8.干渉オブザーバーに基づく単一のロボットアームスライドモード制御

8.1シングルロボットアームモデル

外乱オブザーバを導入することにより、制御対象物の不確実性や外乱を正確に推定することができ、スライディングモード制御のゲインを低減し、 $\ tiny k_ {1}$ チャタリングを効果的に低減します。

不確実な単一のロボットアームの動的方程式は次のとおりです。

$\ small \ left（I + \ Delta I \ right）\ ddot {\ theta} + \ left（d + \ Delta d \ right）\ dot {\ theta} + \ delta _ {0} \ theta + mglcos \ theta = u -f_ {c} \ left（\ dot {\ theta}、u \ right）$ （8.25）

これらの中で $\ small \ theta$ 、システム出力角度である $\ small I = \ frac {4} {3} ml ^ {2}$ 慣性モーメントであり、 $\ small mg$ 重力は、 $\ small u$ 制御入力であり、 $\ small f_ {c} \ left（\ dot {\ theta}、u \ right）$ 未知の非線形摩擦は、回転中心からの質量の中心である $\ small l$ コネクティングロッド、コネクティングロッドの動きの粘性摩擦であり $\ small d$ 、 $\ small \ Delta I$ そして $\ small \ Delta d$ 対応するパラメータの不確実性であります値 $\ small \ delta _ {0}$ は弾性摩擦係数です。

式（8.25）をに変更します

$\ small \ ddot {\ theta} = \ frac {1} {I} u- \ frac {d} {I} \ dot {\ theta}-\ frac {\ Delta I} {I} \ ddot {\ theta} -\ frac {\ Delta d} {I} \ dot {\ theta}-\ frac {\ delta _ {0}} {I} {\ theta}-\ frac {1} {I} mglcos \ theta- \ frac {1} {I} f_ {c} \ left（\ dot {\ theta}、u \ right）$

次に、不確実な単一のロボットアームは、2次微分方程式で表すことができます。

$\ small \ ddot {\ theta} = -b \ dot {\ theta} + au-f$ （8.26）

$\ small b = \ frac {d} {I}> 0$ 、 $\ small a = \ frac {1} {I}> 0$ 、 $\ small a$ と $\ small b$ 知られている値は、 $\ small f$ 不確実性を表す、重力項の和、及び摩擦用語、

$\ small f = \ frac {\ Delta I} {I} \ ddot {\ theta} + \ frac {\ Delta d} {I} \ dot {\ theta} + \ frac {\ delta _ {0}} {I } \ theta + \ frac {1} {I} mglcos \ theta + \ frac {1} {I} f_ {c} \ left（\ hat {\ theta}、u \ right）$

8.2シングルマニピュレータモデル用のスライディングモードコントローラの設計と分析

滑り面は次のように設計されています

$\ small s = ce + \ dot {e}、c> 0$ （8.27）

その中 $\ small e = r- \ theta$ で $\ small r$ 、場所です。

制御対象式（8.26）を目指して、設計スライディングモード制御則は

$\ small u（t）= \ frac {1} {a} \ left（c \ dot {e} + \ ddot {r} + b \ dot {\ theta} + \ hat {f} + k_ {1} sgn \ left（s \ right）\ right）$ （8.28）

その中に $\ small \ hat {f}$ は $\ small f$ 、干渉オブザーバーによる項の推定値と、項の推定誤差 $\ small \ hat {f}$ があり $\ small f$ ます。

スイッチングゲイン係数は次の $\ small k_ {f}$ ように設計されています

$\ small k_ {f}> \ left | \ tilde {f} \ right |$ （8.29）

リャプノフ関数は

$\ small V_ {1} = \ frac {1} {2} s ^ {2}$

のため

$\ small \ dot {s} = c \ dot {e} + \ ddot {e} = c \ dot {e} + \ ddot {r}-\ ddot {\ theta} = c \ dot {e} + \ ddot {r} + b \ dot {\ theta} -au + f$

