Aprenda algoritmos y aplicaciones de modelado matemático [Análisis relacional gris y modelo de predicción]

Contenido principal:
concepto de predicción de un gris;
secuencia generada de dos grises;
análisis de correlación de tres grises;
ejemplos de predicción de cinco grises;
modelo GM de cuatro grises;

El concepto de previsión gris.

En 1982, el profesor Deng Julong, un académico chino, publicó el primer artículo chino "Sistema de control gris", que marcó el nacimiento del tema del sistema gris. El alcance de aplicación de la teoría del sistema gris se ha extendido a muchos campos científicos como la industria, la agricultura, la sociedad, la economía, la energía, la geología, el petróleo, etc. Ha resuelto con éxito una gran cantidad de problemas prácticos en la producción, la vida y la investigación científica. y logró resultados notables.
El ámbito de aplicación del sistema gris se puede dividir aproximadamente en los siguientes aspectos:
(1) Análisis relacional gris.
(2) Predicción gris: predicción de población, predicción de catástrofes... etc.
(3) Toma de decisiones grises.
(4) Control predictivo de grises.
La teoría del sistema gris es una nueva herramienta teórica para que las personas comprendan el sistema objetivo y transformen el sistema objetivo.

1. El concepto de predicción gris.

Sistema gris, sistema blanco y sistema negro

• Un sistema blanco se refiere a un sistema cuyas características internas son completamente conocidas, es decir, la información del sistema es completamente suficiente.
• Un sistema negro se refiere a un sistema cuya información interna es desconocida para el mundo exterior y sólo puede observarse y estudiarse a través de su conexión con el mundo exterior.
• Parte de la información del sistema gris se conoce y otra parte se desconoce.Existe una relación incierta entre varios factores del sistema.

Método de predicción gris

• El método de predicción de Gray es un método para predecir sistemas que contienen factores inciertos .
• La predicción gris consiste en predecir el sistema que contiene información conocida e información incierta, es decir, predecir el proceso gris que cambia dentro de un cierto rango y está relacionado con el tiempo .
• La predicción de Gray identifica el grado de disimilitud en las tendencias de desarrollo entre los factores del sistema, es decir, realiza análisis de correlación y genera y procesa datos originales para encontrar las reglas de los cambios del sistema, genera secuencias de datos con fuertes regularidades y luego establece los diferenciales correspondientes . para predecir la tendencia de desarrollo futuro de las cosas.
• El método de predicción gris utiliza una serie de valores cuantitativos observados a intervalos iguales que reflejan las características del objeto de predicción para construir un modelo de predicción gris para predecir la cantidad característica en un determinado momento en el futuro, o el tiempo para alcanzar un determinado cantidad característica.

Cuatro tipos comunes de pronósticos grises

• La predicción de series de tiempo grises utiliza la serie de tiempo observada que refleja las características del objeto de predicción para construir un modelo de predicción gris para predecir la cantidad de características en un momento determinado en el futuro, o el tiempo para alcanzar una determinada cantidad de características.
• Predicción de distorsión , Es decir, predecir el momento en que aparecerán valores atípicos a través del modelo gris y predecir cuándo aparecerán valores atípicos en una zona horaria específica.
• La predicción del sistema , al establecer un conjunto de modelos de predicción grises interrelacionados para indicadores de características de comportamiento del sistema, predice cambios en las relaciones de coordinación mutua entre muchas variables del sistema.
• La predicción topológica consiste en hacer una curva a partir de los datos originales, encontrar todos los puntos de tiempo en los que ocurre el valor fijo en la curva de acuerdo con el valor fijo y utilizar el valor fijo como marco para formar una secuencia de puntos de tiempo y luego construir una modelo para predecir los momentos en que ocurre el valor fijo.

