Contrôle adaptatif——Expérience de simulation 2 à l'aide du système adaptatif de référence du modèle de conception de schéma Narendra

1. Description du problème
2. Modélisation des problèmes
3. Résolution de problèmes
Annexe : Implémentation du code MATLAB
bibliographie

1. Description du problème

Soit la fonction de transfert de l'objet de contrôle
$W_{p}(s)=\frac{s+1}{s^{2}+ 8 s +20} \tag{1}$
La fonction de transfert du modèle de référence est
$W_{m}(s)=\frac{6(s+5) }{ s^{2}+13 s+40} \tag{2}$
concevoir un système adaptatif de référence de modèle avec le schéma Narendra et effectuer une simulation numérique pour comparer l'erreur de sortie du système et le processus de changement des paramètres réglables lorsque l'entrée est un signal de pas et un signal d'onde carrée.

2. Modélisation des problèmes

Le système de contrôle adaptatif de référence de modèle conçu par le schéma Narendra vise principalement la situation dans laquelle toutes les variables d'état ne peuvent pas être obtenues dans l'objet de contrôle réel, et la loi de contrôle adaptatif ne peut pas être formée normalement à travers les variables d'état du système. De plus, par rapport à d'autres méthodes qui utilisent l'entrée et la sortie de l'objet de contrôle pour former une loi adaptative, le schéma de Narendra ne nécessite pas la dérivée de la sortie de l'objet contrôlé et l'erreur généralisée, ce qui évite la perte de l'anti- capacité d'interférence du système adaptatif.

L'expression d'espace d'état de l'objet de contrôle à entrée unique et sortie unique ciblé par le schéma Narendra est
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}_ {p}& =\boldsymbol{A}_{p} \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{p} u \\ y_{p}&=\boldsymbol{h}^{T } \boldsymbol{ x}_{p} \end{aligné} \tag{3}$
Dans la formule $($ $3$ $)$ $\boldsymbol{x}_{p}$ pour $vecteur d'état n-$ dimensionnel, $\boldsymbol{A}_{p}$ pour $\fois n$ matrice, $\boldsymbol{b}_{p}$ est $\fois 1$ matrice, $\boldsymbol{h}^{T}$ est $\fois n$ -matrice. Alors la fonction de transfert de l'objet de contrôle est :
$W_{p}(s) =\ boldsymbol{h}^{T}\left(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{p}\right)^{-1} \boldsymbol{b}_{p}=\frac{ k_{ p} Z_{p}(s)}{R_{p}(s)} \tag{4}$
Dans la formule $($ $4$ $)$ $Z_{p}(s)$ estPremier polynôme de Goulwitz d'ordre $m$ $R_{p}(s)$ est $n$ -polynôme de Gurwitz du premier ordre.

Le modèle de référence a une structure similaire à un système ajustable :
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}_{m}&=\boldsymbol{ A} _{m} \boldsymbol{x}_{m}+\boldsymbol{b}_{m} r \\ y_{m}&=\boldsymbol{h}^{T} \boldsymbol{x}_{ m} \end{aligné} \tag{5}$

$W_{m}(s)=\boldsymbol{h}^{T} \left(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{m}\right)^{-1} \boldsymbol{b}_{m}=\frac{k_{m} Z_{m}(s )}{R_{m}(s)} \tag{6}$

Quand $n - m = 1$ , le schéma de contrôle adaptatif Narendra est conçu selon la méthode suivante.

