Attribution de faisceaux à faible complexité pour les systèmes MIMO massifs multi-utilisateurs basés sur des faisceaux commutés Notes de lecture 1

INTRODUCTION

Cet article vise à développer un algorithme d'allocation de faisceaux de faible complexité pour maximiser le débit de données total d'un système MIMO massif multi-utilisateurs basé sur des faisceaux commutés en utilisant la méthode Butler avec NN.Un réseau linéaire uniforme de$N$ éléments d'antenne est KKLes services utilisateurs$K$$N$ poutres fixes, soit :$N\gg K.$ _ Le problème d'allocation de faisceaux est formulé comme un problème d'optimisation combinatoireavec deux contraintes, c'est-à-dire que chaque utilisateur peut être desservi par au plus un faisceau, et chaque faisceau peut desservir au plus un utilisateur. La complexité de l'obtention de la solution optimale pour la recherche par force brute est$O\left(N^K\right)$, en nombre de faisceauxNNProblèmes difficiles à résoudre lorsque$N\; est\; grand.$

Cet article propose un algorithme d'allocation de faisceaux sous-optimal de faible complexité ( LBA ) basé sur la théorie de l'optimisation sous-modulaire , qui est un outil puissant pour résoudre les problèmes d'optimisation combinatoire [37]. Plus précisément, le problème d'optimisation d'origine est d'abord reconstruit en un problème de maximisation sous-modulaire non monotone sous deux contraintes de matroïde de partition . En raison de la nature non monotone de la fonction objectif, le problème présente toujours une complexité de calcul élevée. Afin de réduire la complexité, le problème de maximisation de sous-modules non monotones est en outre découplé en deux sous-problèmes, dont un sous-problème d'association faisceau-utilisateur et un sous - problème d' allocation de faisceau. est un problème de maximisation sous-modulaire monotone soumis à une contrainte matroïde à partition unique , qui peut être résolu efficacement par un algorithme glouton. Ensuite l’algorithme LBA est proposé en combinant les solutions de ces deux sous-problèmes. Les résultats de la simulation montrent que par rapport à la recherche par force brute optimale, notre algorithme LBA peut atteindre presque le même débit de données total, mais la complexité n'est que$O\left(KsalutgN\right)$。

Veuillez noter que afin de maximiser les débits de données, certains utilisateurs peuvent ne pas être servis, ce qui entraînera des retards pour les utilisateurs non desservis. Il est donc très important d’étudier combien d’utilisateurs le système peut servir simultanément. Cette performance est exprimée dans l'article par le ratio de service , qui est défini comme le rapport du nombre d'utilisateurs desservis au nombre total d'utilisateurs. Une expression explicite du rapport de service moyen (c'est-à-dire le rapport de service moyen à l'emplacement de l'utilisateur) est obtenue et représentée par le nombre de faisceaux $N$ et le nombre d'utilisateursKKFonction croissante monotone du rapport de$K.$Les résultats de simulation vérifient que les résultats de l'analyse peuvent bien se rapprocher du taux de service moyen, fournissant ainsi des informations importantes sur la latence du service.

Le reste de cet article est organisé comme suit. La section 2 présente le modèle du système et la formulation du problème. Un algorithme d'allocation de faisceaux de faible complexité est proposé dans la section III, suivi des résultats de simulation et des discussions dans la section IV, et les conclusions sont résumées dans la section V.

Dans cet article, $E[\cdot ]$ représente l'opérateur d'attente. $X\sim CN\left(tu,p^2\right)$signifie que la moyenne est$u$ , la variance est$p^2$ variables aléatoires gaussiennes complexes. $|X|représentel\text{'}$ ensembleXXLa base de$X.$$2^X$ représente l'ensembleXXL'ensemble des puissances de$X.$$X\cap Y$和$X\cup Y$ représente respectivement l'ensemble$X$ et définissezYYL'intersection et l'union de$Y.$$X\backslash Y$ représente l'ensemble$Y$ est dans la collectionXXComplément relatif dans$X$$\varnothing$ représente l'ensemble vide. $\left(\begin{array}{l}n\\ \end{array}\right)$ représente le coefficient binomial, c'est-à-dire de$Parmi\; n$ ensembles d'éléments différents, sélectionnez$Le\; nombre\; de\; façons\; de\; k$ éléments. $\left\{\begin{array}{l}n\\ \end{array}\right\}$ représente le deuxième type de nombre de Stirling, c'est-à-dire$L’ensemble\; de\; n$ éléments différents est divisé en$Le\; nombre\; de\; méthodes\; pour\; k$ sous-ensembles non vides.

