Análisis de series de tiempo: basado en R | Capítulo 3 Propiedades del modelo ARMA
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Se sabe que un determinado AR (1) AR(1)Un modelo R ( 1 ) es:xt = 0,7 xt − 1 + ε t , ε t ∼ WN ( 0 , 1 ). x_t=0.7x_{t-1}+\varepsilon_t,\varepsilon_t \sim WN(0,1).Xt=0,7x _t - 1+mit,mit∼W norte ( 0 ,1 ) .求E ( xt ) , V ar ( xt ) , ρ 2 E(x_t),Var(x_t),\rho_2y ( xt) ,hay ( x _t) ,r2y ϕ 22. \phi_{22}.ϕ22.
E ( xt ) = ϕ 0 1 − ϕ 1 = 0 1 − 0.7 = 0 E\left(x_t\right)=\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}}=\frac{0 {1-0,7}=0mi( xt)=1 − ϕ1ϕ0=1 - 0,70=0
V ar ( xt ) = 1 1 − ϕ 1 2 = 1 1 − 0. 7 2 = 1.96 Var(x_t)=\frac{1}{1-\phi_{1}^{2}}=\frac{1 {1-0,7^2}=1,96hay ( x _t)=1 − ϕ121=1-0 , 7 _21=1,96
ρ 2 = ϕ 1 2 = 0.7 2 = 0.49 \rho_2=\phi_1^2=0.7^2=0.49r2=ϕ12=0. 72=0,49
ϕ 22 = ∣ 1 ρ 1 ρ 1 ρ 2 ∣ ∣ 1 ρ 1 ρ 1 1 ∣ = 0,49 − 0,7 2 1 − 0,7 2 = 0 \phi_{22}=\frac{\left|\begin{ matriz}{cc}1 & \rho_{1} \\\rho_{1} & \rho_{2}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}1 & \rho_ {1} \\\rho_{1} & 1\end{array}\right|}=\frac{0,49-0,7^{2}}{1-0,7^{2}}=0ϕ22= 1r1r11 1r1r1r2 =1-0 , 7 _20,49 − 0,7 _2=0
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Se sabe que un determinado AR ( 2 ) \operatorname{AR}(2)Modelo AR ( 2 ) : xt = ϕ 1 xt − 1 + ϕ 2 xt − 2 + ε t , ε t ∼ WN ( 0 , σ ε 2 ) x_t=\phi_1 x_{t-1}+\phi_2 x_{ t -2}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right)Xt=ϕ1Xt - 1+ϕ2Xt - 2+mit,mit∼WN _( 0 ,pagmi2) , yρ 1 = \rho_1=r1= 0,5 , ρ 2 = 0,3 0,5, \rho_2=0,30,5 ,r2=0.3 ,ϕ 1 , ϕ 2 \phi_1, \phi_2ϕ1,ϕ2valor.
AR ( 2 ) AR(2)Un modelo R ( 2 )
: { ρ 1 = ϕ 1 1 − ϕ 2 ρ 2 = ϕ 1 ρ 1 + ϕ 2 ⇒ { 0,5 = ϕ 1 1 − ϕ 2 0,3 = 0,5 ϕ 1 + ϕ 2 ⇒ { ϕ 1 = 7 15 , ϕ 2 = 1 15 ϕ 2 = 1 15 \left\{\begin{array} { l } { \rho _ { 1 } = \frac { \phi _ { 1 } } { 1 - \phi _ { 2 } } } \\ { \rho _ { 2 } = \phi _ { 1 } \rho _ { 1 } + \phi _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array } { l } { 0 . 5 = \frac { \phi _ { 1 } } { 1 - \phi _ { 2 } } } \\ { 0 . 3 = 0. 5 \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \phi_1=\frac{7}{15}, \phi_2=\ frac{1}{15} \\ \phi_2=\frac{1}{15} \end{array}\right.\right.\right.{ r1=1 − ϕ2ϕ1r2=ϕ1r1+ϕ2⇒{ 0,5=1 − ϕ2ϕ10.3=0,5 ϕ1+ϕ2⇒{ ϕ1=157,ϕ2=151ϕ2=151 -
Se sabe que un determinado AR ( 2 ) \operatorname{AR}(2)El modelo AR ( 2 ) es:(1 − 0.5 B) (1 − 0.3 B) xt = ε t, ε t ∼ WN (0, 1) (1-0.5 B)(1-0.3 B) x_t=\varepsilon_t , \varepsilon_t \sim WN(0,1)( 1−0,5 B ) ( 1−0,3 B ) xt=mit,mit∼W norte ( 0 ,1 ) , 求E ( xt ) E\left(x_t\right)mi( xt) ,Var ( xt ) , ρ k , ϕ kk \operatorname{Var}\left(x_t\right), \rho_k, \phi_{kk}Era( xt),rk,ϕkk, donde k = 1, 2, 3 k=1,2,3k=1 ,2 ,3 .
