[Ybtゴールドメダルナビゲーション8-6-1] [luoguP1516]カエルのデート/不定方程式合同方程式の例

カエルの交際

トピックリンク：ybt金メダルナビゲーション8-6-1 / luogu P1516

一般的なアイデア

リング上のそれぞれの位置で同じ方向にジャンプするものが2つあり、それぞれが毎回特定の距離をジャンプします。
次に、これら2つのものが同じ場所にあるように、ジャンプする必要がある回数を尋ねます。
同じ場所にない場合は、タイトルの要件に従って出力する必要があります。

アイデア

次に、方程式をリストできるかどうかを検討します。
$s+mx=t+nx（modL）$
$s、t$は、m、nm、nの2つの開始位置です。$m、n$は、2つのものが毎回ジャンプするグリッドの数です。

それを作りましょう：$（m-n）x=t-s（modL）$。
これは1つの変数の線形合同方程式であり、2つの変数の線形不定方程式に変換し、拡張ユークリッドを使用してそれを行うことを考えるのは自然なことです。
$（m-n）x+Ly=t-s$

しかし、条件を持つための解、つまり$（m-n）$および$Lは$互いに素です。
互いに素でない場合、出力は実行可能ではありません。そうでない場合は、引き続き実行します。

次に、左側の互いに素な2つを作成できます$\frac{m-n個}{gcd（m-n、L）}バツ+\frac{L}{gcd（m-n、L）}Y=\frac{t-S}{gcd（m-n、L）}$
（ここでのLLのため、後でモジュラスを除算することを忘れないでください$LはLに$なります$\frac{L}{gcd（m-n、L）}$、それはモジュラスを意味します）

しかし、拡張ユークリッドは$ax+by=1$、方程式の右辺は$1$ああ。
シンプルなことを、私たちは同じように式の右側を取る$1$、xxを計算します$x$、そして右側を後ろに掛ければ、それだけです。

次に、それを取り出して出力できます。

コード

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

ll x, y, m, n, mo;
ll X, Y, a, b, c;

ll GCD(ll x, ll y) {
    
    //普通的求 gcd
	if (!y) return x;
	return GCD(y, x % y);
}

ll exgcd(ll a, ll &x, ll b, ll &y) {
    
    //扩展欧几里得求 ax+by=1
	if (!b) {
    
    
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	
	ll re = exgcd(b, y, a % b, x);
	y -= a / b * x;
	return re;//顺便可以求出 gcd，可用可不用
}

int main() {
    
    
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &mo);
	
	//弄出一元线性同余方程，然后转成二元一次不定方程
	a = (m - n + mo) % mo;
	b = mo;
	c = (y - x + mo) % mo;
	
	int gcd = GCD(a, b);//判断是否有解
	if (c % gcd != 0) {
    
    
		printf("Impossible");
		return 0;
	}
	
	a /= gcd;//把式子化成 ax+by=c 且 a,b 互质的形式
	b /= gcd;
	c /= gcd;
	exgcd(a, X, b, Y);
	
	X = (X % mo + mo) % mo;
	printf("%lld", (X * c) % (mo / gcd));//算出答案（记得这里模数不是mo）
	
	return 0;
}