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fórmula de inducción
- Las funciones trigonométricas de ángulos agudos son simples y fáciles de encontrar (fáciles de expresar)
- Para cualquier ángulo, existen ciertas relaciones entre sus diversas funciones trigonométricas que deben analizarse.
- La fórmula más básica y comúnmente utilizada para inducir funciones trigonométricas.
Mismos ángulos finales
- En el sistema de coordenadas cartesiano, α , α + 2 k π \alpha,\alpha+2k\piun ,a+2 kπ ,k ∈ K k\in\mathbb{K}k∈Si los lados terminales de K son iguales, están definidos por funciones trigonométricas. Es fácil saber que las dos funciones trigonométricas son iguales.
- porque ( α + 2 k π ) = porque α \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alphaporque ( un+2 kp )=porquea
- sin ( α + 2 k π ) = sin α \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alphapecado ( un+2 kp )=pecadoa
- tan ( α + 2 k π ) = tan α \tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alphabronceado ( un+2 kp )=broncearsea
Internalización de funciones trigonométricas para cualquier ángulo.
- Según la relación entre las funciones trigonométricas de los mismos ángulos terminales, todos los valores absolutos exceden un ciclo ( 2 π 2\pi2 π o− 2 π -2\pi− 2 π ) se puede convertir en un valor absoluto menor que2 π 2\piÁngulo 2 π para calcular
ángulo opuesto
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Acerca de xxÁngulo que es simétrico con respecto al eje x.
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un alfaEl ángulo opuesto de α es− α -\alpha− un
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Obviamente, los lados terminales de ángulos opuestos miden aproximadamente xxEl eje x es simétrico. Según la definición de funciones trigonométricas, tenemos
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porque ( − α ) \cos(-\alpha)porque ( − α ) =porque α \cos\alphaporquea
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pecado ( − α ) \sin(-\alpha)pecado ( − α ) =− pecado α -\sin\alpha−pecadoa
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tan ( − α ) \tan(-\alpha)tan ( − α ) =sin ( − α ) / cos ( − α ) \sin(-\alpha)/\cos(-\alpha)pecado ( − α ) /porque ( − α ) =− tan α -\tan\alpha−broncearsea
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resumen
- porque α \cos\alphaporqueα es una función par ysin α , tan α \sin\alpha,\tan\alphapecadoun ,broncearseα es una función impar
Normalización de ángulo negativo de cualquier ángulo.
- A partir de la conclusión de los ángulos opuestos, cualquier ángulo negativo se puede convertir en un ángulo positivo para calcular y expresar.
- Por ejemplo cos ( − π 4 ) \cos(-\frac{\pi}{4})porque ( -4pag) =porque π 4 \cos\frac{\pi}{4}porque4pag; pecado ( − 7 π 3 ) \sin(-\frac{7\pi}{3})pecado ( -37 p.m.) =− pecado 7 π 3 -\sin\frac{7\pi}{3}−pecado37 p.m., tan ( − π 3 ) \tan(-\frac{\pi}{3})bronceado ( -3pag) =− tan π 3 -\tan\frac{\pi}{3}−broncearse3pag
Ángulo de simetría de origen
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Ángulo α \alphaEl lado inicial de α es xxEn el sistema de coordenadas rectangular del eje x positivo ,α \alphaEl ángulo correspondiente al lado terminal de α con respecto al lado terminal del origen se expresa como α + ( 2 k + 1 ) π \alpha+(2k+1)\pia+( 2k _+1 ) πψα + ( 2 k − 1 ) π \alpha+(2k-1)\pia+( 2k _−1 ) π ,k ∈ Z k\in\mathbb{Z}k∈Z ; Llamemos a este tipo de ánguloα \alphaEl ángulo de simetría del origende α.
- En [ 0 , 2 π ) [0,2\pi)[ 0 ,α \alphadentro de 2 π )El lado terminal de α es simétrico con respecto al origen y se expresa comoα ± π \alpha\pm{\pi}a±Pi
- Luego, de acuerdo con la fórmula para generar ángulos con el mismo lado terminal, obtenemos la expresión para el ángulo simétrico en el origen.
- Los signos de las coordenadas de los puntos de las dos aristas terminales que son simétricos con respecto al origen están invertidos.