(1) ( 1 − 0.5 B ) ( 1 − 0.3 B ) xt = ε t ⇔ xt = 0.8 xt − 1 − 0.15 xt − 2 + ε t (1-0.5 B)(1-0.3 B) x_t=\varepsilon_t \Leftrightarrow x_t=0.8 x_{t-1}-0.15 x_{t-2}+\varepsilon_t( 1−0,5 B ) ( 1−0,3 B ) xt=mit⇔Xt=0,8x _t - 1−0,15x _t - 2+mit
E ( xt ) = ϕ 0 1 − ϕ 1 − ϕ 2 = 0 E\left(x_t\right)=\frac{\phi_0}{1-\phi_1-\phi_2}=0mi( xt)=1−ϕ1−ϕ2ϕ0=0
(2)
Var ( xt ) = 1 − ϕ 2 ( 1 + ϕ 2 ) ( 1 − ϕ 1 − ϕ 2 ) ( 1 + ϕ 1 − ϕ 2 ) = 1 + 0,15 ( 1 − 0,15 ) ( 1 − 0,8 + 0,15 ) ( 1 + 0,8 + 0,15 ) = 1,98 \begin{aligned} \operatorname{Var}\left(x_t\right) & =\frac{1-\phi_2}{\left(1+\phi_2\right )\left(1-\phi_1-\phi_2\right)\left(1+\phi_1-\phi_2\right)} \\ & =\frac{1+0.15}{(1-0.15)(1-0.8+ 0,15)(1+0,8+0,15)} \\ & =1,98 \end{alineado}Era( xt)=( 1+ϕ2)( 1−ϕ1−ϕ2)( 1+ϕ1−ϕ2)1−ϕ2=( 1−0,15 ) ( 1−0,8+0,15 ) ( 1+0,8+0,15 )1+0,15=1,98
(3)
ρ 1 = ϕ 1 1 − ϕ 2 = 0,8 1 + 0,15 = 0,70 ρ 2 = ϕ 1 ρ 1 + ϕ 2 = 0,8 × 0,7 − 0,15 = 0,41 ρ 3 = ϕ 1 ρ 2 + ϕ 2 ρ 1 = 0,8 × 0,41 − 0,15 × 0,7 = 0,22 \begin{aligned} & \rho_1=\frac{\phi_1}{1-\phi_2}=\frac{0.8}{1+0.15}=0.70 \\ & \rho_2=\ phi_1 \rho_1+\phi_2=0.8 \times 0.7-0.15=0.41 \\ & \rho_3=\phi_1 \rho_2+\phi_2 \rho_1=0.8 \times 0.41-0.15 \times 0.7=0.22 \end{aligned}r1=1−ϕ2ϕ1=1+0,150.8=0,70r2=ϕ1r1+ϕ2=0,8×0,7−0,15=0,41r3=ϕ1r2+ϕ2r1=0,8×0,41−0,15×0,7=0,22
(4)
ϕ 11 = ρ 1 = 0.7 ϕ 22 = ϕ 2 = − 0.15 ϕ 33 = 0 \begin{aligned} \phi_{11} & =\rho_1=0.7 \\ \phi_{22} & =\phi_2= -0,15 \\ \phi_{33} & =0 \end{alineado}ϕ11ϕ22ϕ33=r1=0,7=ϕ2=− 0,15=0 -
已知 AR ( 2 ) \operatorname{AR}(2) AR(2) 序列为 x t = x t − 1 + c x t − 2 + ε t x_t=x_{t-1}+c x_{t-2}+\varepsilon_t xt=xt−1+cxt−2+εt, 其中 { ε t } \left\{\varepsilon_t\right\} { εt} 为白噪声序列. 确定 c c c 的取值范围, 以保证 { x t } \left\{x_t\right\} { xt} 为平稳序列, 并给出该序列 ρ k \rho_k ρk 的表达式.
(1) A R ( 2 ) A R(2) AR(2) 模型的平稳条件是
{ ∣ c ∣ < 1 c ± 1 < 1 ⇒ { − 1 < c < 1 c < 0 ⇒ − 1 < c < 0 \left\{\begin{array}{l}|c|<1 \\ c \ pm 1<1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}-1<c<1 \\ c<0\end{array} \Rightarrow-1<c<0\right. \bien.{ ∣ c ∣<1C±1<1⇒{ − 1<C<1C<0⇒− 1<C<0
(2) { ρ 1 = 1 1 − c , ρ k = ρ k − 1 + c ρ k − 2 , k ≥ 2 \left\{\begin{array}{l}\rho_{1}=\frac{ 1}{1-c}, \\ \rho_{k}=\rho_{k-1}+c \rho_{k-2}, k \geq 2\end{array}\right.{ r1=1 - c1,rk=rk - 1+c ρk - 2,k≥2
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Demuestre que para cualquier cc constantec , AR (3) definido de la siguiente manera\mathrm{AR}(3)La secuencia AR ( 3 ) debe ser una secuencia no estacionaria:
xt = xt − 1 + cxt − 2 − cxt − 3 + ε t , ε t ∼ WN ( 0 , σ ε 2 ) x_t=x_{t-1} +c x_{ t-2}-c x_{t-3}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right)Xt=Xt - 1+c xt - 2−c xt - 3+mit,mit∼WN _( 0 ,pagmi2)
Prueba:
La ecuación característica de esta secuencia es: λ 3 − λ 2 − c λ + c = 0 \lambda^{3}-\lambda^{2}-c \lambda+c=0yo3−yo2−c l+C=0 , al resolver esta ecuación característica se obtienen tres raíces características:
λ 1 = 1 , λ 2 = c , λ 3 = − c \lambda_{1}=1, \quad \lambda_{2}=\sqrt{c}, \quad \lambda_{3}=-\sqrt{c }yo1=1 ,yo2=C,yo3=−C
Independientemente del ccNo importa qué valor tome c , esta ecuación tiene una raíz característica en el círculo unitario, por lo que la secuencia debe ser no estacionaria. Certificación completada.