$F_1$ dans le contrôleur $F$ et $F_2$ ， $F_1$ Connecté à la borne d'entrée de l'objet de contrôle, $F_2$ connecté à la sortie de l'objet de contrôle. Générateur de signal auxiliaire $F_1$ Le signal d'entrée de $u (t)$ , le signal de sortie est $\omega_1$ . Générateur de signal auxiliaire $F_2$ Le signal d'entrée est $y_p(t)$ , le signal de sortie est $\omega_2$ . Signal d'entrée complet $u (t)$ est de la forme :
$u(t)=k_{0} r(t)-\omega_{1}-\ oméga_ {2} \tag{7}$
Parmi eux, $k_0$ est ajouté à l'entrée de référence Gain réglable après $r$ $($ $t$ $) .$

Le générateur de signal auxiliaire de conception suivante $F_1$ et $F_2$ , qui sont tous deux $(n - 1)$ commander un système dynamique stable. $F_1$ L'expression d'espace d'état et la fonction de transfert de sont :
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{v}}_{1}&= \ boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{b} u \\ \omega_{1}&=\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{v}_{1} \ end {aligné} \tag{8}$

$W_{1}(s)=\boldsymbol{c}^{T}(s \boldsymbol{I }-\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{b}=\frac{C(s)}{N(s)} \tag{9}$

Dans la formule, $\boldsymbol{v}_{1}$ pour $(n - 1)$ vecteur colonne dimensionnel, $\boldsymbol{\Lambda}$ est $\fois (n-1)$ matrice, $\boldsymbol{c}$ est $(n - 1)$ vecteur de colonne dimensionnelle.

$F_{2}$ peut être décrit par la formule suivante $F$ ：
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{v}}_{2}&=\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{b} y_{p} \\ \omega_{2}&=\boldsymbol{d}^{T} \boldsymbol{v}_{2}+d_{0 } y_{p} \end{aligné} \tag{10}$

$W_{2}(s)=d_{0}+\boldsymbol{d }^{T}(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{b}=\frac{D(s)}{N(s)}+d_{0} \tag{11}$

Dans la formule, $\boldsymbol{v}_{2}$ pour $(n - 1)$ vecteur colonne dimensionnel, $\boldsymbol{d}$ est $(n - 1)$ vecteur de colonne dimensionnelle. $F_{1}$ et $F_{2}$ $\boldsymbol{\Lambda}$ dans l'équation d'état partagée $Λ$ et $\boldsymbol{b}$ Soit $b$
$\bold symbol{\Lambda}=\left[\begin{array } {ccc}0&\\\\vdots&I_{n-2}&\\0&&\\-l_{1}&\cdots&-l_{n-1}\end{array}\right] , \quad \symbole boule{ b}=\left[\begin{tableau}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{tableau}\right] \tag{12}$
La matrice de paramètres $\boldsymbol{c}$ et $\boldsymbol{d}$ définissent également :
$\bold symbol{c}^{T}=\left[\begin {array}{llll}c_{1}&c_{2}&\cdots&c_{n-1}\end{array}\right], \quad\ball symbol{d}^{T}=\left[\ begin{ tableau}{llll} d_{1} & d_{2} & \cdots & d_{n-1} \end{tableau}\right] \tag{13}$
En résumé, l'objet contrôlé $W_{p}(s)$ , générateur de signal auxiliaire $W_{1}(s)$ 、 $W_{2}(s)$ et gain réglable $k_{0}$ La fonction de transfert du système ajustable est la suivante :
$\begin{aligned} W(s)=\frac{y_{p}(s)}{r(s)} &=\frac{k_{0} W_{p}(s)}{1+W_ {1 }(s)+W_{2}(s) W_{p}(s)} \\ &=\frac{k_{0} k_{p} Z_{p}(s) N(s)}{ [N (s)+C(s)] R_{p}(s)+k_{p} Z_{p}(s)\gauche[d_{0} N(s)+D(s)\droite]} \end {aligné} \tag{14}$
Afin de rendre la fonction de transfert du système ajustable cohérente avec la fonction de transfert du modèle de référence, c'est-à-dire
$=\frac{k_{m } Z_{m}(s)}{R_{m}(s)} \tag{15}$
nécessite :
$k_{0} = \frac{k_{m}}{k_{p}} \tag{16}$

$Z_{m}(s) \tag{17}$

$R_{p}(s)+k_{p} Z_{p}(s) } {\left[d_{0} N(s)+D(s)\ droite]=R_{m}(s) Z_{p}(s) } \tag{18}$

Afin d'appliquer la théorie de la stabilité de Lyapunov pour concevoir la loi adaptative, le système ajustable et le modèle de référence doivent être réécrits sous la forme d'une équation d'état.