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un alfaEl ángulo de simetría entre α y su origenα + ( 2 k + 1 ) π \alpha+(2k+1)\pia+( 2k _+1 ) Relación de función trigonométrica de π :
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porque ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \cos(\alpha+(2k+1)\pi)porque ( un+( 2k _+1 ) π ) =− porque α -\cos\alpha−porquea
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pecado ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \sin(\alpha+(2k+1)\pi)pecado ( un+( 2k _+1 ) π ) =− sen α -\sin\alpha−pecadoa
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tan ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \tan(\alpha+(2k+1)\pi)bronceado ( un+( 2k _+1 ) π ) =tan α \tan\alphabroncearsea
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Cualquier ángulo de afilado
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Sea el conjunto de números impares N 1 = { 2 k ∣ k ∈ Z } N_1=\set{2k|k\in{\mathbb{Z}}}norte1={ 2k _∣k∈z} , el conjunto de números pares esN 2 = { 2 k + 1 ∣ k ∈ Z } N_2=\set{2k+1|k\in\mathbb{Z}}norte2={ 2k _+1∣k∈z}
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pecado ( α + k π ) \sin(\alpha+k\pi)pecado ( un+kπ ) ={ − sin α k ∈ N 1 sin α k ∈ N 2 \begin{cases}-\sin\alpha&k\in{N_1}\\ \sin\alpha&k\in{N_2}\end{cases}{ −pecadoapecadoak∈norte1k∈norte2
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porque ( α + k π ) \cos(\alpha+k\pi)porque ( un+kπ ) ={ − porque α k ∈ N 1 cos α k ∈ N 2 \begin{cases}-\cos\alpha&k\in{N_1}\\ \cos\alpha&k\in{N_2}\end{cases}{ −porqueaporqueak∈norte1k∈norte2
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tan ( α + k π ) \tan(\alpha+k\pi)bronceado ( un+kπ ) =tan α \tan\alphabroncearseα ,k ∈ Z k\in\mathbb{Z}k∈z
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Después del análisis y discusión anterior, se puede ver que cualquier ángulo se puede transformar en α + k π \alpha+k\pia+kπ ,( ∣ α ∣ ⩽ π 2 ) (|\alpha|\lexlant\frac{\pi}{2})( ∣ α ∣⩽2pag) forma
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Entonces según α , − α \alpha,-\alphaun ,− La relación de la función trigonométrica de α se transforma aún más en[ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}][ 0 ,2pag] para representar y calcular funciones trigonométricas de ángulos agudos
resumen
- Los primeros tres conjuntos de fórmulas anteriores: (tres relaciones de borde terminal corresponden a tres conjuntos de fórmulas)
- Mismos ángulos finales
- ángulo opuesto
- Ángulo de simetría de origen
- Llamadas colectivamente fórmulas inducidas , las fórmulas se pueden razonar y memorizar con la ayuda del borde terminal de cualquier ángulo.
- La fórmula de inducción se puede utilizar para encontrar el valor de una función trigonométrica o simplificar una función trigonométrica.
ángulo complementario
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Dos ángulos son complementarios ( α , π − α ) (\alpha,\pi-\alpha)( un ,Pi−α ) , entonces sus lados terminales son aproximadamenteyysimetría del eje y
- π − α \pi-\alphaPi−α puede verse como− α + π -\alpha+\pi− un+π , es decir, primero alrededor dexxDibujar− α -\alpha simétricamente respecto al eje x− α borde final, y luego hacer− α -\alpha− α es simétrica respecto al origen− α + π -\alpha+\pi− un+Pi
- Presione α \alpha respectivamenteCuando el lado terminal de α está en cuatro cuadrantes, se demuestra que se puede obtener la misma conclusión: α , π − α \alpha,\pi-\alphaun ,Pi−αAcerca de yy_simetría del eje y
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Conocido α \alphaα ,π − α \pi-\alphaPi−α son ángulos complementarios, entoncessin ( π − α ) \sin(\pi-\alpha)pecado ( pag.−α ) =sen α \sin\alphapecadoun ? porque ( π − α ) \cos(\pi-\alpha)porque ( pag.−α ) =− porque α -\cos\alpha−porquea
- dondeπ − α \pi-\alphaPi−α es equivalente aα \alphaαAcerca de xx_Después de la simetría en el eje x , luego la simetría con respecto al origen
- pecado ( π − α ) \sin(\pi-\alpha)pecado ( pag.−α ) =− pecado ( − α ) -\sin(-\alpha)−pecado ( − α ) =− ( − pecado α ) -(-\sin\alpha)− ( −pecadoα ) =sen α \sin\alphapecadoa
- De manera similar, cos ( π − α ) \cos(\pi-\alpha)porque ( pag.−α ) =− porque ( − α ) -\cos(-\alpha)−porque ( − α ) =− porque α -\cos\alpha−porquea
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En resumen, los valores de los senos de dos ángulos complementarios son iguales y los valores de los cosenos son opuestos entre sí.
与π 2 \frac{\pi}{2}2pagFunciones trigonométricas relacionadas con expresiones de ángulos.