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Para AR ( 1 ) \mathrm{AR}(1)Modelo AR ( 1 ) : xt = ϕ 1 xt − 1 + ε t , ε t ∼ WN ( 0 , σ ε 2 ) x_t=\phi_1 x_{t-1}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim WN\left( 0, \sigma_{\varepsilon}^2\right)Xt=ϕ1Xt - 1+mit,mit∼WN _( 0 ,pagmi2) , determine si la siguiente proposición es correcta:
(1)γ 0 = ( 1 + ϕ 1 2 ) σ ε 2 \gamma_0=\left(1+\phi_1^2\right) \sigma_{\varepsilon}^2C0=( 1+ϕ12)pagmi2
(2) E [ ( xt − μ ) ( xt − 1 − μ ) ] = − ϕ 1 E\left[\left(x_t-\mu\right)\left(x_{t-1}-\mu\right )\derecha]=-\phi_1mi[ ( xt−metro )( xt - 1−m ) ]=− ϕ1
(3) ρ k = ϕ 1 k \rho_k=\phi_1^krk=ϕ1k
(4) ϕ kk = ϕ 1 k \phi_{kk}=\phi_1^kϕkk=ϕ1k
(5) ρ k = ϕ 1 ρ k − 1 \rho_k=\phi_1\rho_{k-1}rk=ϕ1rk - 1
¡Seguro! Aquí están las respuestas y los procesos de cálculo para cada afirmación:
(1) 错误。γ 0 = σ ε 2 1 − ϕ 1 2 \gamma_0=\frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\phi_1^2}C0=1 − ϕ12pagmi2。
(2) 错误。E [ ( xt − μ ) ( xt − 1 − μ ) ] = ϕ 1 γ 1 E\left[ \left(x_t-\mu\right)\left(x_{t-1}- \mu\right) \right]=\phi_1\gamma_1mi[ ( xt−metro )( xt - 1−m ) ]=ϕ1C1。首先有：
E ( x t ) = E [ ϕ 1 x t − 1 + ε t ] = ϕ 1 E ( x t − 1 ) + E ( ε t ) = ϕ 1 E ( x t ) + 0 = 0 \begin{aligned} E(x_t) &= E[\phi_1x_{t-1}+\varepsilon_t] \\ &= \phi_1E(x_{t-1})+E(\varepsilon_t) \\ &= \phi_1E(x_t)+0 \\ &= 0 \end{aligned} E(xt)=E[ϕ1xt−1+εt]=ϕ1E(xt−1)+E(εt)=ϕ1E(xt)+0=0
由此可得 μ = 0 \mu=0 μ=0も,Dado:
E [ ( xt − μ ) ( xt − 1 − μ ) ] = E [ xtxt − 1 ] = E [ ( ϕ 1 xt − 1 + ε t ) xt − 1 ] = ϕ 1 E xt − 1 2 ] + E [ ε txt − 1 ] = ϕ 1 γ 0 \begin{aligned} E\left[\left(x_t-\mu\right)\left(x_{t-1}-\mu\ right) \right] &= E[x_tx_{t-1}] \\ &= E[(\phi_1x_{t-1}+\varepsilon_t)x_{t-1}] \\ &= \phi_1 E[x_ {t -1}^2] + E[\varepsilon_t x_{t-1}] \\ &= \phi_1 \gamma_0 \end{aligned}mi[ ( xt−metro )( xt - 1−m ) ]=y [ xtXt - 1]=mi [( ϕ1Xt - 1+mit) xt - 1]=ϕ1y [ xt - 12]+mi [ mitXt - 1]=ϕ1C0
因此，该命题为错误。
(3) 正确。由于AR(1)模型具有平稳性和有限二阶矩的性质，因此当 k > 0 k>0 k>0时，有 ρ k = ϕ 1 k \rho_k=\phi_1^k ρk=ϕ1k。
(4) 错误。 ϕ k k = { ϕ 1 , k = 1 0 , k ⩾ 2 \phi_{kk}=\begin{cases}\phi_1,&k=1\\ 0,&k\geqslant2\end{cases} ϕkk={ ϕ1,0,k=1k⩾2
(5) 正确。由于AR(1)模型具有平稳性和有限二阶矩的性质，因此当 k > 0 k>0 k>0时，有 ρ k = ϕ 1 ρ k − 1 \rho_k=\phi_1\rho_{k-1} ρk=ϕ1ρk−1。 -
已知某中心化 M A ( 1 ) \mathrm{MA}(1) MA(1) 模型 1 阶自相关系数 ρ 1 = 0.4 \rho_1=0.4 ρ1=0.4 , encuentre la expresión de este modelo:
ρ 1 = − θ 1 1 + θ 1 2 = 0.4 ⇒ 0.4 θ 1 2 + θ 1 + 0.4 = 0 ⇒ θ 1 = − 2 o θ 1 = − 1 2 \rho_{ 1}=\frac{-\theta_{1}}{1+\theta_{1}^{2}}=0.4 \Rightarrow 0.4 \theta_{1}^{2}+\theta_{1}+0.4=0 \Rightarrow \theta_{1}=-2 \text { o} \theta_{1}=-\frac{1}{2}r1=1+i12− yo1=0,4⇒0,4 yo12+i1+0,4=0⇒i1=− 2 o θ 1=−21Entonces el modelo tiene dos expresiones posibles: xt = ε t + 1 2 ε t − 1 x_{t}=\varepsilon_{t}+\frac{1}{2} \varepsilon_{t-1}Xt=mit+21mit - 1和xt = ε t + 2 ε t − 1 x_{t}=\varepsilon_{t}+2 \varepsilon_{t-1}Xt=mit+2 mit - 1。
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Determinar la constante CCEl valor de C es para asegurar que la siguiente expresión seaMA (2) \mathrm{MA}(2)Modelo MA ( 2 ) :
xt = 10 + 0.5 xt − 1 + ε t − 0.8 ε t − 2 + C ε t − 3 x_t=10+0.5 x_{t-1}+\varepsilon_t-0.8 \varepsilon_{t-2}+C \varepsilon_ {t-3}Xt=10+0,5x _t - 1+mit−0,8 mit - 2+C εt - 3
将xt = 10 + 0.5 xt − 1 + ε t − 0.8 ε t − 2 + C ε t − 3 x_{t}=10+0.5 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.8 \varepsilon_{ t-2}+C \varepsilon_{t-3}Xt=10+0,5x _t - 1+mit−0,8 mit - 2+C εt - 3La expresión equivalente es
xt − 10 = 1 − 0.8 B 2 + c B 3 1 − 0.5 B ε t = ( 1 + a B + b B 2 ) ε t x_{t}-10=\frac{1-0.8 B ^{2}+c B^{3}}{1-0.5 B} \varepsilon_{t}=\left(1+a B+b B^{2}\right) \varepsilon_{t}Xt−10=1−0,5 mil millones1−0,8 B2+cB _3mit=( 1+una B+b b2 )mit
Reglas
1 − 0,8 segundo 2 + c segundo 3 = ( 1 + a segundo + segundo segundo 2 ) ( 1 − 0,5 segundo ) = 1 + ( a − 0,5 ) segundo + ( segundo − 0,5 a ) segundo 2 − 0,5 segundo segundo 3 \ comenzar{alineado} 1-0,8 B^{2}+c B^{3} & =\left(1+a B+b B^{2}\right)(1-0,5 B) \\ & =1+ (a-0,5) B+(b-0,5 a) B^{2}-0,5 b B^{3} \end{alineado}1−0,8 B2+cB _3=( 1+una B+b b2 )( 1−0,5 B )=1+( un−0,5 ) B+( segundo−0.5a)B2−0.5bB3
根据待定系数法:
− 0.8 = a − 0.5 ⇒ a = − 0.3 0 = − 0.5 b ⇒ b = 0 c = b − 0.5 a ⇒ c = 0.15 \begin{aligned} -0.8 & =a-0.5 \Rightarrow a=-0.3 \\ 0 & =-0.5 b \Rightarrow b=0 \\ c & =b-0.5 a \Rightarrow c=0.15 \end{aligned} −0.80c=a−0.5⇒a=−0.3=−0.5b⇒b=0=b−0.5a⇒c=0.15
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已知 M A ( 2 ) \mathrm{MA}(2) MA(2) 模型为: x t = ε t − 0.7 ε t − 1 + 0.4 ε t − 2 , ε t ∼ W N ( 0 , σ ε 2 ) x_t=\varepsilon_t-0.7 \varepsilon_{t-1}+0.4 \varepsilon_{t-2}, \varepsilon_t \sim W N\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right) xt=εt−0.7εt−1+0.4εt−2,εt∼WN(0,σε2). 求 E ( x t ) , Var ( x t ) E\left(x_t\right), \operatorname{Var}\left(x_t\right) E(xt),Var(xt), 及 ρ k ( k ⩾ 1 ) \rho_k(k \geqslant 1) ρk(k⩾1).