制御法則の式（8.28）を上記の式に代入すると、次のようになります。

$\ tiny \ dot {s} = c \ dot {e} + \ ddot {r} + b \ dot {\ theta}-\ left（c \ dot {e} + \ ddot {r} + b \ dot {\ theta} + \ hat {f} + k_ {f} sgn \ left（s \ right）\ right）+ f =-\ left（\ hat {f} + k_ {1} sgn \ left（s \ right）\右）+ f = f-k_ {1} sgn \ left（s \ right）$

その後

$\ small \ dot {V} _ {1} = s \ dot {s} = s \ tilde {f} -k_ {1} \ left | s \ right | <0$

満たされるためには $\ small \ dot {V} _ {1} <0$ 、満たされる必要があることがわかり $\ small k_ {f}> \ left | \ tilde {f} \ right |$ ます。項 $\ small f$ の推定誤差が $\ small \ tilde {f}$ 十分に小さい場合は、スイッチングゲイン係数 $\ small k_ {f}$ を小さい値に設計することで、チャタリングを効果的に低減できます。

8.3干渉オブザーバーの設計

干渉 $\ small f$ 項を観察するために、オブザーバーは次のように設計されています。

$\ small \ begin {bmatrix} \ dot {\ hat {f}} \\ \ dot {\ hat {x}} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0＆0 \\ 1＆0 \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} \ hat {f} \\ \ hat {x} \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left（\ ddot {r} + b \ dot {\ theta} \ right）+ \ begin {bmatrix} 0 \\ -a \ end {bmatrix} u + \ begin {bmatrix} k_ {1} \\ k_ {2} \ end {bmatrix} \ left [\ dot { e}-\ hat {x} \ right]$ （8.30）

これ $\ small \ hat {f}$ は、 $\ small f$ 推定 $\ small \ hat {x}$ 用の干渉推定 $\ small \ dot {e}$ 値 $\ small \ tilde {x} = \ dot {e}-\ hat {x}$ で $\ small k_ {1}$ あり $\ small k_ {2}$ 、極によって構成されたゲインです。

干渉オブザーバーの式（9.30）は次のように表されます。

$\ small \ dot {\ hat {f}} = k_ {1} \ tilde {x}$ （8.31）

$\ small \ dot {\ hat {x}} = \ hat {f} -au + k_ {2} \ tilde {x} + \ ddot {r} + b \ dot {\ theta}$ （8.32）

8.4シミュレーション例

単一のロボットアームの動的方程式が

$\ small \ ddot {\ theta} = -b \ dot {\ theta} + au-f$ （8.33）

それらの中で $\ small a = 5、b = 15$ 。

被告人の中で、それを取る $\ small f = 5 + 0.15sint$ 。制御則は（8.28）で $\ small c = 3.0$ あり、干渉オブザーバーは式（8.31）と式（8.32）を取り $\ small k_ {1} = 1500、k_ {2} = 200$ ます。テイク $\ small M = 1$ 克服するために、干渉オブザーバを使用せずに、 $\ small f$ 用語を、設計が必要とされ $\ small k_ {f} = 6.0$ 、およびシミュレーション結果を図と図に示しています。テイク $\ small M = 2$ 、干渉オブザーバーを採用、テイク、 $\ small k_ {f} = 0.15$ シミュレーション結果は写真のように表示されます。

図9.1制御入力信号（M = 2）

図9.2位置追跡と追跡エラー（M = 2）

図9.3干渉とその観測結果（M = 2）

シミュレーションプログラム：

simulinkメインプログラム：chap9_5sim.mdl

コントローラSの機能：chap9_5ctrl.m

function [sys,x0,str,ts]=spacemodel(t,x,u,flag)
switch flag,
case 0,
      [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 3,
      sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
      sys = [];
otherwise
      error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end 

