목차
1.3 Ljung-Box 하이브리드 테스트를 통해 잔차 시퀀스의 상관관계를 테스트하여 ARCH 효과가 있는지 확인
4. 두꺼운 꼬리 분포를 가정하여 변동성을 통한 VaR 계산
5. 해당 종목의 손실률 그래프와 VaR 그래프를 동일 좌표계로 그린다
본 논문의 연구 내용은 다음과 같은 측면을 포함한다.
1. 상하이종합지수를 선택하고GARCH 모델을 사용하여 변동성을 예측합니다.
2. 수익률이 정규분포를 만족한다는 가정하에 예측변동성 역학을 이용하여 VaR를 계산;
3. 수익률이 이 분포를 만족한다고 가정하고 적절한 두꺼운 꼬리 분포(예: t 분포 또는 Gumbel 분포)를 선택하고 예측 변동성 역학을 사용하여 계산합니다. VaR ;
4. 위의 분석을 바탕으로 관련 차트를 작성;
5. 정규분포와 두꺼운 꼬리분포 조건에서 VaR 침투율 통계를 보고 양측 테스트.
이 기사에는 데이터 정상성 테스트, 잔차 테스트, 상관 분석, 모델 순서 지정 등을 포함하여 위 문제와 관련된 전체 연구 프로세스 세트가 포함되어 있습니다.
텍스트는 이해하기 쉽고 연구 수행을 포괄적으로 안내합니다. 특히 초보자가 빨리 시작하는 데 적합합니다.
1. 수익률 변동에 따른 영향 분석
수익률 변동의 영향을 분석함으로써 수익률 변동이 시장에 어떤 영향을 미치는지, 변동의 원인과 메커니즘을 이해할 수 있습니다.
이는 금융 시장의 특성과 법칙을 더 잘 이해하는 데 도움이 되며 GARCH 모델 예측의 기초를 제공합니다.
1.1 수익률 계열의 정상성 테스트
Python은 그림과 같이 날짜에 따른 수확량 변화 추세를 표시합니다.
그림에서 볼 수 있듯이 상하이종합지수의 수익률곡선은 뚜렷한 등락폭을 보이고 있으며 등락폭이 크고 상대적으로 짧은 시간 내에 특정 수준에서 자주 오르락내리락하는 모습을 보이고 있습니다. 시장이나 데이터에 큰 변동이 있음을 나타내는 진동 추세 큰 불확실성.
반환 계열의 정상성을 추가로 테스트하여 차별화가 필요한지 여부를 결정합니다. 귀무 가설 H0: 계열이 정상적이지 않으며, 대립 가설 H1: 계열이 정상적입니다. ADF 테스트는 모든 시계열의 정상성을 결정하는 데 사용할 수 있습니다. 일반적으로 비정상 시계열은 단위근을 가지며, 단위근을 차이로 제거하여 정상 계열을 얻을 수 있습니다.
계산된 p-값은 0.0으로 유의수준보다 작아 귀무가설을 기각하고, 수익률 시퀀스는 정상 비백색잡음 시퀀스입니다.
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1.2 AR(p) 모델 확립
AR 평균 방정식을 설정하는 것은 시계열 분석에서 매우 일반적이고 중요한 단계입니다. AR 평균 방정식은 시퀀스의 장기 추세와 평균 수준을 설명하고, 시퀀스의 장기 추세를 밝히고, 시퀀스를 예측 및 시뮬레이션하고, 시퀀스의 신호와 노이즈를 정확하게 분리하는 데 사용할 수 있습니다. 모델 계수를 분석함으로써 시퀀스의 장기적인 추세를 밝히고, 예측 및 시뮬레이션을 수행하고, 신호 및 노이즈를 분석하고, 모델 테스트 및 최적화를 수행할 수 있는 중요한 도구를 개발할 수 있습니다. 이는 시계열 데이터를 더 잘 이해하고 해석하는 데 매우 도움이 됩니다.
AR(p) 모델의 순서는 반환 시퀀스의 자기 상관 함수를 기반으로 추가로 결정되며 결과는 그림과 같습니다.
그림자 안의 첫 번째 숫자는 1이므로 1 이상의 순서는 모두 작동합니다. 저자는 여러 차수를 시도한 결과 7이 가장 좋은 효과(변동성 예측 효과)를 갖는 것을 확인하여 AR(7) 모델을 설정했습니다.