- Fórmula (las dos últimas pueden convertir α \alpha en las dos primerasα se reemplaza por− α -\alpha− se obtiene α , 5 ∼ 8 5\sim{8}5∼8 se puede obtener directamente de la relación de proporción entre cada una y las dos primeras fórmulas)
- porque ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2})porque ( un+2pag) =− pecado α -\sin\alpha−pecadoun ?
- pecado ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})pecado ( un+2pag) =porque α \cos\alphaporquea
- porque ( − α + π 2 ) \cos(-\alpha+\frac{\pi}{2})porque ( - un+2pag) =sen α \sin\alphapecadoun ?
- pecado ( − α + π 2 ) \sin(-\alpha+\frac{\pi}{2})pecado ( - un+2pag) =porque α \cos\alphaporquea
- tan ( α + π 2 ) \tan(\alpha+\frac{\pi}{2})bronceado ( un+2pag) =− cuna α -\cot{\alpha}−cunaa
- cuna ( α + π 2 ) \cot(\alpha+\frac{\pi}{2})cuna ( un+2pag) =− tan α -\tan\alpha−broncearsea
- tan ( − α + π 2 ) = tan α \tan(-\alpha+\frac{\pi}{2})=\cot{\alpha}bronceado ( − un+2pag)=cunaa
- cuna ( − α + π 2 ) \cot(-\alpha+\frac{\pi}{2})cuna ( - un+2pag) =tan α \tan\alphabroncearsea
α , α + π 2 \alpha,\alpha+\frac{\pi}{2}un ,a+2pag
- Discutir α \alphaα和α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2}a+2pagrelación de función trigonométrica, utilizamos
- Las coordenadas del punto de intersección del lado terminal y el círculo unitario (las coordenadas horizontal y vertical reflejan respectivamente el ángulo α \alphaseno y coseno de α )
- Y la recta y = ± xy=\pm x en el sistema de coordenadas cartesianoy=± xauxiliar (transición)
- P (x, y) P(x,y)P ( x ,y)和 Q ( y , x ) Q(y,x) Q ( y ,x ) con respecto ay = xy=xy=xsimetría _
- Por ejemplo (2, 1) (2,1)( 2 ,1 ) ,( 1 , 2 ) (1,2)( 1 ,2 ) ; también como( 1 , − 2 ) (1,-2)( 1 ,− 2 ) ,( − 2 , 1 ) (-2,1)( -2 , _1 )
- P (x, y) P(x,y)P ( x ,y)和 Q ( − y , − x ) Q(-y,-x) Q ( − y ,− x ) sobrey = − xy=-xy=−xsimetría _ _
- Por ejemplo ( 2 , 1 ) , ( − 1 , − 2 ) (2,1), (-1,-2)( 2 ,1 ) ,( -1 , _− 2 ) ; también como( 1 , − 2 ) (1,-2)( 1 ,− 2 ) ,( 2 , − 1 ) (2,-1)( 2 ,− 1 )
- P (x, y) P(x,y)P ( x ,y)和 Q ( y , x ) Q(y,x) Q ( y ,x ) con respecto ay = xy=xy=xsimetría _
- Relaciones de coordenadas de puntos simétricos con respecto a los ejes de coordenadas.
- P ( x , y ) , Q ( x , − y ) P(x,y),Q(x,-y)P ( x ,y ) ,Q ( x ,− y ) sobrexxsimetría del eje x
- P ( x , y ) , Q ( − x , y ) P(x,y),Q(-x,y)P ( x ,y ) ,Q ( -x , _y ) Acerca deyysimetría del eje y
- De hecho, α \alphaα se puede transformar enα + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2}mediante dostransformaciones de simetría axiala+2pag
- Sea α \alphaEl lado terminal α y el círculo unitario se cruzan en el puntoP ( cos α , sin α ) P(\cos\alpha,\sin\alpha)P ( porqueun ,pecadoun )
- Tome α \alphaDiscusión del ángulo del primer cuadrante de la fórmula α como ejemplo
- La primera transformación de simetría axial es sobre la línea recta y = xy=xy=x , las nuevas coordenadas obtenidas se denotan comoMMM , por simetría podemos saberM ( sin α , cos α ) M(\sin\alpha,\cos\alpha)M ( pecadoun ,porqueα ) , borde terminalOM OMEl ángulo correspondiente de OM : ( π 2 − α ) + 2 k π , k ∈ Z (\frac{\pi}{2}-\alpha)+2k\pi,k\in\mathbb{Z}(2pag−un )+2 kilómetros ,k∈z
- La segunda transformación de simetría axial es aproximadamente x = 0 x=0X=0 , las nuevas coordenadas obtenidas sonNNN , porNNN yMMM con respecto ax = 0 x=0X=0 simetría, entoncesN ( − sin α , cos α ) N(-\sin\alpha,\cos\alpha)norte ( -pecadoun ,porquea ) ;角α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2}a+2pagEl borde del terminal está ON ONON ,N ( cos ( α + π 2 ) , sin ( α + π 2 ) ) N(\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}),\sin(\alpha+\frac{\pi {2}))norte ( porque ( un+2pag) ,pecado ( un+2pag))
- Entonces cos ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2})porque ( un+2pag) =− pecado α -\sin\alpha−pecadoun ? pecado ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})pecado ( un+2pag) =porque α \cos\alphaporquea
- Usando técnicas similares, α \alpha se puede resumir completamenteLa misma conclusión (fórmula) se establece cuando α se encuentra en los cuatro cuadrantes.
