séquence m (la plus longue séquence de registres à décalage à rétroaction linéaire) en détail

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séquence m (séquence de registre à décalage à rétroaction linéaire la plus longue)

Polynômes caractéristiques des registres à décalage à rétroaction linéaire

Relation de récurrence du registre à décalage à rétroaction linéaire

La relation de récurrence est également appelée fonction logique de rétroaction ou équation de récurrence. Supposons que l'état initial du registre à décalage à rétroaction linéaire illustré à la figure 2 est $\left({un}_{}{un}_{}\dots {un}_{n-}{un}_{n-}\right)$ , après une rétroaction linéaire à décalage, l'entrée du premier étage à l'extrémité gauche du registre à décalage est
$${un}_{}=c_{}{un}_{n-}+c_{}{un}_{n-}+\cdots +c_{n-}{un}_{}+c_{}{un}_{}=\sum _{je=1}{c}_{}{un}_{n-}$$

Si par $K$ se déplace, alors l'entrée de la première étape est
$${un}_{}=\sum _{je=1}{c}_{}{un}_{l-}$$
Parmi eux, $je=n+k-1\ge n,k=1,2,3,...$
On peut voir que l'entrée du premier étage du registre à décalage est déterminée par la logique de rétroaction et l'état d'origine du registre à décalage. La formule ci-dessus est appelée relation de récurrence.

Polynômes caractéristiques des registres à décalage à rétroaction linéaire

Utilisez le polynôme f(x) pour décrire l'état de connexion de rétroaction du registre à décalage à rétroaction linéaire :
$$f\left(x\right)=c_{}+c_{}X+\cdots +c_{}{X}^n=\sum _{je=0}{c}_{}{X}^i$$
est appelé polynôme caractéristique ou équation caractéristique. Parmi eux,$X^i$ existe, indiquant que$c_{}=1$ , sinon$c_{}=0$ , la valeur de x elle-même n'a aucune signification pratique. $c_{}$La valeur de détermine la connexion de rétroaction du registre à décalage. Puisque $c_{}=c_{}=1$ , donc, f(x) est un polynôme de degré n avec un terme constant de 1, et n est le nombre d'étages du registre à décalage.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un registre à décalage à rétroaction linéaire à n niveaux génère m séquences est que son polynôme caractéristique soit un polynôme primitif de degré n. Si un polynôme f(x) de degré n vérifie les conditions suivantes :

(1) f(x) est un polynôme réduit (c'est-à-dire un polynôme qui ne peut pas être factorisé);

(2) f(x) est divisible par $(x^p+1),p^n-1$ ;

(3) f(x) est indivisible $\left(x^{q+1}\right),q<p$。

Alors f(x) est appelé un polynôme primitif. Ce qui précède nous fournit une base théorique pour former la séquence m.

générateur de séquence m

Le générateur de séquence m est composé d'un registre à décalage à rétroaction linéaire, la clé est de déterminer l'état de la ligne de rétroaction par le polynôme caractéristique f(x), et le polynôme caractéristique f(x) doit être un polynôme primitif.

Prenons maintenant n=4 comme exemple pour illustrer la composition du générateur de m-séquences. La séquence m générée par le registre à décalage à rétroaction linéaire à 4 étages a une période de $p=2^4-1=15$ , son polynôme caractéristique f(x) est un polynôme primitif de degré 4, divisible par$(x^{15}+1)$ . Première mise$(x^{15}+1)$ Décomposer les facteurs de sorte que chaque facteur soit un polynôme réduit, puis trouver f(x).
$$\begin{array}{rl}{X}^{15}+1& =(x+1)(x^2+X+1)(x^4+X+1)\\ & \cdot (x^4+X^3+1)(x^4+X^3+X^2+X+1\end{array}$$
Parmi eux, il y a 3 polynômes de degré 4, mais $(x^4+X^3+X^2+X+1)$ est divisible par$(x^5+1)$ , ce n'est donc pas un polynôme primitif. Trouvez donc deux polynômes primitifs de degré 4$(x^4+X+1)$ et$(x^4+X^3+1)$ . N'importe lequel d'entre eux peut générer des m-séquences. Utilisez$f\left(x\right)=(x^4+X+1)$ m \mathrm{m}formé$Le$ générateur de séquence m est représenté sur la figure.

