるようになります。
1976 年に、4 色定理 (隣接する 2 つの領域が同じ色にならないように地図を塗りつぶすには 4 色で十分であるという理論) が、計算力によって証明された最初の主要定理となりました。
今、数学者たちは、最新の変革の力である人工知能と格闘しています。
2019年、元Googleで現在はサンフランシスコ・ベイエリアの新興企業に勤めるコンピュータ科学者のクリスチャン・セゲディ氏は、10年以内にコンピュータシステムは最高の人間の数学者の問題解決能力に匹敵するか、それを超えるだろうと予測した。同氏は昨年、目標時期を２０２６年に修正した。
プリンストン高等研究所の数学者であり、2018 年のフィールズ賞を受賞したアクシャイ・ヴェンカテシュ氏は、現在 AI の使用には興味がありませんが、それについて話すことに熱心です。「学生たちには、自分たちの分野が大きく変わろうとしていることを理解してほしいと思っています」と彼は昨年のインタビューで語った。同氏は最近、「人間の理解を支援するためにテクノロジーを意図的に利用することに反対しているわけではない。しかし、テクノロジーの使い方に留意することが重要だと強く信じている」と付け加えた。
2月、アビガド博士は、UCLAの純粋応用数学研究所での「機械支援証明」に関するワークショップに参加した。この集会には、数学者とコンピューター科学者という異例の組み合わせが集まりました。同大学の数学者で、2006年のフィールズ賞受賞者であり、ワークショップの主任主催者であるテレンス・タオ氏は、「それは重要だと感じた」と語った。
サマースクール主催者（左から）：アビガド博士、パリ・サクレー大学のパトリック・マソット、フォーダムのヘザー・マクベス。
タオ博士は、数学者が数学の美学や自分自身に対する人工知能の潜在的な脅威を懸念し始めたのは近年になってからだと指摘する。同氏によると、コミュニティの著名なメンバーは現在、こうした質問をし、「タブーを破る」可能性を模索しているという。ある印象的なワークショップ参加者は最前列に座っていました。それは、オンライン参加者が質問するたびに機械的にささやき、手を挙げてくれる、挙手ロボットと呼ばれる台形の箱です。タオ博士は「ロボットが可愛くて威嚇的でなかったら助かるだろう」と語った。
学生たちは、アカデミーの数学形式化サマースクール中にグループ プロジェクトに取り組みました。
「証拠のクレーマー」を連れてくる
最近では、食事、睡眠、運動など、私たちの生活を最適化するためのガジェットが不足することはありません。ウィスコンシン大学マディソン校の数学者ジョーダン・エレンバーグ氏は、セミナーの休憩中に「私たちは物事をやり遂げやすくするために、何かを自分に結び付けたがるのです。人工知能デバイスは数学にも同じ効果をもたらす可能性がある」と付け加えた。「明らかに問題は、機械が私たちに何をしてくれるかではなく、機械が私たちに何をしてくれるかということです。」
数学ガジェットの 1 つは、証明アシスタント、または対話型定理証明者と呼ばれます。(「自動化」は 1960 年代に初期に具体化されました。) 数学者は証明を段階的にコードに変換し、その後ソフトウェア プログラムが推論が正しいかどうかをチェックします。検証はリポジトリに蓄積され、他の人が参照できる動的な仕様参照となります。ホスキンソン形式数学センター（仮想通貨起業家チャールズ・ホスキンソンが資金提供）の所長であるアビガド博士は、この形式化が今日の数学の基礎を築いたと述べ、「ちょうどユークリッドが数学を体系化して組織化しようとしたのと同じだ。それが当時の数学の基礎を築いた」と述べた。
最近、オープンソースの証明支援システム「Lean」が注目を集めています。現在 Amazon に勤務するコンピューター科学者のレオナルド・デ・モウラによって Microsoft で開発された Lean は、いわゆる旧式人工知能 (GOFAI) と呼ばれる、ロジックにインスピレーションを得た象徴的な人工知能を活用した自動推論を使用します。これまでのところ、リーン コミュニティは、球の反転に関する興味深い定理と、数学分野を統一するスキームにおける重要な定理などを検証してきました。
ジョンズ・ホプキンス大学の数学者エミリー・リール氏は、実験的な証明を支援するツールを使用している。
しかし、証明アシスタントには欠点があります。数学者が入力した定義、公理、または推論の手順が理解できないとよく不平を言うため、「証明不平不満者」と呼ばれます。これらすべての不満が調査を煩雑にする可能性があります。しかし、フォーダム大学の数学者ヘザー・マクベス氏によると、同じ機能、つまり行ごとのフィードバックを提供することで、このシステムは教育にも役立ちます。
この春、マクベス博士は「バイリンガル」コースを設計しました。彼女は黒板に書かれたすべての問題を講義ノートのリーンコードに翻訳し、生徒はリーン語と散文語の両方で宿題の問題の解決策を提出しました。マクベス博士は、証明がいつ完了したか、プロセスの各ステップが正しいか間違っているかについて即座にフィードバックを得ることができたため、「彼らに自信を与えました」と語った。
ジョンズ・ホプキンス大学の数学者エミリー・リール氏は、ワークショップに参加した後、実験的証明アシスタントプログラムを使用して、共著者と以前に発表した証明を形式化した。ある証明が終わったとき、彼女はこう言いました。「証明を本当に、本当に深く、これまで理解したよりもずっと深く理解できました。非常によく考えたので、本当に愚かなコンピューターにも説明できました。」
強引な推論 ― しかし、それは数学でしょうか?
