[プログラミング言語とラムダ計算] 4.7〜4.8ラムダ計算パラダイムの歴史に関するいくつかの事実第4章を終了

記事のディレクトリ

4.7ラムダ計算に関するいくつかの事実

式が完全に復元されるのはいつですか？ほとんどすべての式は可能な変数名の名前を変更することにより、減少→と_N^αので、→ _N^αは、定義に含めることはできません。したがって、完全に減少した発現は、→によって低減することができない式で_nは^β → _N^η。

概念：

式は、もはやすることができた場合に減少→で_nは^β → _N^η、それが正規形と呼ばれています。
Mは正規形有するNの場合はM = _N NおよびNは正規形です。

正規形の機能は、ラムダ計算の結果と同じです。式に正規形がある場合、その式には1つだけの正規形があります（これは多くの異なる縮小によって取得される可能性があります）。より正確には、→ _N^αリネームやモジュロは、唯一の正規形を得ることができます。

定理4.2 [標準形式]：Lの場合=_N M、L =_N M、及びMとNの両方が正規形であり、次いで、M =_α N

いつものように、= _αはα互換クロージャによって生成された同値関係です。定理4.2は、チャーチ・ロッサーの特性によって簡単に証明されます。

***定理4.3 [= _Nチャーチ・ロッサの関係を表す] ***：もしM = _N N、L'ようにM→→ある_N L'及びN→→ _N L」は

= _rに関しては、この定理の証明は→→ _nのプリズムの性質に依存します。

定理4.4 [→→ _N角柱プロパティを表す]：L→→場合_、N MとL→→_N Nは、式L'そのような存在であるM→→_N L'及びN→→_N L」

シングルステップ関係→ _nは、プリズム特性、または→ _rの準プリズム特性などのわずかな歪み関係さえも満たしていません。その理由は→ということである_N^βは、還元性の表現を繰り返すことができます。といった：
ここに画像の説明を挿入します

上記の2つの縮小式の場合、単一ステップの関係でそれらを同じ式に縮小することはできません。次のセクションでは、この問題を解決する方法は、サブリレーションの周りに並列縮小の概念を定義することであることがわかります。これにより、左側の2つの（（λy.y）（λz.z））サブ式が同時に減らすことができます。今のところ、定理4.4を証明しようとはしません。次の章では、関連する言語のプリズム的な性質を示します。

Bの関係式とは異なり、すべての式の結果はfまたはtのいずれかであり、すべてのLambda式が正規形であるとは限りません。たとえば、Ωのパラダイムはありません。
ここに画像の説明を挿入します

式にパラダイムがある場合でも、パラダイムになることのない無限の縮小順序が存在する可能性があります。たとえば、次のようになります。
ここに画像の説明を挿入します

したがって、定理4.2は、多くても1つのパラダイムがあることを保証するだけですが、これまでのところ、その方法は見つかりませんでした。直感的に言えば、上記の無限縮小問題により、関数のパラメーターを計算できますが、このパラメーターは関数本体では使用されません。：これは達成パラダイムについてのβまたはηのほとんどを左に私たちを促さ
$Katexパースエラー：ガット機能「\上線」NO AS AT添字位置の引数を持つ3：→_ \上線{G}$ の関係は次のように知られてよく順序付けられた削減関係では、パラダイムの存在を前提としてパラダイムが見つかります。
ここに画像の説明を挿入します

定理4.5 [グッドオーダーリダクション]：M→→G‾_{$\ overline {G}の$}場合のみ_{$\overline{G}$} Nの場合、NはMの通常の形式です。

アバウトの適切な順序（通常の順序の削減）は、ネームコール（名前による呼び出し）とも呼ばれます。

パラダイムが存在する場合、秩序だった削減によってパラダイムが見つかりますが、この削減関係を使用するプログラミング言語はほとんどありません。良い順序は効果的ですが非常に遅いためです。たとえば、前の段落で非プリズム性を証明した→ _nの関係では、左側の縮小は良い順序に対応し、右側の縮小は次のようになります。より少ないステップで同じ機能。

我々は独自の正規形の概念を持っているので、いずれにしても、問題は、私たちができるかどうかで定義しようevalの_n個の関数を定義することで、evalの_Rを： $eval_n（M）\ overset {\ text {？}} {=} N \ if \ M = _nN \ and \ N \ is \ a \ normal \ form$
$e v a l_{n個} （ M ） = ？ N i f M =_{n個} N a n d N i s a n o r m a l f o r m$
上記の定義は、αの名前変更には不正確ですが、より深刻な問題があります。私たちが見てきたように、類似したmkとYこの機能、彼らはなく、技術に関する相互に、同じように振る舞います。次の章では、この問題を解決する方法を探ります。

演習4.15

（（λx.xx）（λx.xx））にパラダイムがないことを証明します。

回答

（（λx.xx）（λx.xx））にβグッドオーダーリダクションを適用します：

（（λxを。X 、X）（λxを。X 、X））β（（λxを。X 、X）（λxを。X 、X））

βグッドオーダーリダクションの後、同じ式が得られるため、このリダクションはループしないため、正規形の式を取得できません。したがって、（（λx.xx）（λx.xx））は通常の形式ではありません。

4.8歴史

ターニングがチューリングマシンを発明する少し前に、チャーチはラムダ計算を発明しました。

Barendregtは、論理システムとして教会のラムダ計算を包括的に研究しました。用語を扱う多くの規則は、Barendregtに端を発しています。彼はラムダ計算を微積分のプログラミング言語とは見なしていませんでしたが、彼の本は微積分の多くのテクニックを提供しています。