Soit l'état initial du registre à décalage à 4 étages égal à 1000, $c_{}=c_{}=c_{}=1,c_{}=c_{}=0$ . séquence de sortie$\left\{{un}_{}\right\}$ a une longueur de cycle de 15.

Propriétés des m-séquences

Caractéristiques d'équilibre (balance)

Le nombre de 1 dans chaque cycle de la séquence m est supérieur de 1 au nombre de 0. Puisque $p=2^n-1$ est un nombre impair, donc le nombre de 1 dans chaque cycle est$(p+1)/2=2^{n-1}$ (nombre pair), et le nombre de 0 est$(p-1)/2=2^{n-1}-1$ (nombre impair). Dans l'exemple ci-dessus, p=15, le nombre de 1 est 8 et le nombre de 0 est 7. Lorsque p est suffisamment grand, le nombre d'occurrences de 1 et 0 dans un cycle est fondamentalement égal.

Propriétés de longueur de plage (caractère aléatoire de la distribution de longueur de plage)

Nous appelons les éléments d'une séquence qui ont la même valeur (1 ou 0) connectés ensemble comme une course. Le nombre d'éléments dans une course s'appelle la longueur de course. Par exemple, m \boldsymbol{m} donné dans la figureséquence$m$

Parmi les 15 éléments d'un cycle, il y a au total 8 longueurs de passe
: 1 longueur de passe de longueur 4, soit 1111 ; 1
longueur de passe de longueur 3, soit 000 ;
2 longueurs de passe de longueur 2, soit 11 et 00
; Il y a 4 séquences de 1, c'est-à-dire 2 1 et 2 0.

Une période de m séquence $(p=2^{n-1})$, le nombre total d'exécutions est$2^{n-1}$。

Le nombre d'exécutions de longueur 1 représente 1/2 du nombre total d'exécutions ; le nombre d'exécutions de longueur 2 représente 1/2 du nombre total d'exécutions 2 = 1/4 1/2^{2} $1/2^2=1/4$ ; Le nombre de pistes de longueur 3 représente 1/2 du nombre total de pistes$1/2^3=1/8$ et ainsi de suite.

Généralement, le nombre d'exécutions de longueur k représente 1 / 2 du nombre total d'exécutions $1/2^k=2^{-k}$ , où $1\le k\le (n-2)$ . De plus, dans les séries de longueur k, les séries de 1 et les séries de 0 comptent chacune pour moitié, la série de longueur (n-1) est la série de 0 et la série de longueur n est la série de 1.

Fonction Shift-Add (superposition linéaire)

$La\; suite\; obtenue\; après\; addition\; de\; la\; suite\; m$ et de sa suite de déplacement modulo 2 est toujours lam \boldsymbol{m}Une séquence de déplacement de la$séquence\; m\; .$Laissez$m_{}$est la m séquence mp m_{p} de période p$m_{}$La séquence après r décalage de retard, alors
$$m_{}\oplus m_{}=m_{}$$
Parmi eux, $m_{}$pour $m_{}$Séquence après un certain décalage de retard. Par exemple,
$$m_{}=000111101011001,\dots$$

$m_{}$mr m_{r} après un délai de deux chiffres$m_{}$, 再模二相加
$$\begin{array}{l}{m}_{}=010001111010\\ m_{}=m_{}\oplus m_{}=010110,\end{array}$$
Visible, $m_{}=m_{}\oplus m_{}$pour $m_{}$Séquence après retard de 8 bits.