Utilisez $\boldsymbol{\omega}$ représente le vecteur signal dans le système ajustable :
$\boldsymbol{\omega}^{T}=\left[\begin{array}{llll } r & -\boldsymbol{v}_{1}^{T} & -y_{p} & -\boldsymbol{v}_{2}^{T} \end{array}\right] \tag{19 }$
用 $\boldsymbol{\theta}^{T}$ représente le vecteur de paramètre ajustable dans le système ajustable :
$\boldsymbol{\theta}^{T}=\left[\begin{array}{llll} k_ {0} & \boldsymbol{c}^{T} & d_{0} & \boldsymbol{d}^{T} \end{array}\right] \tag{20}$
Alors le signal de commande dans (7) peut être réécrit comme suit :
$u=\boldsymbol{\theta}^{T} \boldsymbol{\omega} \tag{21}$
Le système ajustable final peut être réécrit comme l'équation d'état suivante :
$\left[\begin{array}{c} \dot{\boldsymbol{x}}_{p} \\ \dot{\boldsymbol{v}}_{1} \\ \ point {\boldsymbol{v}}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{A}_{p} & 0 & 0 \\ 0 & \ boldsymbol {\Lambda} & 0 \\ \boldsymbol{b} \boldsymbol{h}^{T} & 0 & \boldsymbol{\Lambda} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l } \boldsymbol{x}_{p} \\ \boldsymbol{v}_{1} \\ \boldsymbol{v}_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ c } \boldsymbol{b}_{p} \\ \boldsymbol{b} \\ 0 \end{array}\right] \boldsymbol{\theta}^{T} \boldsymbol{\omega} \tag{22}$
设 $\boldsymbol{\theta}=\overline{\boldsymbol{\theta}}+\boldsymbol{\Psi}$ , si le modèle de référence correspond exactement au système ajustable, alors $\boldsymbol{\Psi}=0$ 。

Soit l'erreur entre la sortie de l'objet de contrôle et la sortie du modèle de référence soit $e_{1}$ ，则有
$e_{1}=y_{p}-y_{m}=\boldsymbol{h}_{c}^{ T}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{mc}\right)=\boldsymbol{h}_{c}^{T} \boldsymbol{e} \tag{23}$
Sélectionnez la fonction de Lyapunov comme
$V=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{e}^{T} \boldsymbol {P} \boldsymbol{e}+\boldsymbol{\Psi}^{T} \boldsymbol{\Gamma}^{-1} \boldsymbol{\Psi}\right) \tag{24}$
Dans la formule $($ $24$ $)$ $\boldsymbol{P}$ et $\boldsymbol{\Gamma}$ est une matrice symétrique définie positive, trouver $V$ 对时间的导数：
$\dot{V}=\frac{1 }{2} \boldsymbol{e}^{T}\left(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}_{c}+\boldsymbol{A}_{c}^{T} \boldsymbol{P}\ droite) \boldsymbol{e}+\boldsymbol{\Psi}^{T}\left(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{b}_{c}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e} +\boldsymbol{\Gamma}^{-1} \dot{\boldsymbol{\Psi}}\right) \tag{25}$
La loi adaptative finale
$\dot{\boldsymbol{\Psi}}=-\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{b} _{ c}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e} \tag{26}$
又 $\boldsymbol{b}_{c}^{T} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{h}_{c}^{T}$ ，则
$\dot{\boldsymbol{\theta}}=\dot{\boldsymbol{\Psi}}=-\boldsymbol{\ Gamma} \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{h}_{c}^{T} \boldsymbol{e}=-\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{\omega} e_{1} \tag{27}$