(1) E ( x t ) = 0 E\left(x_{t}\right)=0 E(xt)=0
(2) Var ( x t ) = 1 + 0. 7 2 + 0. 4 2 = 1.65 \operatorname{Var}\left(x_{t}\right)=1+0.7^{2}+0.4^{2}=1.65 Var(xt)=1+0.72+0.42=1.65
(3) ρ 1 = − 0.7 − 0.7 × 0.4 1.65 = − 0.59 , ρ 2 = 0.4 1.65 = 0.24 , ρ k = 0 , k ≥ 3 \rho_{1}=\frac{-0.7-0.7 \times 0.4} {1.65}=-0.59, \quad \rho_{2}=\frac{0.4}{1.65}=0.24, \quad \rho_{k}=0, k \geq 3r1=1,65− 0,7 − 0,7 × 0,4=− 0,59 ,r2=1,650.4=0,24 ,rk=0 ,k≥3
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probar:
(1) Para cualquier cc constantec , la secuencia MA de orden infinito definida de la siguiente manera debe ser una secuencia no estacionaria:
xt = ε t + c ( ε t − 1 + ε t − 2 + ⋯ ), ε t ∼ WN ( 0 , σ ε 2 ) x_{t}= \varepsilon_{t}+c\left(\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_{t-2}+\cdots\right), \quad \varepsilon_{t} \sim WN\left( 0, \sigma_{ \varepsilon}^{2}\right)Xt=mit+C( mit - 1+mit - 2+⋯),mit∼WN _( 0 ,pagmi2)Prueba: Porque para cualquier constante C, tenemos
Var ( xt ) = lim k → ∞ ( 1 + k C 2 ) σ ε 2 = ∞ \operatorname{Var}\left(x_{t}\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\ left ( 1 + k C ^ { 2 } \ right ) \ sigma_ { \ productpsilon } ^ { 2 } = \ inftyEra( xt)=k → ∞lím( 1+k C2 )pagmi2=∞
Por tanto, esta serie es una serie no estacionaria.
(2) { xt } \izquierda\{x_{t}\derecha\}{ xtLa secuencia en diferencias de primer orden de } debe ser una secuencia estacionaria y encontrar { yt } \left\{y_{t}\right\}{ yt} Expresión del coeficiente de autocorrelación:
yt = xt − xt − 1 y_{t}=x_{t}-x_{t-1}yt=Xt−Xt - 1yt = xt − xt − 1 = ε t + ( C − 1 ) ε t − 1 y_{t}=x_{t}-x_{t-1}=\varepsilon_{t}+(C-1) \varepsilon_ {t-1}yt=Xt−Xt - 1=mit+( C−1 ) mit - 1, entonces la secuencia { yt } \left\{y_{t}\right\}{ yt} Satisfacer las siguientes condiciones:
La media y la varianza son constantes,
E ( yt ) = 0 , Var ( yt ) = [ 1 + ( C − 1 ) 2 ] σ ε 2 E\left(y_{t}\right)=0, \operatorname{Var}\left(y_{ t}\right)=\left[1+(C-1)^{2}\right] \sigma_{\varepsilon}^{2}mi( yt)=0 ,Era( yt)=[ 1+( C−1 )2 ]pagmi2
El coeficiente de autocorrelación solo está relacionado con la duración del intervalo de tiempo y no tiene nada que ver con el tiempo de inicio.
ρ 1 = C − 1 1 + ( C − 1 ) 2 , ρ k = 0 , k ≥ 2 \rho_{1}=\frac{C-1}{1+(C-1)^{2}}, \rho_{k}=0, k \geq 2 ρ1=1+(C−1)2C−1,ρk=0,k≥2
所以该差分序列为平稳序列。
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检验下列模型的平稳性与可逆性, 其中 { ε t } \left\{\varepsilon_{t}\right\} { εt} 为白噪声序列:
(1) x t = 0.5 x t − 1 + 1.2 x t − 2 + ε t x_{t}=0.5 x_{t-1}+1.2 x_{t-2}+\varepsilon_{t} xt=0.5xt−1+1.2xt−2+εt
检验平稳性：该模型的特征方程为 1 − 0.5 z − 1.2 z 2 = 0 1-0.5z-1.2z^2=0 1−0.5z−1.2z2=0 , la solución es obtener las raíces características comoz 1 = 1.0517, z 2 = − 0.4784 z_1=1.0517,\,z_2=-0.4784z1=1.0517 ,z2=− 0,4784 . Dado que el módulo de uno de los valores propios es mayor que 1, el modelo no es estacionario.
