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1. Introducción
Recientemente encontré algunos problemas prácticos relacionados con el tensor de inercia, como por ejemplo:
- ¿Cómo se calcula el tensor de inercia global para dos varillas conectadas por una bisagra?
- ¿Cómo calcular el tensor de inercia general de un sistema compuesto por muchos componentes simples?
En el proceso de búsqueda de métodos de cálculo en Internet, es difícil encontrar métodos matemáticos concisos mediante las palabras clave correctas. Por eso, después de repetidas búsquedas, hice un resumen de la información que encontré como complemento a los capítulos relevantes del libro "Introducción a la Robótica".
La representación simbólica del siguiente contenido seguirá la convención de nomenclatura de "Introducción a la Robótica".
2. El concepto de tensor de inercia.
Para un cuerpo rígido con seis grados de libertad en el espacio tridimensional, puede haber infinitos ejes de rotación. Para un cuerpo rígido, cuando gira alrededor de cualquier eje, necesitamos una forma universal de caracterizar la distribución de masa del cuerpo rígido, por lo que Se introduce el tensor de inercia .
La siguiente es la definición de tensor de inercia dada por la Enciclopedia Baidu.
Para obtener una introducción más detallada, consulte la wiki Momento de inercia.
Por conveniencia, el sistema de coordenadas del tensor de inercia de un cuerpo rígido generalmente toma como origen el centro de masa del cuerpo rígido . También seguiremos este punto en la siguiente derivación y prueba.
3. Transformación de rotación del tensor de inercia.
Supongamos que un sistema de coordenadas es { 0 } \{0\}{ 0 } , hay un cuerpo rígido, selecciona un punto en él para establecer el sistema de coordenadas aleatorio{ b } \{b\}{ b } , el cuerpo rígido está representado porω \omegaVelocidad angular de ω (en{ 0 } \{0\}{ 0 } se describe a continuación) en relación con{ 0 } \{0\}{0} es movimiento .
3.1 Conclusión
b I = ( b 0 RT ) ( 0 I ) ( b 0 R ) 0 I = ( b 0 R ) ( b I ) ( b 0 RT ) {}^b\!I=( {}^{\color{rojo}0}_b\!R^{\color{rojo}T})({}^{\color{rojo}0}\!I)({}^{\color{rojo }0}_b\!R) \\ {}^0\!I=({}^{\color{rojo}0}_b\!R)({}^{\color{rojo}b}I)( {}^{\color{rojo}0}_b\!R^{\color{rojo}T})bI=(b0RT )(0yo ) (b0r )0I=(b0R ) (b yo)(b0RT )
(La letra roja significa: ¡presta atención al superíndice!)
3.2 Prueba
La fórmula para la energía de rotación de un cuerpo rígido (similar a la energía cinética de traslación) es la siguiente:
T = 1 2 ω TI ω \begin{equation} T=\frac{1}{2}\omega^TI\ omega \end{ecuación}t=21VayaT Iω
Entre ellos, TTT representa la energía cinética, que es una cantidad escalar. Fórmula(1) (1)( 1 ) Para conocer el proceso de prueba, consulte:Prueba de fórmula de energía de rotación del cuerpo rígido
Es fácil entender que no importa en qué sistema de coordenadas se expresen el tensor de inercia y la velocidad angular, la energía cinética escalar de la rotación del cuerpo rígido es la misma. Por lo tanto:
T = 1 2 ( 0 ω T ) ( 0 I ) ( 0 ω ) T = 1 2 ( b ω T ) ( b I ) ( b ω ) \begin{align} T&=\frac{1 } {2}({}^0\omega^T)({}^0\!I)({}^0\omega) \\ T&=\frac{1}{2}({}^b\omega ^ T){\color{rojo}({}^b\!I)}({}^b\omega) \end{align}tt=21(0 ohT )(0yo ) (0 o)=21(b oT )(byo ) (b ω).
