La géodésique consiste à trouver la distance la plus courte entre deux points à la surface d'un objet tridimensionnel. Les applications spécifiques des lignes géodésiques sont assez larges, comme la conception de la voie navigable des avions et des navires. Tout d'abord, nous savons que le segment de ligne entre deux points sur un plan bidimensionnel est le plus court, mais si vous passez en trois dimensions, cela ne peut pas être réalisé car vous ne pouvez pas pénétrer l'objet pour trouver la distance la plus courte. Par conséquent, nous devons trouver un moyen de trouver la distance la plus courte en surface. Parce que la surface courbe est légèrement abstraite et qu'il existe de nombreux chemins qui rendent les gens difficiles à manier, cela semble difficile à trouver.
En fait, imaginez un morceau de papier (en supposant que son épaisseur est négligeable), vous pouvez soit l'aplatir pour le rendre dans un état bidimensionnel absolu, soit le plier en différentes formes pour le rendre dans un état tridimensionnel. Si vous pensez cela de cette façon, les choses deviennent plus simples. En supposant que votre papier, quelle que soit son épaisseur, soit à plat et qu'il y ait deux points sur le papier à des positions différentes, vous pouvez facilement trouver la distance la plus courte entre les deux points. Ensuite, vous pliez le papier en différentes formes. Bien que les faces soient différentes à ce stade, la distance la plus courte entre les deux points reste la ligne d'origine: parce que la zone du visage reste la même quelle que soit la façon dont elle est pliée.
La clé pour trouver la géodésique est donc l'étape de transformation de la surface en plan. Le terme en calcul est appelé paramétrisation, donc je ne l'expliquerai pas trop. Après avoir paramétré la surface en une surface bidimensionnelle, nous pouvons obtenir la dérivée par calcul, et finalement reconvertir la surface bidimensionnelle en trois dimensions.
Expression mathématique du langage
L' équation géodésique
Dans une variété riemannienne M de tenseur métrique g , la longueur L d'une courbe continuellement différentiable γ: [ a , b ] → M est définie par
Une autre façon équivalente de définir les géodésiques sur une variété riemannienne, est de les définir comme les minima de l' action suivante ou de la fonctionnelle énergétique
Les équations de mouvement d' Euler – Lagrange pour la fonctionnelle E sont alors données en coordonnées locales par
où
les symboles Christoffel de la métrique
sont les symboles Christoffel de la métrique. C'est l' équation géodésique.
Expression intuitive géométrique
Paraphrase
1.ADJ concernant ou impliquant la géométrie des surfaces courbes 曲面 几何学 的 (Voir aussi géodésique, géodésique)
2.N la ligne la plus courte entre deux points sur une surface courbe ou plane 短程 线 (également appelée ligne géodésique)
L'existence des géodésiques fermées infinies d'une variété riemannienne compacte non simplement connectée.
Y a-t-il un problème avec l'existence d'une infinité de lignes géodésiques fermées sur une variété riemannienne compacte non connectée de manière unique?
Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.
测地线在光滑曲面上有很好的几何性质，也有相应的测地线偏微分方程表达以及一些解析的方法来求解。
参考资料
Geodesic Deviation：https://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/GeodesicDeviation.htm
https://www.zhihu.com/question/22274518/answer/42849207
https://www.markushanke.net/tag/geodesic-equation/