(2) xt = 1,1 xt − 1 − 0,3 xt − 2 + ε t x_{t}=1,1 x_{t-1}-0,3 x_{t-2}+\varepsilon_{t}Xt=1,1x _t - 1−0,3x _t - 2+mit
Prueba de estacionariedad: La ecuación característica de este modelo es 1 − 1.1 z + 0.3 z 2 = 0 1-1.1z+0.3z^2=01−1,1 z+0,3 z2=0 , las raíces características sonz 1 = 0.3667, z 2 = 1.3667 z_1=0.3667, z_2=1.3667z1=0,3667 ,z2=1.3667。由于 ∣ z 2 ∣ > 1 |z_2|>1 ∣z2∣>1，因此该模型不是平稳的。
(3) x t = ε t − 0.9 ε t − 1 + 0.3 ε t − 2 x_{t}=\varepsilon_{t}-0.9 \varepsilon_{t-1}+0.3 \varepsilon_{t-2} xt=εt−0.9εt−1+0.3εt−2
检验平稳性：该模型的特征方程为 1 + 0.9 z − 0.3 z 2 = 0 1+0.9z-0.3z^2=0 1+0.9z−0.3z2=0，解得特征根为 z 1 = 0.5 , z 2 = − 0.6 z_1=0.5,\,z_2=-0.6 z1=0.5,z2=−0.6。由于所有特征根的模长都小于 1，因此该模型是平稳的。检验可逆性：该模型与 ARMA ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2) 模型相同，因此也是可逆的。
(4) x t = ε t + 1.3 ε t − 1 − 0.4 ε t − 2 x_{t}=\varepsilon_{t}+1.3 \varepsilon_{t-1}-0.4 \varepsilon_{t-2} xt=εt+1.3εt−1−0.4εt−2
检验平稳性：该模型的特征方程为 1 − 1.3 z + 0.4 z 2 = 0 1-1.3z+0.4z^2=0 1−1.3z+0.4z2=0，解得特征根为 z 1 = 1.465 , z 2 = 0.272 z_1=1.465,\,z_2=0.272 z1=1.465,z2=0.272。其中一个特征根的模长大于 1，因此该模型不是平稳的。检验可逆性：该模型与 ARMA ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2) 模型相同，因此不可逆。
(5) x t = 0.7 x t − 1 + ε t − 0.6 ε t − 1 x_{t}=0.7 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.6 \varepsilon_{t-1} xt=0.7xt−1+εt−0.6εt−1
检验平稳性：该模型的特征方程为 1 − 0.7 z + 0.6 z 2 = 0 1-0.7z+0.6z^2=0 1−0.7z+0.6z2=0，解得特征根为 z 1 = 0.5 , z 2 = 1 z_1=0.5,\,z_2=1 z1=0.5,z2=1。其中一个特征根的模长等于 1，因此需要进一步检验可逆性。检验可逆性：该模型与 ARMA ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 模型相同，因此可逆。
(6) x t = − 0.8 x t − 1 + 0.5 x t − 2 + ε t − 1.1 ε t − 1 x_{t}=-0.8 x_{t-1}+0.5 x_{t-2}+\varepsilon_{t}-1.1 \varepsilon_{t-1} xt=−0.8xt−1+0.5xt−2+εt−1.1εt−1
检验平稳性：该模型的特征方程为 1 + 0.8 z − 0.5 z 2 − 1.1 z − 1 = 0 1+0.8z-0.5z^2-1.1z^{-1}=0 1+0.8z−0.5z2−1.1z−1=0，解得分内根的z 1 = 1.0501, z 2 = 0.9804 ± 0.1083 i, z 3 = 0.9452 ± 0.2306 i, z 4 = 0.7889 ± 0.5491 i, z 5 = − 0.9258 ± 0.3732 i , z6 = − 0,967 9 ± 0.2607 i , z 7 = − 0.9720 ± 0.2341 i , z 8 = − 0.9880 ± 0.1402 i , z 9 = − 0.9893 ± 0.1303 i , z 10 = − 1.0000 z_1=1.0501,\,z_2=0.9804\pm0. 10 83i, \,z_3=0.9452\pm0.2306i,\,z_4=0.7889\pm0.5491i,\,z_5=-0.9258\pm0.3732i,\,z_6=-0.9679\pm0.2607i,\,z_7=-0.9720 \pm0 .2341i,\,z_8=-0.9880\pm0.1402i,\,z_9=-0.9893\pm0.1303i,\,z_{10}=-1.0000z1=1.0501 ,z2=0.9804±0,1083 yo ,z3=0.9452±0,2306i , _z4=0.7889±0,5491 yo ,z5=− 0,9258±0,3732i , _z6=− 0,9679±0,2607i , _z7=− 0,9720±0,2341 yo ,z8=− 0,9880±0,1402 yo ,z9=− 0,9893±0,1303i , _z10=− 1,0000 . Una de las raíces características tiene un módulo mayor que 1, por lo que el modelo no es estacionario. Probar la reversibilidad: porque la ecuación característica de este modelo contiene un operador de inversiónz − 1 z^{-1}z− 1 , por lo que el modelo no es reversible.
En resumen, (1) no es estacionario; (2) no es estacionario; (3) es estacionario y reversible; (4) no es estacionario e irreversible; (5) es estacionario y reversible; (6) no es Suave y irreversible. -
Se sabe que ARMA ( 1 , 1 ) \operatorname{ARMA}(1,1)ARMA ( 1 ,1) 模型为: x t = 0.6 x t − 1 + ε t − 0.3 ε t − 1 x_{t}=0.6 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.3 \varepsilon_{t-1} xt=0.6xt−1+εt−0.3εt−1, 确定该模型的 Green 函 数，使该模型可以等价表示为无穷 M A \mathrm{MA} MA 阶模型形式.
