EM@Cuestiones básicas de composición de funciones por partes@Operaciones elementales entre funciones

Representación y aplicación de funciones compuestas y funciones por partes.
En funciones compuestas hemos discutido las funciones $gramo,$ El compuesto de $f$ $gf\circ{g}$ es $R_{g}\cap{D_f}=\emptyset$ y $gf\circ{g}$ El dominio de $g$ $\set{x|g(x)\in{D_{f}}}$
Operaciones elementales entre funciones.

si $f$ es $n$ función por partes,La expresión analítica del segmento $i$ $f_i$ , el dominio se denota como $D_i$ Entonces la función por partes puede considerarse como $n$ funciones se empalman en una función: se puede registrar como $fif=f_{i}(x),x\in{D_{f_i}}$ , $(i=1,2,\cdots,n)$

若 $fif=f_{i}(x),x\in{D_{f_i}}$ , $(i=1,2,\cdots,n)$ ; $gig=g_{i}(x),x\in{D_{g_i}}$ , $(i=1,2,\cdots,m)$ ,求 $gh=f\circ{g}$ ?

Obviamente, las cuestiones anteriores deben discutirse en secciones
Para expresar el problema más claramente y facilitar la discusión, introducimos la variable intermedia $u$ en lugar de la letra $x$ para reescribir la función, es decir
- $fif=f_i(u),x\in{D_{f_i}}$ ; $uju=u_{j}(x),x\in{D_{u_j}}$
- 其实改为 $fif=f_i(g),x\in{D_{f_i}}$ ; $uig=g_{i}(x),x\in{D_{u_i}}$ DE ACUERDO
La idea básica es pasar $D_f$ Filtrar las condiciones que satisfacen $D_{f}\cap R_{u}=\emptyset$ El dominio de $\emptysetD$ $D_{h}$ , que incluye problemas de desigualdad por partes (funciones). En este proceso, $gf\circ{g} se obtiene naturalmente.$ El resultado de $g$

Según el rango $D_{f_i}$ 求出解集 $D_i=\set{x|u(x)\in{D_{f_i}}}$ , $ni=1,2,\cdots,n$ (problema de desigualdad por partes)
- 若 $D_i\neq{\emptyset}$ ,且 $D_{h_{ik}}=D_i\cap D_{u_{j_k}}\neq{\empty},k=1, 2,\cpuntos$ ,则 $f\circ{u}=f(u(x))$ 在 $D_i$ El intervalo se puede componer como $f_i}(u_j_k}(x))$ , $hikx\in{D_{h_{ik}}}$ , $ni=1,2,\cdots,n$
- O más directamente $D_{h_{ij}}=\set{x|x\in{D_{f_i}}\cap{x\in{D_ { u_ {j}}}}}$ ,若 $D_{h_{ij}}\neq{\emptyset}$ ,则 $h(x)=f\circ{g}(x)$ = $f_i}(u_j}(x))$ , $hijx\in D_{h_{ij}}$ , este proceso producirá $nm\times{n}$ desigualdades (que pueden incluir desigualdades cuyo conjunto solución es el conjunto vacío, este caso debe descartarse y pertenece a un intervalo que no se puede componer)
En el problema de desigualdad por partes, podemos usar la combinación de números y formas para dibujar $El boceto de imagen de u (x)$ , según $D_{f_i}$ Obtener la variable independiente El rango de valores de $x$ $D_{h_{ik}}$ , obteniendo así la función compuesta $f_{i}(u_{j_k}(x))$ , $hikx\in{D_{h_{ik}}}$ , $ni=1,2,\cdots,n$

$elsef(x)=\begin{cases} \frac{1}{3},&-1\leqslant x\leqslant 2\\0,&else \end{casos}$
$g (x) = -x_$
$f(-x)=\begin{casos} \frac{1}{3},&-1\leqslant \boxed{-x}\leqslant 2 \\0,&else \end{casos} =\begin {casos} \frac{1}{3},&-2\leqslant x\leqslant 1 \\0,&else \end{casos}$

$f_1(x)$ El dominio de $($ $x$ $)$ $D_{f_1}$ , $f_2(x)$ El dominio de $($ $x$ $)$ $D_{f_2}$ , $F(x)=f_1(f_2(x))$ ,
El dominio de $F$ $\set{x|f_2(x)\in{D_{f_1}}}$ , en lugar de $D_F=D_{f_1}\cap{D_{f_2}}$
Por ejemplo: $f_1(x)=\ln(x)$ , $g_2(x)=x^2+1$ , entonces $f_1(f_2(x))$ = $ln(x^2+1)$ El dominio de definición es $x\in\mathbb{R}$ , en lugar de $D_{f_1}\cap{D_{f_2}}=\set{x|x>0}$

Sean las funciones $f (x),$ El dominio de $g$ $($ $x$ $)$ $D_f,D_g$ ,
Si la intersección de los dominios de las dos funciones no está vacía, es decir, $D=D_f\cap{D_g}\neq{\emptyset}$ , entonces se estipula que las siguientes operaciones de estas dos funciones son:
- $gf\pm{g}$ : $(f\pm{g})(x)$ = $f(x)\pm{g(x)}$ , $x\in{D}$
- $gf\cdot{g}$ : $(f\cdot{g})(x)=f(x)\cdot{g(x))} ,x\en{D}$
- $fg\frac{f}{g}$ : $(\frac{f}{g})(x)$ = $\frac{f(x)}{g(x)}$ , $\ { x ∣ g ( x ) = 0 } x\in{D}\backslash \set{x|g(x)=0}$ ,aquí $\ \barra invertida$ significa encontrar el complemento relativo (conjunto de diferencias)