α , α − π 2 \alpha,\alpha-\frac{\pi}{2}un ,a−2pag
- α − π 2 \alpha-\frac{\pi}{2}a−2pag= − ( − α + π 2 ) -(-\alpha+\frac{\pi}{2})− ( − un+2pag)
- Se puede deducir directamente de las fórmulas del grupo anterior, por ejemplo
- porque ( α − π 2 ) \cos(\alpha-\frac{\pi}{2})porque ( un−2pag) =porque ( − ( − α + π 2 ) ) \cos(-(-\alpha+\frac{\pi}{2}))porque ( − ( − una+2pag)) =porque ( − α + π 2 ) \cos(-\alpha+\frac{\pi}{2})porque ( - un+2pag) =sen α \sin\alphapecadoa
- pecado ( α − π 2 ) \sin(\alpha-\frac{\pi}{2})pecado ( un−2pag) =pecado ( − ( − α + π 2 ) ) \sin(-(-\alpha+\frac{\pi}{2}))pecado ( − ( − un+2pag)) =− pecado ( − α + π 2 ) -\sin(-\alpha+\frac{\pi}{2})−pecado ( - un+2pag) =− porque α -\cos\alpha−porquea
- ⋯ \cdots⋯
Resumen@mantra
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A través de la investigación y la inducción de las fórmulas inducidas de funciones trigonométricas, las personas han resumido un conjunto de fórmulas para completar rápidamente la conversión de la siguiente forma
- U ( α + k ⋅ π 2 ) U(\alpha+k\cdot{\frac{\pi}{2}})U ( un+k⋅2pag) ,k ∈ Z k\in\mathbb{Z}k∈Z到V ( α ) V(\alpha)V ( a )
- Entre ellos U , VU,Vtú ,V representasen , cos \sin,\cospecado ,Un nombre de función en cos , U, VU,Vtú ,V puede tomar el mismo nombre de función
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Aquí está la fórmula más utilizada, utilizada principalmente para sin , cos \sin,\cospecado ,porque
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" Los cambios impares a símbolos pares, sin cambios, se observan en los cuadrantes "
- Los cambios de impar a par permanecen sin cambios:
- sikk_ _k es un número par, entoncesU, VU, Vtú ,Los nombres de las funciones de V son los mismos, por ejemplo, todos sonsin \sinpecado o amboscos \coscos , es decir,el nombre de la función permanece sin cambios
- sikk_ _k es un número impar, el nombre de la función cambia (sin → cos ; cos → sin \sin\to\cos;\cos\to{\sin}pecado→porque ;porque→pecado )
- Los símbolos miran los cuadrantes:
- El signo se refiere al signo más o menos.
- Cambiar α \alphaα se considera como un ángulo agudo y luego se juzgaα + k ⋅ π 2 \alpha+k\cdot{\frac{\pi}{2}}a+k⋅2pagEl cuadrante donde se encuentra el borde terminal.
- El signo del lado terminal (ángulo correspondiente) bajo la función trigonométrica U es VVEl símbolo de V es simplementeel mismo signo
- 例cos ( − 19 π 4 ) \cos(-\frac{19\pi}{4})porque ( -419 p.m.) =porque ( 19 4 π ) \cos(\frac{19}{4}\pi)porque (419π ) =porque ( 3 π 4 + 4 π ) \cos(\frac{3\pi}{4}+4\pi)porque (43 p.m.+4 π ) =porque 3 4 π \cos{\frac{3}{4}\pi}porque43π =porque ( π 2 + π 4 ) \cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})porque (2pag+4pag) =− pecado π 4 -\sin\frac{\pi}{4}−pecado4pag= − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2}−22
- Los cambios de impar a par permanecen sin cambios:
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Otras funciones trigonométricas se pueden convertir a sin , cos \sin,\cospecado ,cos se calcula, por lo que no es necesario recordar
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Si es necesario, puede consultar otra información para otras fórmulas.