1.3 Ljung-Box 하이브리드 테스트를 통해 잔차 시퀀스의 상관관계를 테스트하여 ARCH 효과가 있는지 확인
데이터 시퀀스에 ARCH 효과가 있다는 사실은 GARCH 모델을 구축하기 위한 전제 조건 중 하나입니다. ARCH 효과는 시퀀스의 자기상관의 이분산성, 즉 시퀀스의 변동성 정도가 이전 변동성 정도와 관련이 있음을 나타냅니다. 계열이 ARCH 효과를 보이는 경우 ARCH 모델을 사용하여 해당 계열의 변동성 특성을 완전히 포착할 수 없습니다.
잔차 및 잔차 제곱의 시계열 추세가 그림에 표시됩니다.
순서에 대해 혼합 테스트를 수행합니다. 귀무 가설 H0: 시퀀스가 상관되지 않습니다. 대립 가설 H1: 시퀀스가 상관됩니다. 우리는25개의 자기상관 계수를 테스트합니다:
위의 그림을 관찰해보면, 그려진 시퀀스에서 p-value 값이 모두 유의수준 0.05보다 작은 것을 알 수 있습니다. 이를 통해 귀무 가설을 기각하고 계열이 서로 관련되어 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 추가 분석에 따르면 잔차 제곱의 시퀀스에는 ARCH 효과가 있는 것으로 나타났습니다. 이는 계열의 변동성이 시간적 상관성과 이분산성을 갖는다는 것을 의미합니다. 즉, 서로 다른 시점에서 변동의 크기에 명백한 차이가 있음을 의미합니다. 이러한 관찰을 통해 우리는 변동성 모델을 더 깊이 파고들어 시리즈의 변동성 속성을 더 잘 이해하고 설명할 수 있습니다.
1.4 ARCH 모델 확립
시퀀스의 부분 자기상관 함수(PACF)를 분석하여 가장 적합한 순서를 결정할 수 있습니다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 차수 3 이후 PACF가 크게 감소하므로 차수를 3으로 설정할 수 있습니다.
이 결과를 바탕으로 ARCH(3) 모델을 구축하여 시퀀스의 변동 특성을 더 잘 분석하고 설명할 수 있습니다. ARCH(3) 모델은 시계열의 변동성 및 변동 특성을 포착할 수 있어 보다 정확한 예측 및 분석 결과를 제공할 수 있는 일반적으로 사용되는 시계열 모델입니다. 이 모델을 사용하면 시퀀스의 변동 동작을 추가로 연구하고 설명할 수 있으며 후속 분석을 위한 강력한 기반을 제공할 수 있습니다.
모델 결과는 다음과 같습니다.
회귀 결과에 따르면 다음 방정식이 얻어집니다.
위 모델에서 상하이 및 선전 300 지수의 일일 기대 수익률은 약 0.073%임을 알 수 있습니다. 또한 회귀 모델의 R-제곱은 작고 피팅 효과는 평균입니다. 적합된 방정식을 기반으로 예측하고 전반적인 예측 적합 상황을 확인합니다. 그림을 보면 예측값과 실제값의 구체적인 수치차이가 상당히 크지만 전체적으로는 평균과 분산의 변화는 비슷합니다.
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2. GARCH 모델 및 변동성 예측
2.1 GARCH 모델 확립
GARCH(m,s) 모델의 순서를 결정하기는 어렵지만, 학자들의 실증적 연구 결과에 따르면 일반적으로 저차 모델 GARCH(1,1), GARCH(2,1), GARCH( 1,2) 등 기본적으로 모델의 변동성을 제거할 수 있다. 다음으로 평균방정식을 AR(7) 모델로 하고 변동성 모델을 GARCH(1,1)로 하여 GARCH 모델을 구성하였으며, 회귀분석 결과는 다음과 같다.
마지막으로 우리는 변동성 모델을 다음과 같이 얻습니다.
위의 첫 번째 그림은 표준화된 잔차(Standardized Residual)로 대략적으로 고정된 수열로 모델이 어느 정도 정확함을 나타냅니다. 두 번째 그림에서 녹색은 원래 반환 수열이고 파란색은 조건부 이분산성 수열입니다. 조건부 이분산성 수열은 매우 좋은 것을 알 수 있으며 변동성을 보인다.
위 그림은 분산의 피팅 다이어그램인데, 피팅 다이어그램을 관찰해보면 모델이 분산 복원에 잘 수행되는 것을 알 수 있습니다.
2.2 변동성 예측
이후 변동성 예측을 위해 위에서 얻은 변동성 모델을 기반으로 원본 데이터, 조건부 이분산성 피팅 데이터, 예측 데이터를 함께 도출하여 변동성 예측을 추가로 분석합니다.