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II. MODÈLE DE SYSTÈME ET FORMULATION DU PROBLÈME

Comme le montre la figure 1(a), envisagez d'avoir KKUn systèmemulti-utilisateursbasé sur un faisceau$commuté\; avec\; K$$BS\; de\; N$ réseaux linéaires d'unités d'antenne isotropes identiques équidistantes, formant$Transmission\; descendante\; de\; N$ faisceaux fixes. Supposons que$K$ utilisateurs sont répartis uniformément à l’intérieur de la cellule circulaire de rayon unitaire, et chaque utilisateur est équipé d’une antenne. La BSest située au centre de la cellule et toutes les antennes BS sont à une distance de$d=$placés à intervalles égaux à$\mathrm{0,5}$$\lambda$$\lambda$ est la longueur d'onde de propagation. $\left(r_{},{je}_{}\right)$ représente l'utilisateur$position\; k$ .

N = 2 i N = 2^i est formé en appliquant la méthode de Butler$N=2^{Faisceau\; de\; i}$ (où$je\ge 1$ est un nombre entier), toute poutre$n$，$n=1,2，\cdot \cdot \cdot ,$ un angle de départ (AoD) du$signal\; N$ θ θLe facteur de tableau normalisé deθ$est$ donné par [24]

$${UN}_{}\left(je\right)=\frac{\mathrm{péché}(\mathrm{0,5}N\pi parce\; queje-b_{}}{N\mathrm{péché}\left(0,5p\_parce\; queje-\frac{}{N}{b}_{}\right)}\text{\hspace{1em}( 1 )}$$

La figure 1 (b) illustre $N=$Le modèle de réseau ( modèle de réseaugénéré selon (1) et (2) à$16$ heures , dans lequel l'indice de faisceau augmente de 1 à$N.$ .

Ajouter un utilisateur $k$ comme utilisateur de référence. Différent des canaux multitrajets dans les systèmes cellulaires traditionnels [38]-[40], en supposant l'existence deLOSà des fréquences d'ondes millimétriques, l'utilisateurkkL'AoDdu signal reçu en$k$ est${je}_{}$, la puissance reçue correspondante peut s'écrire [41]

$${P.}_{}=\sum _{n=1}{c}_{k,}\cdot p_{}\cdot D_{}\left({je}_{}\right)\cdot r_k^{-}\text{\hspace{1em}( 3 )}$$

2 : La directivité est une mesure de la directivité d'une antenne unique par rapport à une antenne isotrope rayonnant la même puissance totale. En d’autres termes, la directivité est le rapport de la densité de puissance d’une antenne anisotrope par rapport à une antenne isotrope rayonnant la même puissance totale [42].

在(3)中，$c_{k,}\in \{0,1\}$ représente l'indicateur d'allocation de faisceau. Si faisceau$n$ est attribué à l'utilisateur$k$，$c_{k,}=1$ .

$$\underset{{\left\{c_{k,}\right\}}_{\forall k,\forall }}{}\sum _{k=1}{R.}_{}\text{\hspace{1em}( 10a )}$$

$$\text{ St }\sum _{n=1}{c}_{k,}\le 1,\forall k\_\in \{1,2,\cdots ,K\}\text{, }\text{\hspace{1em}( 10b )}$$

$$\sum _{k=1}{c}_{k,}\le 1,\forall n\_\in \{1,2,\cdots ,N\}\text{\hspace{1em}( 10c )}$$

$$\begin{array}{l}{c}_{k,}\in \{0,1\},\forall k\_\in \{1,2,\cdots ,K\},\\ \forall n\_\in \{1,2,\cdots ,N\end{array}\text{\hspace{1em}( 10j )}$$

(10b) et (10c) respectent respectivement la contrainte selon laquelle chaque utilisateur peut sélectionner au plus un faisceau pour la transmission, et chaque faisceau peut être utilisé par au plus un utilisateur pour éviter de graves interférences intra-faisceau.

Pour le problème d'optimisation combinatoire donné par (10a)-(10d), en tout $(N+1{)}^{La\; recherche\; de\; force\; brute\; parmi\; K}$ affectations de faisceaux possibles donnera lieu àNNLe système MIMO massif de$N\; a\; une\; complexité\; insupportablement\; élevée.$

Dans la littérature [43]-[47], une méthode largement utilisée pour résoudre le problème d'optimisation combinatoire consiste à combiner les indicateurs $c_{k,}$Détendez-vous à une variable continue entre 0 et 1 et convertissez la fonction objectif en fonction convexe. Il peut ensuite être résolu efficacement par un algorithme d’optimisation convexe. Or, dans notre exemple, il y a $N\times L\text{'}indice\; K$ doit être optimisé, même si une relaxation est effectuée, cela conduira toujours à$La\; complexité\; de\; calcul\; de\; N$ est prohibitive. Par conséquent, dans cet article, nous nous tournons vers l'optimisation sous-modulaire,qui s'est avérée être un outil puissant pour résoudre les problèmes d'optimisation combinatoire [37]. Dans la section suivante, le problème d'affectation de faisceaux sera reformulé comme unproblème de maximisationdes contraintes matroïdes

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III. CONCEPTION D'ATTRIBUTION DE FAISCEAU BASÉE SUR UNE OPTIMISATION SUBMODULAIRE

Avant de reformuler notre problème d’affectation de faisceaux en problème d’optimisation sous-modulaire, donnons d’abord les définitions des fonctions sous-modulaires et des matroïdes données dans [37] comme suit.

