[Conocimientos matemáticos] Representación base de coordenadas de vectores, verificación de código Matlab

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1	[Conocimientos matemáticos] Representación base de coordenadas de vectores, verificación de código Matlab
2	[Conocimientos matemáticos] Producto interno de vector y base, verificación de código Matlab

1. Representación base de coordenadas del vector.

Supongamos que hay un vector $\vec{a}$, en diferentes sistemas de coordenadas (o bases de coordenadas), vector $\vec{a}$Representado por diferentes valores de coordenadas.

Cuando la base de coordenadas se determina de forma única, los valores de coordenadas correspondientes también se determinan de forma única. Al mismo tiempo, los vectores también se pueden representar mediante una combinación lineal de valores de coordenadas y líneas de coordenadas.

• Cuando el vector es un vector plano bidimensional, se puede expresar como
  $$\vec{a}=a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}+a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}=\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\end{array}\right]$$

• Cuando el vector es un vector en un espacio tridimensional, se puede expresar como
  $$\vec{a}=a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}+a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}+a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}=\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\\ a_{}\end{array}\right]$$

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2. Ejemplo de vector plano bidimensional

El siguiente es un ejemplo basado en un vector en un plano bidimensional, pero el caso en un espacio tridimensional tiene las mismas propiedades y conclusiones.

Supongamos que hay un vector plano bidimensional $\vec{a}$, en la base de coordenadas estándar ${\overrightarrow{mi}}_{}=\left[\begin{array}{c}1\\ \end{array}\right],{\overrightarrow{mi}}_{}=\left[\begin{array}{c}0\\ \end{array}\right]$ El valor de las coordenadas debajo es$\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ \end{array}\right]$ . Entonces este vector se puede expresar como

$$\begin{array}{rl}\vec{a}& =a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}+a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}=\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\end{array}\right]\\ & =3\left[\begin{array}{c}1\\ \end{array}\right]+4\left[\begin{array}{c}0\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ \end{array}\right]=[\begin{array}{c}3\\ \end{array}\end{array}$$

Ahora, cambiamos la base de coordenadas a ${\overrightarrow{mi}}_{1^{}}=\left[\begin{array}{c}\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right],{\overrightarrow{mi}}_{2^{}}=\left[\begin{array}{c}-\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ , el valor de coordenadas bajo esta nueva base es$\left[\begin{array}{c}{a}_{X^{}}\\ a_{y^{}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ . Entonces este vector se puede expresar como

$$\begin{array}{rl}\vec{a}& =\frac{}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]+\frac{}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}-\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{}{\sqrt{2}}& -\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}& \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=[\begin{array}{c}3\\ \end{array}\end{array}$$

En el ejemplo anterior, podemos ver que no importa qué base de coordenadas se utilice, siempre existirá la siguiente ecuación

$$\begin{array}{rl}\vec{a}& =a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}+a_{}{\overrightarrow{mi}}_{}=\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\end{array}\right]\\ & =a_{X^{}}{\overrightarrow{mi}}_{1^{}}+a_{y^{}}{\overrightarrow{mi}}_{2^{}}=\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{1^{}}& {\overrightarrow{mi}}_{2^{}}\end{array}\right][\begin{array}{c}{a}_{X^{}}\\ a_{y^{}}\end{array}\end{array}$$

Se pueden sacar conclusiones similares para los vectores en el espacio tridimensional.

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En cuanto a cómo obtener los valores de coordenadas bajo la nueva base, podemos lograrlo mediante los siguientes pasos

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{1^{}}& {\overrightarrow{mi}}_{2^{}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{X^{}}\\ a_{y^{}}\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{1^{}}& {\overrightarrow{mi}}_{2^{}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{\overrightarrow{mi}}_{}& {\overrightarrow{mi}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{}\\ a_{}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}{a}_{X^{}}\\ a_{y^{}}\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}\frac{}{\sqrt{2}}& -\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}& \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ & \end{array}\right][\begin{array}{c}3\\ \end{array}& =[\begin{array}{c}\frac{}{\sqrt{2}}\\ \frac{}{\sqrt{2}}\end{array}\end{array}$$

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3. Verificación del código Matlab

a_x = 3;
a_y = 4;

e_1 = [ 1
        0];
e_2 = [ 0
        1];

a_x_prime = 7/sqrt(2);
a_y_prime = 1/sqrt(2);

e_1_prime = [ sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];

>> pinv([e_1_prime  e_2_prime]) * [e_1  e_2] * [a_x; a_y]
ans =
    4.9497
    0.7071

>> a_x_prime
ans =
    4.9497

>> a_y_prime
ans =
    0.7071

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Árbitro

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