3. Résolution de problèmes

On peut voir à partir de la dérivation ci-dessus que pour concevoir le MRACS en utilisant le schéma de Narendra, il est nécessaire d'introduire un générateur de signal auxiliaire $F_{1}$ et $F_{2}$ . L'ensemble du paramétrage et de la conception de la loi auto-adaptative consiste à déterminer le vecteur de paramètres $\boldsymbol{\theta}^{T}=\left[\begin{array}{llll } k_{ 0} & \boldsymbol{c}^{T} & d_{0} & \boldsymbol{d}^{T} \end{array}\right]$ 。

Selon la formule (4) et la formule (6) dans le processus de dérivation, définissez :
$y_{p}=W_{p}(s) u=\frac{k_{p} Z_{p}(s)}{R_{p}(s ) } u, \quad y_{m}=W_{m}(s) r=\frac{k_{m} Z_{m}(s)}{R_{m}(s)} r \tag{28}$
Combiné avec le modèle spécifique donné dans la question, nous pouvons obtenir :
$\begin{tableau}{crr} R_{p}(s)=s^{2}+8 s+20 , & Z_{p}(s)=s+1, & k_{p}=1 \\ R_{m}(s)=s^{2}+13 s+40, & Z_{m}(s) =s +5, & k_{m}=6 \end{tableau} \tag{29}$
Générateur de signal auxiliaire $F_{1}$ et $F_{2}$ Ce sont :
$\dot{v}_{1}= -l v_{1}+u, \quad \omega_{1}=c v_{1}, \quad W_{1}(s)=\frac{C(s)}{N(s)}=\frac {c}{s+l} \tag{30}$

$\dot{ v}_{2}=-l v_{2}+y_{p}, \quad \omega_{2}=d v_{2}+d_{0} y_{p}, \quad W_{2}(s )=d_{0}+\frac{D(s)}{N(s)}=d_{0}+\frac{d}{s+l} \tag{31}$

Soit l'erreur de sortie $e_{1}$ et vecteur de paramètre ajustable $\boldsymbol{\theta}$ sont :
$e_{1}=y_{p}-y_{m} \tag{32}$

$\ball symbol {\theta}^{T}=\left[\begin{array}{llll} k_{0} & c & d_{0} & d \ fin {tableau}\right] \tag{33}$

du système ajustable peut être obtenue $W (s)$ 为：
$\begin{aligned} W(s) &=\frac{k_ {0}(s+1)(s+l)}{(s+l+c)\left(s^{2}+8 s+20\right)+(s+1)\left[d_{0 }(s+l)+d\droite]} \\ &=\frac{k_{m} Z_{m}(s)}{R_{m}(s)}=\frac{6(s+5) }{s^{2}+13 s+40} \end{aligné} \tag{34}$
D'après la formule (16), on sait que $\bar{k}_{0}=k_{m} / k_{p}=6$ 。

Selon la formule (17), $N(s)=s+l=Z_{m}(s)=s+5$ , alors $je = 5$ 。

à $W (s)$ nécessite que le numérateur et le dénominateur aient un facteur commun $(s + 1)$ , donc $s+l+\bar{c}=s+1$ , alors $\bar{c}=-4$ 。

à Éliminer le facteur commun $du numérateur et du dénominateur de W$ $($ $s$ $)$ $(s + 1)$ , on peut obtenir $\bar{d_{0}}=5$ ， $\bar{d}=-5$ 。