2. Análisis de ventajas y correlación de grises

A menudo necesitamos realizar un análisis factorial del sistema para determinar cuáles de estos factores son primarios para el sistema, cuáles son secundarios, cuáles deben desarrollarse, cuáles deben suprimirse, cuáles son potenciales y cuáles son obvios. La clave para el análisis de sistemas es cómo correlacionar los factores y cómo cuantificar el grado de correlación.
Por ejemplo, las cuestiones demográficas constituyen un sistema. Los factores que afectan el desarrollo y los cambios demográficos incluyen aspectos sociales como la planificación familiar, la seguridad social, el estilo de vida social, etc., aspectos económicos como el ingreso nacional, el bienestar social, el seguro social, etc.; y aspectos médicos como condiciones médicas, niveles médicos, etc. En otras palabras, la población es un sistema de factores interrelacionados y mutuamente restrictivos. El análisis de estos factores ayudará a las personas a predecir el futuro de la población y controlarla.
El método básico de análisis factorial solía utilizar principalmente métodos como el análisis de regresión, pero el método de análisis de regresión tiene muchas desventajas , como la necesidad de una gran cantidad de datos, una gran cantidad de cálculos y la posibilidad de situaciones anormales . Para superar los problemas anteriores, esta sección adopta el método de análisis relacional gris para realizar el análisis del sistema.
El grado de correlación gris debe ser el grado de correlación entre el vector de análisis y el vector y entre la matriz y la matriz. Dado que se calcula el grado de correlación, se debe calcular el grado de correlación entre una determinada secuencia que se va a comparar y el objeto de referencia (secuencia de referencia).

correlación gris

analisis de CASO

Hay un error en la imagen de arriba. La fórmula anterior se obtiene en base a la fórmula 1.
ζ1(1) se obtiene de los primeros datos de la primera muestra y ζ1(2) se obtiene de los segundos datos de la primera muestra.

3. Secuencia generada en gris

La teoría del sistema gris cree que aunque la apariencia objetiva es compleja, siempre tiene una función general y por tanto debe contener alguna ley interna. El sistema gris busca la ley del cambio clasificando los datos originales, que es una forma de buscar las leyes realistas de los datos, que es la generación de secuencias grises. Todas las secuencias grises pueden debilitar su aleatoriedad y mostrar su regularidad a través de algún tipo de generación. Los métodos comunes de generación de datos incluyen la generación acumulativa , la generación de resta acumulativa y la generación acumulativa ponderada .

Generación acumulada

Generación de resta acumulativa

Generación de vecinos ponderada

Ejemplo de cálculo de generación de acumulación

Generalmente, la secuencia económica es una secuencia no negativa. La generación de acumulación puede convertir cualquier secuencia no negativa, oscilante y no oscilante, en no decreciente o creciente. Descubriendo así patrones.

Ejemplo de cálculo de generación de acumulación

4. Modelo gris GM(1,1)

La teoría del sistema gris define derivadas grises y ecuaciones diferenciales grises basadas en conceptos como espacio de correlación y funciones discretas suaves , y luego utiliza secuencias de datos discretas para establecer un modelo dinámico en forma de ecuaciones diferenciales , es decir, el modelo gris utiliza números aleatorios discretos. para ser generado y convertido en aleatoriedad para ser mostrado. Al debilitar y generar números con mayor regularidad, se establece un modelo en forma de ecuación diferencial, que facilita el estudio y descripción de su proceso de cambio. G representa gris (gris),
M representa modelo (modelo).



Dividir B a la izquierda también puede significar encontrar B. El pseudoinverso de B no requiere que B sea invertible.
La siguiente es la prueba de la fórmula anterior.

Pasos de predicción gris de GM (1,1)

1. Inspección y procesamiento de datos

Al realizar modelos matemáticos, la prueba de relación de clasificación detecta si los datos se pueden procesar con predicción gris.

2. Establecer el modelo GM (1, 1)

3. Probar los valores previstos

Ejemplo de cálculo de predicción de grises

Caso: El impacto de la epidemia de SARS en determinados indicadores económicos

Análisis del modelo y supuestos.