该模型的 Green 函数为:
G 0 = 1 G_{0}=1 G0=1
G 1 = ϕ 1 G 0 − θ 1 = 0.6 − 0.3 = 0.3 G_{1}=\phi_{1} G_{0}-\theta_{1}=0.6-0.3=0.3 G1=ϕ1G0−θ1=0.6−0.3=0.3
G k = ϕ 1 G k − 1 = ϕ 1 k − 1 G 1 = 0.3 × 0. 6 k − 1 , k ≥ 2 G_{k}=\phi_{1} G_{k-1}=\phi_{1}^{k-1} G_{1}=0.3 \times 0.6^{k-1}, k \geq 2 Gk=ϕ1Gk−1=ϕ1k−1G1=0.3×0.6k−1,k≥2
Entonces, el modelo se puede expresar de manera equivalente como: xt = ε t + ∑ k = 0 ∞ 0.3 × 0. 6 k ε t − k − 1 x_{t}=\varepsilon_{t}+\sum_{k=0}^ {\infty} 0,3 \times 0,6^{k} \varepsilon_{tk-1}Xt=mit+∑k = 0∞0.3×0, 6k εt − k − 1
-
某ARMA ( 2 , 2 ) \operatorname{ARMA}(2,2)ARMA ( 2 ,2 ) Definición:Φ ( B ) xt = 3 + Θ ( B ) ε ı \Phi(B) x_{t}=3+\Theta(B) \varepsilon_{\imath};Φ ( segundo ) xt=3+Θ ( B ) mi, 求E ( xt ) E\left(x_{t}\right)mi( xt) . Entre ellos,ε t ∼ WN ( 0 , σ ε 2 ) \varepsilon_{t} \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^{2}\right)mit∼WN _( 0 ,pagmi2) ,Φ ( segundo ) = ( 1 - 0,5 segundo ) 2 . \Phi(B)=(1-0,5 B)^{2}.Φ ( segundo )=( 1−0,5 B )2 .
Θ ( B ) = ( 1 − 0.5 B ) 2 ⇒ ϕ 1 = 0.5 , ϕ 2 = − 0.25 E ( xt ) = ϕ 0 1 − ϕ 1 − ϕ 2 = 3 1 − 0.5 + 0.25 = 4 \begin{aligned } & \Theta(B)=(1-0.5 B)^{2} \Rightarrow \phi_{1}=0.5, \quad \phi_{2}=-0.25 \\ & E\left(x_{t}\ derecha)=\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}-\phi_{2}}=\frac{3}{1-0.5+0.25}=4 \end{alineado}Θ ( B )=( 1−0,5 B )2⇒ϕ1=0,5 ,ϕ2=− 0,25mi( xt)=1−ϕ1−ϕ2ϕ0=1−0,5+0,253=4 -
Demuestre ARMA ( 1 , 1 ) \operatorname{ARMA}(1,1)ARMA ( 1 ,1 ) seqxt= 0.5 xt − 1 + ε t − 0.25 ε t − 1 , ε t ∼ WN ( 0 , σ ε 2 ) x_{t}=0.5 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.25 \ varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t} \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^{2}\right)Xt=0,5x _t - 1+mit−0,25 et - 1,mit∼WN _( 0 ,pagmi2) el coeficiente de autocorrelación es:
ρ k = { 1 , k = 0 0.27 , k = 1 0.5 ρ k − 1 , k ⩾ 2 \rho_{k}= \begin{cases}1, & k=0 \\ 0.27, & k=1 \\ 0.5 \rho_{k-1}, & k \geqslant 2\end{cases}rk=⎩ ⎨ ⎧1 ,0,27 ,0,5 rublosk - 1,k=0k=1k⩾2
Denominador 1 = 1 2 , θ 1 = 1 4 \phi_{1}=\frac{1}{2}, \theta_{1}=\frac{1}{4}ϕ1=21,i1=41, según ARMA ( 1 , 1 ) ARMA(1,1)A RM A ( 1 ,1 ) La fórmula recursiva del modelo de función de Green es:
G 0 = 1 G_{0}=1GRAMO0=1 ,
G 1 = ϕ 1 G 0 − θ 1 = 0.5 − 0.25 = ϕ 1 2 G_{1}=\phi_{1} G_{0}-\theta_{1}=0.5-0.25=\phi_{1} ^{2}GRAMO1=ϕ1GRAMO0−i1=0,5−0,25=ϕ12
G k = ϕ 1 G k − 1 = ϕ 1 k − 1 G 1 = ϕ 1 k + 1 , k ≥ 2 G_{k}=\phi_{1} G_{k-1}=\phi_{1}^ {k-1} G_{1}=\phi_{1}^{k+1}, k \geq 2GRAMOk=ϕ1GRAMOk - 1=ϕ1k - 1GRAMO1=ϕ1k + 1,k≥2
ρ 0 = 1 \rho_{0}=1r0=1
ρ 1 = ∑ j = 0 ∞ G j G j + 1 ∑ j = 0 ∞ G j 2 = ϕ 1 2 + ∑ j = 1 ∞ ϕ 1 2 j + 3 1 + ∑ j = 1 ∞ ϕ 1 2 ( j + 1 ) = ϕ 1 2 + ϕ 1 5 1 − ϕ 1 2 1 + ϕ 1 4 1 − ϕ 1 2 = ϕ 1 2 − ϕ 1 4 + ϕ 1 5 1 − ϕ 1 2 + ϕ 1 4 = 7 26 = 0,27 ρ k = ∑ j = 0 ∞ G j G j + k ∑ j = 0 ∞ G j 2 = ∑ j = 0 ∞ G j ( ϕ 1 G j + k − 1 ) ∑ j = 0 ∞ G j 2 = ϕ 1 ∑ j = 0 ∞ G j G j + k − 1 ∑ j = 0 ∞ G j 2 = ϕ 1 ρ k − 1 , k ≥ 2 \begin{aligned} & \rho_{1}=\frac{ \sum_{j=0}^{\infty} G_{j} G_{j+1}}{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j}^{2}}=\frac{\ phi_{1}^{2}+\sum_{j=1}^{\infty} \phi_{1}^{2 j+3}}{1+\sum_{j=1}^{\infty} \ phi_{1}^{2(j+1)}}=\frac{\phi_{1}^{2}+\frac{\phi_{1}^{5}}{1-\phi_{1}^ {2}}}{1+\frac{\phi_{1}^{4}}{1-\phi_{1}^{2}}}=\frac{\phi_{1}^{2}}\ phi_ {1}^{4}+\phi_ {1}^{5}}{1-\phi_ {1}^{2}+\phi_ {1}^{4}}=\frac{7}{26 }=0.27 \\ & \rho_{k}=\frac{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j} G_{j+k}}{\sum_{j=0}^{\infty} G_ {j}^{2}}=\frac{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j}\left(\phi_{1} G_{j+k-1}\right)}{\ suma_{j=0}^{\infty} G_{j}^{2}}=\phi_{1} \frac{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j} G_{j+k -1}}{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j}^{2}}=\phi_{1} \rho_{k-1}, k \geq 2 \end{aligned}r1=∑j = 0∞GRAMOj2∑j = 0∞GRAMOjGRAMOj + 1=1+∑j = 1∞ϕ12 ( j + 1 )ϕ12+∑j = 1∞ϕ12 j + 3=1+1 − ϕ12ϕ14ϕ12+1 − ϕ12ϕ15=1−ϕ12+ϕ14ϕ12−ϕ14+ϕ15=267=0,27rk=∑j = 0∞GRAMOj2∑j = 0∞GRAMOjGRAMOj + k=∑j = 0∞GRAMOj2∑j = 0∞GRAMOj( ϕ1GRAMOj + k − 1)=ϕ1∑j = 0∞GRAMOj2∑j = 0∞GRAMOjGRAMOj + k − 1=ϕ1rk - 1,k≥2
Certificación completada.