Dans (27) soit $\boldsymbol{\Gamma}$ est la matrice identité, alors la loi adaptative est la suivante :
$\dot{ k}_ {0}=-r e_{1}, \quad \dot{c}=v_{1} e_{1}, \quad \dot{d}_{0}=y_{p} e_{1 }, \ quad \dot{d}=v_{2} e_{1} \tag{35}$
, la loi adaptative continue ci-dessus est discrétisée et utilisée dans des expériences de simulation numérique réelles. la taille du pas d'intégration numérique $h$ , le vecteur d'état du modèle de référence et le vecteur d'état de l'objet de contrôle à chaque instant sont les suivants :
$\begin{aligned} \boldsymbol{x} _{ m}(k+1)&=\boldsymbol{x}_{m}(k)+h\left[\boldsymbol{A}_{m}(k) \boldsymbol{x}_{m}( k) +\boldsymbol{B}_{m}(k) r(k)\right] \\ \boldsymbol{x}_{p}(k+1)&=\boldsymbol{x}_{p}( k) +h\left[\boldsymbol{A}_{p}(k) \boldsymbol{x}_{p}(k)+\boldsymbol{B}_{p}(k) u(k)\right ] \ end{aligné} \tag{36}$
La sortie du modèle de référence et la sortie de l'objet de contrôle à chaque instant sont les suivantes :
$y_{m}(k )=\ boldsymbol{h}^{T} \boldsymbol{x}_{m}(k), \quad y_{p}(k)=\boldsymbol{h}^{T} \boldsymbol{x}_{ p}( k) \tag{37}$
introduit deux générateurs de signaux auxiliaires $F_{1}$ et $F_{2}$ Le vecteur d'état de est le suivant :
$\begin{aligned} v_{1}(k+1)&=v_{1}(k)+h\left[\boldsymbol{\Lambda } v_{ 1}(k)+\boldsymbol{b} u(k)\right] \\ v_{2}(k+1)&=v_{2}(k)+h\left[\boldsymbol{\ Lambda} v_ {2}(k)+\boldsymbol{b} y_{p}(k)\right] \end{aligned} \tag{38}$
Une fois la loi adaptative finale discrétisée, elle peut s'écrire
$\boldsymbol{\theta}(k+ 1 )=\boldsymbol{\theta}(k)-h \boldsymbol{\omega}(k) e_{1}(k) \tag{39}$
Sous l'entrée du signal de pas, la sortie $y_m(t)$ 、 $y_p(t)$ et son erreur $e$ , et le signal de commande intégré $La courbe de variation de u (t)$ est illustrée à la figure.

insérez la description de l'image ici

Figure 1. Sous l'entrée du signal de pas, la sortie et l'erreur du modèle de référence et du système réglable, et la courbe de changement du signal de commande intégré

Sous l'entrée de signal de pas, les courbes changeantes des quatre paramètres réglables sont illustrées à la figure 2.

insérez la description de l'image ici

Figure 2. Courbes de modification de quatre paramètres réglables sous l'entrée de signal de pas

Avec une entrée de signal carré, la sortie $y_{m}(t)$ 、 $y_p(t)$ et son erreur $e$ , et le signal de commande intégréLa courbe de variation de $u$ $($ $t$ $)$ est représentée sur la Fig.3.
insérez la description de l'image ici

Figure 3. Sous l'entrée de signal d'onde carrée, la sortie et l'erreur du modèle de référence et du système réglable, et la courbe de changement du signal de commande intégré

Sous l'entrée du signal d'onde carrée, les courbes changeantes des quatre paramètres réglables sont illustrées à la figure 4.

insérez la description de l'image ici

Figure 4. Courbes de modification de quatre paramètres réglables sous l'entrée de signal d'onde carrée

Annexe : Implémentation du code MATLAB

% 课本习题3.5-用Narendra方案设计MRACS，并比较输入为阶跃信号和方波信号时
% 系统的输出误差和可调参数的变化过程。
clear, clc;
close all;

% 数值积分步长和仿真步数
h = 0.01; L = 40/h;

% 可调系统参数
nump = [1, 1];          % 可调系统分子多项式系数
denp = [1, 8, 20];      % 可调系统分母多项式系数
[Ap, Bp, Cp, Dp] = tf2ss(nump, denp);   % tf2ss()函数从系统的传递函数建立系统的状态空间模型
n = size(Ap, 1);        % 状态向量的维数
% 参考模型参数
numm = 6*[1, 5];        % 参考模型分子多项式系数
denm = [1, 13, 40];     % 参考模型分母多项式系数
[Am, Bm, Cm, Dm] = tf2ss(numm, denm);
% 辅助信号发生器参数
Af = -5;                    % 通过推导得出的最佳辅助信号发生器的A矩阵参数
Bf = [zeros(n-2, 1); 1];