• Según los datos estadísticos históricos disponibles, se puede observar que en circunstancias normales, el promedio anual refleja mejor el patrón de cambio de los indicadores relevantes, por lo que la evaluación del pronóstico se puede dividir en dos partes.
• Utilice la teoría de grises para establecer un modelo de ecuación diferencial de grises y predecir el promedio de 2003 a partir del promedio de 1997 a 2002.
• Al calcular la relación entre el valor del indicador mensual y el valor anual total a través de datos históricos, podemos predecir el valor del indicador mensual en 2003 en circunstancias normales y luego compararlo con el valor real para estimar el impacto real de la epidemia de SARS.
• Se dan los dos supuestos siguientes:
  (1) Se supone que los datos estadísticos de la ciudad son confiables y precisos;
  (2) Se supone que durante y después de la epidemia de SARS en la ciudad, los cambios en los datos solo están relacionados con el impacto de la epidemia de SARS, independientemente de La influencia de otros factores aleatorios

Establecer el modelo de predicción gris GM(1,1)

Resolviendo el modelo

código

han1=[83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9
101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5
92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3
105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9
139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7
137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9
163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5];
han1(end,:)=[];%相当于han1=han1(1:6,:)，即把最后一行空出来;
m=size(han1,2);%把月份提取出来，12个月
x0=mean(han1,2);%返回x矩阵每行的平均值，其中的2代表返回行
x1=cumsum(x0);%一次累加
alpha=0.4;
n=length(x0);%长度，数据的维度，n=6
z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%q求邻域生成数
Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];
ab=B\Y%求出a,b。此处B\,为求B的伪逆
k=6;
x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))%预测结果
z=m*x7hat%12乘均值得到一整年的预测结果
u=sum(han1)/sum(sum(han1))
%sum(han1)为对han1的列求和得到的是行向量，sum(行向量)直接对行向量求和。此式子结果表示预测的每个月所占一年的总量的比例
v=z*u%结果是每个月的预测值

Resultados de la operación




Según el informe estadístico de la ciudad, las ventas minoristas reales de productos básicos en abril, mayo y junio de 2003 fueron de 14,52, 12,4 y 14,41 mil millones de yuanes respectivamente. Anteriormente, según estimaciones del departamento de estadística, la epidemia de SARS tuvo el impacto más grave en la industria minorista de la ciudad en los tres meses de abril, mayo y junio, con pérdidas estimadas en alrededor de 6.200 millones de yuanes en esos tres meses. Calculada a partir de los resultados de predicción de nuestro modelo, la pérdida en los tres meses de abril, mayo y junio fue de 6.030 millones de yuanes. Estos datos son básicamente consistentes con la estimación del experto. Básicamente volvió a la normalidad en agosto, lo que también ilustra la exactitud y fiabilidad del modelo. El sexo
es una de las industrias más gravemente afectadas en la industria del turismo. En los peores cuatro meses de abril, mayo, junio y julio, más de 1 millón de personas se perdieron. Según las últimas estadísticas, el consumo promedio por persona es de 1.002 dólares EE.UU., lo que representa aproximadamente 1.000 millones de dólares en pérdidas. Aproximadamente 1,6 millones de personas perdieron la vida a lo largo del año, lo que equivale aproximadamente a 1.600 millones de dólares estadounidenses. Para finales de año, la situación básicamente volverá a la normalidad. Algunas industrias de servicios integrales tendrán un
mayor impacto, como el transporte aéreo. , hoteles y catering, etc., pero algunas industrias tendrán poco impacto, como las telecomunicaciones, etc. En promedio, el impacto no es demasiado grande. Se perdieron alrededor de 7 mil millones de yuanes en los cuatro meses de mayo, junio, julio y Agosto. Se puede ver en los resultados del pronóstico que, aunque no hubo epidemia en la segunda mitad del año, la gente estaba preocupada de que el SARS regresara, por lo que todavía tiene un cierto impacto en estas industrias, es decir, la continuidad del impacto del SARS. Aunque este modelo se establece para evaluar y predecir los patrones de desarrollo de ciertos indicadores económicos, también es aplicable a algunos patrones de datos en otros aspectos. El problema de predicción de evaluación de, es decir, el modelo tiene un amplia gama de aplicaciones.