( 2 ) (2)( 2 ) Fórmula =(3) (3)( 3 ) fórmula,(3) (3)( 3 ) ¿Por qué parte de la fórmula está marcada en rojo? ¡Lo usaré pronto!
voluntad (2) (2)( 2 )式作如下展开：
T = 1 2 ( 0 ω T ) ( 0 I ) ( 0 ω ) = 1 2 ( b 0 R b ω ) T ( 0 I ) ( b 0 R b ω ) = 1 2 ( b ω T ) ( b 0 RT ) ( 0 I ) ( b 0 R ) ( b ω ) \begin{align} T&=\frac{1}{2}({}^0 \omega^T)({}^0\!I)({}^0\omega) \\ &=\frac{1}{2}({}^0_b\!R{}^b\omega)^ T({}^0\!I)({}^0_b\!R{}^b\omega) \\ &=\frac{1}{2}({}^b\omega^T){\color {rojo}({}^0_b\!R^T)({}^0\!I)({}^0_b\!R)}({}^b\omega) \end{align}t=21(0 ohT )(0yo ) (0 o)=21(b0Rsegundo ω)T (0yo ) (b0Rsegundo ω)=21(b oT )(b0RT )(0yo ) (b0R ) (b ω).
( 4 ) − ( 6 ) (4)-(6)( 4 )−La derivación de la ecuación ( 6 ) es principalmente: transformación de matriz de rotación + ley asociativa, compárese con(3) (3)( 3 ) y(6) (6)( 6 )式有：
b I = ( b 0 RT ) ( 0 I ) ( b 0 R ) \begin{ecuación} {}^b\!I=({}^{\color{rojo} 0}_b\!R^{\color{rojo}T})({}^{\color{rojo}0}\!I)({}^{\color{rojo}0}_b\!R) \ fin {ecuación}bI=(b0RT )(0yo ) (b0R )
( 7 ) (7)La ecuación ( 7 ) es la fórmula de transformación de rotación del tensor de inercia.
Además,(7) (7)( 7 ) Multiplica hacia la izquierda ambos lados de la ecuación( b 0 R ) ({}^{\color{red}0}_b\!R)(b0R )，右乘( b 0 RT ) ({}^{\color{red}0}_b\!R^{\color{red}T})(b0RT )，可得：
0 I = ( b 0 R ) ( b I ) ( b 0 RT ) \begin{align} {}^0\!I=({}^{\color{red}0 }_b\!R)({}^{\color{rojo}b}I)({}^{\color{rojo}0}_b\!R^{\color{rojo}T}) \end{align }0I=(b0R ) (b yo)(b0RT )
4. Transformación de traslación del tensor de inercia.
Supongamos que una masa es mmUn cuerpo rígido de m , seleccione un punto en él para establecer un sistema de coordenadas aleatorio{ C } \{C\}{ C } , se conoce otro sistema de coordenadas{ A } \{A\}{ A } y{ C } \{C\}{ C } es una relación de traducción y{ C } \{C\} El origen de { C } está en { A } \{A\} La posición en el sistema { A } es P c P_cPAGc。
4.1 Conclusión
El cuerpo rígido está en { A } \{A\}
El tensor de inercia en el sistema { A }
se puede escribir como: A I = C I + m ( P c TP c I 3 − P c P c T ) {}^A\!I={}^C\ !I+m(P_c^TP_cI_3 - P_cP_c^T)AI=CI+metro ( PAGCtPAGcI3−PAGcPAGCt)
parteI 3 I_3I3es 3 × 3 3\times33×Matriz de identidad de 3 .
La fórmula anterior es la conclusión de "Introducción a la robótica", que es consistente con la fórmula que se proporciona en Wikipedia a continuación y puede entenderse como una generalización del teorema del eje paralelo .
4.2 Prueba
La siguiente es una introducción al teorema del eje paralelo del tensor de Wikipedia :
Para obtener una prueba más detallada, consulte este artículo sobre CNKI: Forma general de transformación compuesta de traslación y rotación del tensor de inercia y su aplicación.
Referencias
[1] Introducción a la robótica (cuarta edición del libro original) de John J. Craig, traducido por Yun Chao y Wang Chao [2
] La forma general y aplicación de la transformación compuesta de traslación y rotación del tensor de inercia
[3] Teorema del eje paralelo