그림에서 빨간색 부분이 예측 결과이며, 최종 예측 효과가 더 좋고 기본적으로 원본 데이터의 변동에 부합함을 알 수 있습니다.
3. 정규분포를 가정하여 변동성을 통한 VaR 계산
수열의 평균과 표준편차를 이용하여 분포특성을 기술하고, 신뢰수준을 선택하여 예측 VaR의 신뢰수준을 결정하며, 공통신뢰수준은 95% 또는 99%이며, 다음의 역누적분포함수를 사용한다. 정규 분포(예: Z-점수)를 사용하여 신뢰 수준에 해당하는 VaR 값을 계산합니다. VaR은 미래의 일정 기간 동안 주어진 신뢰 수준에서 달성할 수 있는 최대 손실을 나타냅니다. 따라서 Z-score에 변동성을 곱하면 예측변동성 VaR을 얻을 수 있다.
4. 두꺼운 꼬리 분포를 가정하여 변동성을 통한 VaR 계산
주식 수익률 순서가 t 분포를 따른다고 가정할 때 변동성 VaR을 계산하는 방법은 다음과 같습니다. 특히 꼬리 부분에 뚱뚱한 꼬리 현상이 나타납니다. 그런 다음 신뢰 수준을 선택하여 예측 VaR의 신뢰도 수준을 결정합니다. 일반적인 신뢰 수준은 95% 또는 99%입니다. 다음으로, 반환 계열의 길이에서 1을 빼서 계산되는 자유도를 사용하여 t-분포의 형태를 설명합니다. 신뢰수준과 자유도를 바탕으로 t분포의 역누적분포함수(t-score)를 이용하여 신뢰수준에 해당하는 VaR값을 계산한다. VaR은 미래의 일정 기간 동안 주어진 신뢰 수준에서 달성할 수 있는 최대 손실을 나타냅니다. 따라서 t-score에 변동성을 곱하면 예측변동성 VaR을 얻을 수 있다.
5. 해당 종목의 손실률 그래프와 VaR 그래프를 동일 좌표계로 그린다
6. 정규분포와 팻테일분포에서의 VaR 침투율
VaR(Value at Risk)는 금융 위험 관리 분야에서 일반적으로 사용되는 위험 측정 지수로, 특정 신뢰 수준에서 포트폴리오나 자산의 최대 손실 가능성을 평가하는 데 사용됩니다. VaR를 계산할 때 주식수익률의 확률분포모형을 가정할 필요가 있는 경우가 많습니다.
주식수익률이 정규분포를 따른다는 가정하에 수익률 계열의 평균과 표준편차를 계산하여 주어진 신뢰수준에서의 VaR 값을 결정할 수 있다. VaR 침투율은 실제 손실액이 VaR 값을 초과할 확률을 나타냅니다. 정규분포를 가정하면 VaR 침투율이 낮을수록 리스크 관리 능력이 우수하다는 것을 의미합니다. 그러나 실제 상황에서 주식 수익률은 두꺼운 꼬리 분포(fat-tailed distribution)의 특성을 보이는 경우가 많습니다. 즉, 극단적인 사건과 이상치가 더 많이 발생합니다. 위험을 보다 정확하게 추정하기 위해 두꺼운 꼬리 분포를 사용하여 주식 수익률의 분포 특성을 근사화할 수 있습니다. 일반적인 방법은 t 분포를 사용하여 뚱뚱한 꼬리 분포를 근사화하고 적절한 자유도 매개변수를 선택하여 VaR 값을 계산하는 것입니다. 좀 더 극단적인 경우를 고려하기 때문에 일반적으로 두꺼운 꼬리 분포의 VaR 침투율이 더 높습니다.
또한, 본 논문에서는 반환 계열에 유의미한 극단값이 있는지 추가로 확인하기 위해 이에 대해 양측 검정을 실시한다. 정규 분포를 가정합니다. 표준정규분포표 또는 정규분포에 대한 임계값을 사용하여 양측 검정을 수행할 수 있습니다. 두터운 꼬리 분포를 가정하면 양측 검정에는 t 분포의 임계값을 사용해야 합니다. 양측 검정의 합격률을 계산하여 임계값을 초과하는 기상이변의 확률을 평가할 수 있습니다. 양측 테스트 합격률이 낮을수록 극한 상황의 위험이 더 적음을 나타냅니다.
CSI 300 지수의 결과는 다음과 같습니다.
정규분포에서 VaR 침투율: 0.05155
두꺼운 꼬리 분포에서 VaR 침투율: 0.20672
정규 분포에서 양측 검정의 합격률: 0.0
꼬리가 굵은 분포에서 양측 검정의 합격률: 0.0
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