propriétés d'autocorrélation

$La\; séquence\; m$ a des propriétés d'autocorrélation très importantes. en$Dans\; la\; séquence\; m$ , +1 est souvent utilisé pour représenter 0 et -1 est utilisé pour représenter 1. Définissez à ce moment : m \boldsymbol{m}dont la longueur est p$m$序列, 记作
$${un}_{},{un}_{},{un}_{},\dots ,{un}_{}(p=2^{n-1})$$
àj \boldsymbol{j}Après$j$$m$序列为
$${un}_{j+},{un}_{j+},{un}_{j+},\dots ,{un}_{j+}$$
Parmi eux, ${un}_{je+}={un}_{}$(avec p comme période), les éléments correspondants des deux séquences ci-dessus sont multipliés puis additionnés, et la somme résultante est
$${un}_{}\cdot {un}_{j+}+{un}_{}\cdot {un}_{j+}+{un}_{}\cdot {un}_{j+}+\cdots +{un}_{}\cdot {un}_{j+}=\sum _{je=1}{un}_{}{un}_{j+}$$
Pour mesurer le degré de corrélation entre une séquence m et sa séquence de décalage j, et l'appeler $m$序列$({un}_{},{un}_{},{un}_{},\dots ,{un}_{})$ fonction d'autocorrélation. Écrire
$$R\left(j\right)=\sum _{je=1}{un}_{}{un}_{j+}$$
Lorsque les nombres binaires 0 et 1 sont utilisés pour représenter les valeurs possibles des symboles, la formule ci-dessus peut être exprimée comme suit :
$$R\left(j\right)=\frac{UN-}{UN+D}=\frac{UN-}{p}$$
Dans la formule, A et D sont respectivement m \boldsymbol{m}Le nombre d'éléments identiques et différents correspondant à la$séquence\; m$
$$R\left(j\right)=\frac{[{un}_{}\oplus {un}_{je+}=0]\text{nombre de}-[{un}_{}\oplus {un}_{je+}=1]}{p}$$

Selon la fonction shift-add, ${un}_{}\oplus {un}_{je+}$C'est toujours un élément de la séquence m, donc le numérateur de la formule est égal à la différence entre le nombre de 0 et le nombre de 1 dans une période de la séquence m. Aussi par $Le\; bilan\; de\; la\; m-$ séquence montre que le nombre de 0 est un de moins que le nombre de 1 dans une période, donc$UN-D=-1$ (lorsque j est un entier non nul) ou p (lorsque j est nul). Donc
$$R\left(j\right)=\{\begin{array}{ll}1& j=0\\ \frac{-}{p}& j=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm (p-1\end{array}.$$

m \mathrm{m}La fonction d'autocorrélation de la$m\; -séquence\; n\text{'}a\; que\; deux\; valeurs\; (1\; et\; -1/p).$R(j) est une fonction périodique, c'est-à-dire
$$R\left(j\right)=R(j+kp)$$
où$k=1,2,\dots ,p=(2^n-1)$ est la période. Et$R\left(j\right)$ est une fonction paire, c'est-à-dire que
$$R\left(j\right)=R(-j)j=\text{ entier }$$

Caractéristiques du pseudo-bruit

Si nous échantillonnons une distribution normale de bruit blanc, si la valeur échantillonnée est positive, elle est enregistrée comme +1,

Si la valeur d'échantillonnage est négative, enregistrez-la sous la forme -1 et organisez la polarité de chaque échantillonnage dans une séquence, qui peut être écrite comme...+1,-1,+1,+1,+1,-1, -1,+1,- 1,…

Il s'agit d'une séquence aléatoire, qui a les propriétés de base suivantes : (1) La probabilité que +1 et -1 apparaissent dans la séquence est égale ;

Les séquences de longueur 1 dans la séquence représentent environ 1/2 , les séquences de longueur 2 représentent environ 1/4 , les séquences de longueur 3 représentent environ 1/8, … \ $\dots$ Généralement, la longueur estk \mathrm{k}La course de$k$$1/2^k$ , et le nombre d'exécutions +1 et -1 est égal à la moitié ;

Le spectre de puissance du bruit blanc étant constant, sa fonction d'autocorrélation est une fonction impulsionnelle $\delta \left(\tau \right)$。 把$m$ séquence est comparée à la séquence aléatoire ci-dessus, lorsque la longueur du cycle$Lorsque\; p$ est assez grand,$Les\; propriétés\; de\; la\; m-$ séquence et de la séquence aléatoire sont très similaires. Visible,$La\; séquence\; m$ est une séquence pseudo-aléatoire avec de bonnes caractéristiques pseudo-acoustiques et est facile à générer, elle est donc largement utilisée.

les références:

1. Proakis, John G., et al. Ingénierie des systèmes de communication . Vol. 2. New Jersey : Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. MANUEL DE SOLUTIONS Ingénierie des systèmes de communication . Vol. 2. New Jersey : Prentice Hall, 1994.
3. Zhou Jiongpan. Communication Principles (3e édition) [M]. Pékin : Presses de l'Université des postes et télécommunications de Pékin, 2008.
4. Fan Changxin, Cao Lina. Principles of Communication (7e édition) [M]. Pékin : Presses de l'industrie de la défense nationale, 2012.