Теоретическая основа задачи о рюкзаке 0/1

двумерный массив дп

Правило движения пятое

1. Определить значение массива dp и индекса: dp[i][j]: взять любой предмет с индексом [0-i] и положить его в рюкзак вместимостью j, максимальное значение суммы ценить;

2. Определить рекурсивную формулу: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - вес[i]] + значение[i]);

3. Как инициализировать массив dp:

vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

4. Определить порядок обхода: цикл for для обхода предмета размещается во внешнем слое, а цикл for для обхода рюкзака — во внутреннем слое;

5. Пример рекурсивного массива dp

Тестовый код :

void test1() {
	vector<int> weight = {1, 3, 4};
	vector<int> value = {15, 20, 30};
	int bagweight = 4;
	vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }
    for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
    	for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
    		if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    		else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - wight[i]] + value[i]);
		}
	}
	cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}
int main() {
	test1();
}

Одномерный массив dp

Правило движения пятое

1. Определить массив dp и значение нижнего индекса: dp[j]: рюкзак вместимостью j, максимальная стоимость перевозимых предметов;

2. Определить рекурсивную формулу: dp[j] = max(dp[j], dp[j - вес[i]] + значение[i]);

3. Как инициализировать массив dp: dp[0] = 0;

4. Определить порядок обхода: цикл for для обхода предмета размещается во внешнем слое, цикл for для обхода рюкзака размещается во внутреннем слое, а внутренний цикл for проходит в обратном порядке;

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

5. Пример рекурсивного массива dp

Тестовый код :

void test2() {
	vector<int> weight = {1, 3, 4};
	vector<int> value = {15, 20, 30};
	int bagweight = 4;
    vector<int> dp(bagweight + 1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
    	for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) {
    		dp[j] = max(dp[i], dp[j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}
	cout << dp[bagweight] << endl;
}
int main() {
	test2();
}

LeeCode 416. Разделить подмножества с равной суммой

416. Разделить подмножества с равной суммой - LeetCode

Идеи :

2. Определить рекурсивную формулу: dp[j] = max(dp[j], dp[j - вес[i]] + значение[i]);

3. Как инициализировать массив dp: dp[0] = 0;

5. Пример рекурсивного массива dp

код :

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
    	int sum = 0;
		vector<int> dp(10001, 0);
		for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
			sum += nums[i];
		} 
		if (sum % 2 == 1) return false;
		int target = sum / 2;
		for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
			for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
			}
		}
		if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

Временная сложность: O(n²) Пространственная сложность: O(n)

Тренировочный лагерь по алгоритму Code Caprice День 42 | 0/1 Задача о рюкзаке Теоретическая основа 416. Сегментация и подмножества

Оглавление