A. Définition de base

Définition 1 : Soit $U$ est un ensemble de base fini,$2^U$为$L\text{'}ensemble\; puissance\; de\; U$ (c'est-à-dire l'ensemble de tous les sous-ensembles de U, y compris l'ensemble vide et$U$ lui-même). une fonction définie$f\left(S\right)$ , l'entrée est$S\subseteq U$ (即$S\in 2^U$ ), la sortie est une valeur réelle, notée$F:2^U\to R$ , peut être appelé sous-modulaire si

$$f\left(S\right)+f\left(T\right)\ge f(S\cap T)+f(S\cup T)\text{\hspace{1em}( 11 )}$$

Pour tout $S,T\subseteq U.\_$ _ Une définition équivalente de la fonction sous-modulaire est

$$f(S\cup \{e\})-f\left(S\right)\ge f(T\cup \{e\})-f\left(T\right)\text{\hspace{1em}( 12 )}$$

Pour tout $S\subseteq T\subseteq U$和$e\in U\backslash T$ , c'est-à-dire que le gain marginal de l'ajout d'un élément supplémentaire à l'ensemble diminue avec la taille de l'ensemble. Intuitivement, si une fonction d’ensemble est sous-modulaire, alors son gain marginal diminue à mesure que la taille de l’ensemble augmente en y ajoutant davantage d’éléments.

En particulier, une fonction définie $f\left(S\right)$ est monotone si

$$f\left(S\right)\le f\left(T\right)\text{\hspace{1em}( 13 )}$$

Pour tout $S\subseteq T\subseteq U.$ _

B. Reformulation du problème

$$\begin{array}{rl}U=& \{{toi}_{1,},{toi}_{1,},\cdots ,{toi}_{1,};{toi}_{2,},{toi}_{2,},\cdots ,{toi}_{2,};\cdots ;\\ & {toi}_{K,},{toi}_{K,},\cdots ,{toi}_{K,}\}\end{array}\text{\hspace{1em}( 15 )}$$

Et l'ensemble d'allocation de faisceau $S$为UUUn sous-ensemble de$U$${toi}_{k,}\in SSi$ le faisceau n est attribué à l'utilisateur k, c'est-à-dire ck,n= 1, ∀k, n ; sinon, uk,n∈/ S pour tout ensemble d'allocation de faisceau S⊆U, la fonction objectif de (10a) peut s'écrire comme

$${R.}_{}\left(S\right)=\underset{{toi}_{k,}\in S\_}{}{salutg}_{}\left(1+\frac{\frac{{P.}_{}}{|S|}{D}_{}\left({je}_{}\right)r_k^{-}}{p_0^{}+{\sum }_{{toi}_{j,l}\in S,j\ne }\frac{{P.}_{}}{|S|}{D}_{}\left({je}_{}\right)r_k^{-}}\right),\text{\hspace{1em}( 16 )}$$

D'après (3) et les formules (6)-(9).

La contrainte peut s'écrire comme l'intersection de deux matrices de partitionnement sur l'ensemble fondamental U. Plus précisément, divisons l'ensemble fondamental U en K sous-ensembles disjoints, U1U, U2U,···,UKU, où UkU={ uk,1, uk,2, ···, uk,N} est l'ensemble contenant toutes les affectations de faisceaux possibles pour l'utilisateur K, et l'exposant indique le partitionnement de l'ensemble au sol en fonction de l'index utilisateur. Puisque l’indice d’allocation de faisceau ck,n = 1 si uk,n appartient à l’ensemble d’allocation de faisceau S, c’est-à-dire uk,n∈S, alors les contraintes données dans (10b) peuvent s’écrire sous la forme S∈IU, où

$\frac{}{p+2+\frac{}{p}+ϵ}$est un paramètre donné avec une petite valeur, $p$ estcontraintes matroïdes. Il est également montré dans [48] que cet algorithme nécessite au plus$Ô\left(\frac{}{ϵ}p{q}^{4}salutgq\right)$ opérations locales, où q est la taille de l'ensemble au sol. Dans notre cas, la taille de l'ensemble fondamental q = |U| = KN, et le nombre de contraintes matricielles ? p = 2, le nombre d'opérations locales requises est O ( 1 ϵ ( KN ) 4 log ⁡ ( KN )$Ô\left(\frac{}{ϵ}\left(KN{)}^4\log \right(KN)\right)$ , lorsque le nombre de faisceaux N est grand, la complexité est encore très élevée$.$Dans la section suivante, le problème d'allocation de faisceau donné par (20a) - (20c) est découplé en deux sous-problèmes, et sur cette base, un algorithme d'allocation de faisceau de faible complexité est proposé.