- Para series de tiempo estacionarias, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debe ser verdadera?
(1) σ ε 2 = E ( ε 1 2 ) \sigma_{\varepsilon}^{2}=E\left(\varepsilon_{1}^{2}\right)pagmi2=mi( mi12)
(2) Cov ( yt , yt + k ) = Cov ( yt , yt − k ) \operatorname{Cov}\left(y_{t}, y_{t+k}\right)=\operatorname{Cov }\left(y_{t}, y_{tk}\right)Aquellos( yt,yt + k)=Aquellos( yt,yt − k)
(3) ρ k = ρ − k \rho_{k}=\rho_{-k}rk=r−k _
(4) y ^ t ( k + 1 ) = y ^ t + 1 ( k ) \widehat{y}_{t}(k+1)=\widehat{y}_{t+1}(k)y t( k+1 )=y t + 1( k ) .
(1) Establecido
(2) Establecido
(3) Establecido
(4) Establecido
- En la tabla se muestra la tasa anual de muertes por homicidios relacionados con armas de fuego (por cada 100.000 personas) en Australia desde 1915 hasta 2004.
(1) Si se considera que la serie es estacionaria, determine qué modelo en ARMA tiene la serie estacionaria.
(2) Si se considera que la secuencia no es estacionaria, examine las características de estacionariedad y correlación de la secuencia después de la diferencia de primer orden.
年 死亡率
1915 0.5215052
1916 0.4248284
1917 0.4250311
1918 0.4771938
1919 0.8280212
1920 0.6156186
1921 0.366627
1922 0.4308883
1923 0.2810287
1924 0.4646245
1925 0.2693951
1926 0.5779049
1927 0.5661151
1928 0.5077584
1929 0.7507175
1930 0.6808395
1931 0.7661091
1932 0.4561473
1933 0.4977496
1934 0.4193273
1935 0.6095514
1936 0.457337
1937 0.5705478
1938 0.3478996
1939 0.3874993
1940 0.5824285
1941 0.2391033
1942 0.2367445
1943 0.2626158
1944 0.4240934
1945 0.365275
1946 0.3750758
1947 0.4090056
1948 0.3891676
1949 0.240261
1950 0.1589496
1951 0.4393373
1952 0.5094681
1953 0.3743465
1954 0.4339828
1955 0.4130557
1956 0.3288928
1957 0.5186648
1958 0.5486504
1959 0.5469111
1960 0.4963494
1961 0.5308929
1962 0.5957761
1963 0.5570584
1964 0.5731325
1965 0.5005416
1966 0.5431269
1967 0.5593657
1968 0.6911693
1969 0.4403485
1970 0.5676662
1971 0.5969114
1972 0.4735537
1973 0.5923935
1974 0.5975556
1975 0.6334127
1976 0.6057115
1977 0.7046107
1978 0.4805263
1979 0.702686
1980 0.7009017
1981 0.6030854
1982 0.6980919
1983 0.597656
1984 0.8023421
1985 0.6017109
1986 0.5993127
1987 0.6025625
1988 0.7016625
1989 0.4995714
1990 0.4980918
1991 0.497569
1992 0.600183
1993 0.3339542
1994 0.274437
1995 0.3209428
1996 0.5406671
1997 0.4050209
1998 0.2885961
1999 0.3275942
2000 0.3132606
2001 0.2575562
2002 0.2138386
2003 0.1861856
2004 0.1592713
1. Convierta datos en variables de series temporales y visualícelas:
data <- read.table('./时间序列分析——基于R（第2版）习题数据/习题3.16数据.txt', header = TRUE, sep = "\t")
#将年份转换为时间序列类型
death <- ts(data$死亡率, start = c(1915), end = c(2004), frequency = 1)
#可视化
plot(death, type = "l", main = "1915-2004年澳大利亚枪支凶杀案死亡率",
xlab = "年份", ylab = "死亡率")
2. Realizar una prueba de estacionariedad sobre la serie temporal:
library(tseries)
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
## method from
## as.zoo.data.frame zoo
#进行ADF检验
adf.test(death)
##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: death
## Dickey-Fuller = -1.2491, Lag order = 4, p-value = 0.8853
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(death)
## Warning in kpss.test(death): p-value greater than printed p-value
##
## KPSS Test for Level Stationarity
##
## data: death
## KPSS Level = 0.19826, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1
Conclusión:
El valor p de la prueba ADF es mayor a 0.05 y la hipótesis nula no se puede rechazar, es decir, la secuencia no es estacionaria; el valor
p de la prueba KPSS es menor a 0.05 y la hipótesis nula es rechazada, es decir, la secuencia no es estacionaria.