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumOutputs       =1;
sizes.NumInputs        =5;
sizes.DirFeedthrough   =1;
sizes.NumSampleTimes   =1;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [];
str = [];
ts = [0 0];

function sys = mdlOutputs(t,x,u)
r = u(1);
dr = cos(t);
ddr = -sin(t);
th = u(2);
dth = u(3);
fp = u(5);

e = r-th;
de = dr - dth;
c = 3;
s = de+c*e;

b = 15;
a = 5;

M = 2;
if M ==1             %  Traditional with SMC 
    Kf = 6;
%     Kf = 0.15;
    ut = 1/a*(c*de+ddr+b*dth+Kf*sign(s));
elseif M ==2         % SMC with observer
    Kf = 0.15;
    ut = 1/a*(c*de+ddr+b*dth+1*fp+Kf*sign(s));
end
sys(1) = ut;

外乱オブザーバーS関数：chap9_5obv.m

function [sys,x0,str,ts]=s_function(t,x,u,flag)
switch flag,
case 0,
      [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 1,
      sys = mdlDerivatives(t,x,u);
case 3,
      sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
      sys = [];
otherwise
      error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end 

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates    =2;
sizes.NumDiscStates    =0;
sizes.NumOutputs       =1;
sizes.NumInputs        =4;
sizes.DirFeedthrough   =0;
sizes.NumSampleTimes   =0;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [0;0];
str = [];
ts = [];

function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
r = sin(t);
dr = cos(t);
ddr = -sin(t);

ut = u(1);
dth = u(3);
x2 = dr - dth;
K1 = 1500;
K2 = 200;
a =5;b = 15;
sys(1) = K1*(x2-x(2));
sys(2) = x(1)-b*x(2)-a*ut+K2*(x2-x(2))+ddr+b*dth+b*x(2);
function sys = mdlOutputs(t,x,u)


sys(1) = x(1);

制御対象オブジェクトS関数：chap9_5plant.m

function [sys,x0,str,ts] = s_function(t,x,u,flag)
switch flag,
case 0,
      [sys,x0,str,ts] = mdlInitializesSizes;
case 1,
      sys = mdlDerivatives(t,x,u);
case 3,
      sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
      sys = [];
otnerwise
      error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end 

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates    =2;
sizes.NumDiscStates    =0;
sizes.NumOutputs       =3;
sizes.NumInputs        =1;
sizes.DirFeedthrough   =0;
sizes.NumSampleTimes   =0;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [0;0];
str = [];
ts = [];

function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
ut = u(1);
b = 15;
a = 5;

f = 5+0.15*sin(t);
ddth = -b*x(2)+a*ut-f;

sys(1)=x(2);
sys(2)=ddth;
function sys = mdlOutputs(t,x,u)
f = 5+0.15*sin(t);
sys(1) = x(1);
sys(2) = x(2);
sys(3) = f;

描画プログラム：chap9_5plot.m

close all;

figure(1);
subplot(211);
plot(t,y(:,1),'r',y(:,2),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('Position tracking');
subplot(212);
plot(t,y(:,1)-y(:,2),'r');
xlabel('time(s)');
ylabel('Position tracking error');

figure(2);
plot(t,ut(:,1),'r');
xlabel('time(s)');
ylabel('Control input');

figure(3);
plot(t,f(:,3),'r',t,f(:,4),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('f and fp');

Simulinkシミュレーションダイアグラムと対応するS-Function関数のmファイルがパッケージ化され、リソースにアップロードされています。コードが少し変更されています。必要に応じてダウンロードしてください。

ロボットダイナミクスと制御研究ノート（8）————外乱オブザーバーに基づくシングルマニピュレータースライディングモード制御

8.干渉オブザーバーに基づく単一のロボットアームスライドモード制御

8.1シングルロボットアームモデル

8.2シングルマニピュレータモデル用のスライディングモードコントローラの設計と分析

8.3干渉オブザーバーの設計

8.4シミュレーション例

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