% 设定所有参数初始值
yr0=0;yp0=0;u0=0;e0=0;
v10=zeros(n-1,1);v20=zeros(n-1,1);
xp0=zeros(n,1);xm0=zeros(n,1);
theta0=zeros(2*n,1);
% r=2;yr=r*[ones(1,L/4) -ones(1,L/4) ones(1,L/4) -ones(1,L/4)];
yr=[zeros(1,L/4) ones(1,L/4) ones(1,L/4) ones(1,L/4)];

% 初始分配参数空间
time = zeros(1, L);         % 用于记录仿真的时刻，对应绘图的横轴
u = zeros(1, L);            % 控制对象的综合输入信号(L个值)
xp = zeros(n, L);           % 可调系统的状态向量(L个n维向量)
yp = zeros(1, L);           % 可调系统的输出(L个值)
xm = zeros(n, L);           % 参考模型的状态向量(L个n维向量)
ym = zeros(1, L);           % 参考模型的输出(L个值)
e = zeros(1, L);            % 输出误差(L个值)
theta = zeros(4, L);        % 可调系统中的可调参数向量(L个4维向量)

for k = 1:L
    time(k) = k*h;
    % 被控对象
    xp(:,k) = xp0+h*(Ap*xp0+Bp*u0);
    yp(k) = Cp*xp(:,k);
    % 参考模型
    xm(:,k) = xm0+h*(Am*xm0+Bm*yr0);
    ym(k) = Cm*xm(:,k);
    % 输出误差
    e(k) = yp(k)-ym(k);
    
    v1 = v10+h*(Af*v10+Bf*u0);      % 辅助信号发生器F1的状态向量
    v2 = v20+h*(Af*v20+Bf*yp0);     % 辅助信号发生器F2的状态向量
    
    omega0 = [yr0; -v10; -yp0; -v20];
    theta(:,k) = theta0-h*omega0*e0;
    omega = [yr(k); -v1; -yp(k); -v2];  % 可调系统中的信号向量
    u(k) = theta(:,k)' * omega;
    
    % 将本轮求解得到的参数赋值给参数初始值，方便下一轮迭代使用
    u0 = u(k);
    xp0 = xp(:,k);
    yp0 = yp(k);
    xm0 = xm(:,k);
    yr0 = yr(k);
    e0 = e(k);
    v10 = v1;
    v20 = v2;
    omega0 = omega;
    theta0 = theta(:,k);
end

figure(1)
subplot(2,1,1);
plot(time, ym, 'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2)
hold on
plot(time, yp, 'Color', 'r', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.1);
plot(time, e, 'Color', 'k', 'LineStyle', ':', 'LineWidth', 1.8);
hold off
xlabel('t');
ylabel('y_m(t)、y_p(t)');
legend('y_m(t)','y_p(t)','e');
subplot(2,1,2);
plot(time, u, 'LineWidth', 1.4);
xlabel('t');
ylabel('u(t)');

figure(2)
plot(time, theta(1,:), 'Color', 'r', 'LineWidth', 1.2)
hold on
plot(time, theta(2,:), 'Color', 'black', 'LineWidth', 1.1)
plot(time, theta(3,:), 'Color', 'g', 'LineWidth', 1.3)
plot(time, theta(4,:), 'Color', 'b', 'LineWidth', 1.5)
hold off
xlabel('t');ylabel('可调参数');
legend('k_0','c','d_0','d');

bibliographie

Li Yanjun, Zhang Ke. Théorie et application du contrôle adaptatif [M] Northwestern Polytechnical University Press, 2005.

Contrôle adaptatif——Expérience de simulation 2 à l'aide du système adaptatif de référence du modèle de conception de schéma Narendra

Contrôle adaptatif——Expérience de simulation 2 à l'aide du système adaptatif de référence du modèle de conception de schéma Narendra

1. Description du problème

2. Modélisation des problèmes

3. Résolution de problèmes

Annexe : Implémentation du code MATLAB

bibliographie

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