3. Realice la operación de diferencia de primer orden y vuelva a realizar la prueba de estacionariedad:
diff_ts <- diff(death)
#可视化
plot(diff_ts, type = "l", main = "差分后的1915-2004年澳大利亚枪支凶杀案死亡率",
xlab = "年份", ylab = "差分后的死亡率")
#进行ADF检验
adf.test(diff_ts)
## Warning in adf.test(diff_ts): p-value smaller than printed p-value
##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff_ts
## Dickey-Fuller = -5.1026, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(diff_ts)
## Warning in kpss.test(diff_ts): p-value greater than printed p-value
##
## KPSS Test for Level Stationarity
##
## data: diff_ts
## KPSS Level = 0.099305, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1
Conclusión:
La serie es significativamente estacionaria después de diferencia de primer orden;
el valor p de la prueba KPSS es mayor a 0.05 y la hipótesis nula no puede rechazarse, es decir, la serie tiende a ser estacionaria bajo diferencia de primer orden.
4. Realice análisis ACF y PACF en la primera secuencia diferenciada para determinar el modelo ARMA:
#ACF和PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(diff_ts, main = "ACF")
pacf(diff_ts, main = "PACF")
Conclusión:
ACF muestra que la secuencia tiene una autocorrelación de retardo adyacente obvia, y PACF muestra que la secuencia tiene características autorregresivas (AR) truncadas.
Por lo tanto, se puede elegir el modelo ARMA(p,0), donde p toma un valor de 2 o 3.
- La secuencia de niveles de agua promedio mensuales máximos en el lago Michigan desde 1860 hasta 1955 se muestra en la siguiente tabla.
(1) Si se considera que la serie es estacionaria, determine qué modelo en ARMA tiene la serie estacionaria.
(2) Si se considera que la secuencia no es estacionaria, examine las características de estacionariedad y correlación de la secuencia después de la diferencia de primer orden.
年 水位
1860 83.3
1861 83.5
1862 83.2
1863 82.6
1864 82.2
1865 82.1
1866 81.7
1867 82.2
1868 81.6
1869 82.1
1870 82.7
1871 82.8
1872 81.5
1873 82.2
1874 82.3
1875 82.1
1876 83.6
1877 82.7
1878 82.5
1879 81.5
1880 82.1
1881 82.2
1882 82.6
1883 83.3
1884 83.1
1885 83.3
1886 83.7
1887 82.9
1888 82.3
1889 81.8
1890 81.6
1891 80.9
1892 81
1893 81.3
1894 81.4
1895 80.2
1896 80
1897 80.85
1898 80.83
1899 81.1
1900 80.7
1901 81.1
1902 80.83
1903 80.82
1904 81.5
1905 81.6
1906 81.5
1907 81.6
1908 81.8
1909 81.1
1910 80.5
1911 80
1912 80.7
1913 81.3
1914 80.7
1915 80
1916 81.1
1917 81.87
1918 81.91
1919 81.3
1920 81
1921 80.5
1922 80.6
1923 79.8
1924 79.6
1925 78.49
1926 78.49
1927 79.6
1928 80.6
1929 82.3
1930 81.2
1931 79.1
1932 78.6
1933 78.7
1934 78
1935 78.6
1936 78.7
1937 78.6
1938 79.7
1939 80
1940 79.3
1941 79
1942 80.2
1943 81.5
1944 80.8
1945 81
1946 80.96
1947 81.1
1948 80.8
1949 79.7
1950 80
1951 81.6
1952 82.7
1953 82.1
1954 81.7
1955 81.5
1. Convierta datos en variables de series temporales y visualícelas:
data <- read.table('./时间序列分析——基于R（第2版）习题数据/习题3.17数据.txt', header = TRUE, sep = "\t")
#将年份转换为时间序列类型
level <- ts(data$水位, start = c(1860), end = c(1955), frequency = 1)
#可视化
plot(level, type = "l", main = "1860-1955年密歇根湖每月平均水位变化",
xlab = "年份", ylab = "水位")
2. Realizar una prueba de estacionariedad sobre la serie temporal:
library(tseries)
#进行ADF检验
adf.test(level)
##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: level
## Dickey-Fuller = -2.3833, Lag order = 4, p-value = 0.4181
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(level)
## Warning in kpss.test(level): p-value smaller than printed p-value
##
## KPSS Test for Level Stationarity
##
## data: level
## KPSS Level = 1.3798, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.01
Conclusión:
El valor p de la prueba ADF es mayor a 0.05 y la hipótesis nula no se puede rechazar, es decir, la secuencia no es estacionaria; el valor
p de la prueba KPSS es menor a 0.05 y la hipótesis nula es rechazada, es decir, la secuencia no es estacionaria.
3. Realice la operación de diferencia de primer orden y vuelva a realizar la prueba de estacionariedad:
diff_le <- diff(level)
#可视化
plot(diff_le, type = "l", main = "差分后的1860-1955年密歇根湖每月平均水位变化",
xlab = "年份", ylab = "差分后的水位")
#进行ADF检验
adf.test(diff_le)
## Warning in adf.test(diff_le): p-value smaller than printed p-value
##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff_le
## Dickey-Fuller = -5.6057, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(diff_le)
## Warning in kpss.test(diff_le): p-value greater than printed p-value
##
## KPSS Test for Level Stationarity
##
## data: diff_le
## KPSS Level = 0.07181, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1
Conclusión:
La serie es significativamente estacionaria después de diferencia de primer orden;
el valor p de la prueba KPSS es mayor a 0.05 y la hipótesis nula no puede rechazarse, es decir, la serie tiende a ser estacionaria bajo diferencia de primer orden.
4. Realice análisis ACF y PACF en la primera secuencia diferenciada para determinar el modelo ARMA:
#ACF和PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(diff_le, main = "ACF")
pacf(diff_le, main = "PACF")
Realizando análisis ACF y PACF en la secuencia después de la primera diferencia.
El gráfico ACF decae lentamente desde retrasos = 1, lo que indica que un modelo AR(1) puede ser adecuado para esta secuencia. Pero a medida que el retraso aumenta, el ACF se acerca cada vez más a 0, lo que significa que un modelo MA(1) también puede ser adecuado.
El gráfico PACF está censurado en retrasos = 1, lo que indica que un modelo AR(1) puede ser adecuado. Sin embargo, en rezagos = 2, PACF vuelve a ser significativamente negativo, lo que indica que puede ser necesario un término MA(1) para explicar la secuencia.
Se puede ver que el modelo ARMA (1,1) puede ser una característica del modelo más adecuada.