カーネギーメロン大学のコンピューター科学者でアマゾン学者のマリジン・ヒューレ氏が使用するもう 1 つの自動推論ツールは、彼が口語的に「ブルート推論」と呼ぶものです。注意深く作成されたコードでどの「奇妙な物体」を見つけたいかを言うだけで、スーパーコンピューターのネットワークが検索空間を駆け巡り、その実体が存在するかどうかを判断してくれる、と同氏は述べた。
セミナーの直前に、ヒューレ博士と彼の博士号取得者の一人が、学生の Bernardo Subercaseaux は、長年の 50 TB ファイルの問題に対する解決策をついに思いつきました。しかし、この文書は、2016 年のヒューレ博士とその共同研究者の結果とはほとんど比較にならない。「200 テラバイトが数学的に証明された史上最大」とネイチャー誌の見出しが宣言した。記事はさらに、これらのツールを使用して問題を解決することが本当に数学とみなされるのかどうかを尋ねています。ヒューレ博士の見解では、このアプローチは「人間が解決できない問題を解決する」ために必要です。
Marijn Heule 氏と学生は最近、自動推論ツールを使用して「パッケージの色付け」問題を解決しました。これは 4 色マップの問題に少し似ていますが、はるかに複雑です。
別のツール セットは機械学習を使用しており、大量のデータを合成してパターンを検出できますが、論理的で段階的な推論は苦手です。Google の DeepMind は、タンパク質のフォールディング (AlphaFold) やチェスの勝利 (AlphaZero) などの問題を解決する機械学習アルゴリズムを設計しました。Nature誌に掲載された2021年の論文で、研究チームは自分たちの研究を「人間の直観を導く人工知能を通じて数学を進歩させる」と説明した。
元 Google のコンピューター科学者で、現在はベイエリアの新興企業である Yuhuai "Tony" Wu 氏は、機械学習のより野心的な目標、「数学の問題を解決する」について概説しました。Google では、ウー博士は、チャットボットを支える大規模な言語モデルが数学にどのように役立つかを調査しました。チームが使用したモデルはインターネット データでトレーニングされ、数学や科学の論文のオンライン アーカイブなど、数学が豊富な大規模なデータセットを使用して微調整されました。ミネルバと呼ばれるこの特殊なチャットボットは、日常英語で数学の問題を解くよう求められると「人間の真似をするのがとても上手」だとウー博士はワークショップで語った。このモデルは、高校の数学テストにおける 16 歳の生徒の平均点を上回りました。
最終的には、「数学の定理を自ら解く能力」を備えた「自動数学者」を構想している、とウー博士は言う。
試金石としての数学
数学者はこれらの乱れにさまざまな程度の注意を払ってきました。
コロンビア大学のマイケル・ハリス氏は、自身の「Silicon Reckoner」サブスタックで疑問を表明した。彼は、研究数学および技術と防衛産業との間で潜在的に矛盾する目標や価値観に悩まされています。
ハリス博士は、AI のより大きな影響についての議論が欠如していることを嘆きました。特に数学の研究は「非常に活発な会話が行われているのに比べれば」「数学の外でもほぼ遍在している」。
DeepMind の共同研究者であるシドニー大学のジョーディ ウィリアムソン氏が NAS で講演しました。このような会話に数学者やコンピューター科学者が集まり、より多くの参加を奨励します。ロサンゼルスのセミナーで、彼はジョージ・オーウェルの1945年のエッセイ「あなたと原爆」を翻案した一文で講演を始めた。「今後5年間で私たち全員がどれほど深刻な影響を受ける可能性があるかを考えると、ディープラーニングは予想されていたほど多くの議論を引き起こしていません」とウィリアムソン博士は述べた。
サンフランシスコ・ベイエリアのコンピューター科学者、ユーフアイ・“トニー”・ウー氏は、「自動数学者」、つまり「数学の定理を自ら解くことができる」汎用の研究助手を構想している。
ウィリアムソン博士は、数学は機械学習で何ができるか、できないかを判断するリトマス試験紙であると考えています。推論は数学的プロセスの本質であり、機械学習における重要な未解決の問題です。
DeepMindとの共同作業の初期に、チームは「私が本当に関心のある数学的量」を予測できるシンプルなニューラルネットワークを発見し、それは「ばかばかしいほど正確だった」とウィリアムソン博士はインタビューで語った。ウィリアムソン博士は、定理の基礎となる理由を理解するのに苦労しましたが、理解できませんでした。DeepMind では誰もそれができませんでした。古代の幾何学者ユークリッドのように、ニューラル ネットワークは数学的真実をどういうわけか直観的に識別しますが、論理的な「理由」は明らかではありません。
ロサンゼルスのワークショップでの顕著なテーマは、直感と論理をどのように組み合わせるかということでした。人工知能がこの両方を同時に行うことができれば、すべてが解決されます。
しかし、ウィリアムソン博士は、機械学習が提示するブラックボックスを理解する動機はほとんどないと述べました。「これはテクノロジー業界のハッカー文化であり、それがほとんどの場合うまく機能するのは素晴らしいことですが」と彼は言いますが、この状況は数学者を不幸にしています。
ニューラルネットワーク内で何が起こっているのかを理解しようとすると「魅力的な数学的疑問」が生じ、その答えを見つけることで数学者は「世界に有意義な貢献をする」機会が得られると同氏は付け加えた。
参考内容：
https://www.nytimes.com/2023/07/02/science/ai-mathematics-machine-learning.html
編集者：ウェン・ジン
