Полноволновой фильтр

1. Вывод целоволнового фильтра.
2. Дисперсия случайного сигнала на выходе линейной динамической системы.

Полноволновые фильтры — это класс фильтров, которые могут интегрировать статически неопределимые случайные сигналы с произвольной спектральной плотностью. Его входной сигнал часто представляет собой белый шум .

1. Вывод целоволнового фильтра.

Из примечаний по статистической динамике (2) Спектральная плотность и динамическая точность линейной стохастической системы (для самосохранения) мы можем узнать выходные данные системы $х$ импортироватьПлотность перекрестного спектра между $u$
$S_x (\omega) = W(j \omega) W(-j \ омега) S_u (\omega) \tag{1}$ Когда входной сигнал представляет собой белый шум, $S_u (\omega) = S_n (\omega) = 1$ ,则
$S_x (\omega) = W(j \omega) W(-j \omega) \tag{2}$ Таким образом, пока выходной терминал $Спектральная плотность x$ разлагается на двесопряженныепередаточную функциюсистемы. Этот шаг также известен какразложение спектральной плотности.

Пример: Спектральная плотность на выходе равна
$S_x (\omega) = \frac{4}{ 4\ omega^2 + 1} = \frac{2}{2 j \omega +1} \cdot \frac{2}{2 (- j\omega) + 1 }$ Тогда передаточная функция системы равна
$\omega) = \frac{2}{2 j \omega +1}$ 即
$W({\rm s}) = \frac{2}{2 {\rm s} +1}$

2. Дисперсия случайного сигнала на выходе линейной динамической системы.

Формула определения дисперсии приведена в формуле (5) статьи Статистическая динамика. Примечания (2) Спектральная плотность и динамическая точность линейной стохастической системы (для самоудержания) :
$D_x = R_x (0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_x (\omega) {\rm d} \omega$ 代入式(1)
$D_x = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) {\rm d} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \big\lvert W(j \omega) \big\rvert^2 S_u ( \omega) {\rm d} \omega \tag{3}$ Метод расчета по формуле (3) имеет следующий набор фиксированных методов, называемый « $I_n$ – Интеграл法»:
$I_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ \big\lvert G(j \omega ) \big\rvert^2 }{ \big\lvert H_n(j \omega) \big\rvert^2 } {\rm d} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty } ^\infty \frac{ G_n (j \omega) }{ H_n(j \omega) H_n(-j \omega) } {\rm d} \omega \tag{4}$ где
$G_n (j \omega) = b_0 (j \omega)^{2n-2} + b_1 (j \omega)^{2n- 4} + \cdots + b_{n-1}, \\ H_n (j \omega) = a_0 (j \omega)^{n} + a_1 (j \omega)^{n-1} + \cdots + a_n \член{5}$ К формуле (4)(5) имеются следующие моменты:
(1) Если порядок знаменателя интегральной формулы равен $n$ , то в реальной системе порядок числителя не будет превышать $2 н - 2$ .
(2) Целый знаменатель $H_n(j \omega) H_n(-j \omega)$ — это $\omega$ Четная функция $ω .$
(3) Целая молекула $G_n(j \omega)$ содержит только $j\omega$ Чётныестепени $jω$ . Если есть нечетная степень, ее можно сразу игнорировать, поскольку после интегрирования нечетная степень будет равна нулю. $H_n(j \omega)$
в знаменателе интегральной формулы $ЧАС (jω)$ должно быть стабильным.

Тогда для $I_n$ – Интеграл, который рассчитывается следующим образом:
$I_n = (-1) ^{n+1} \frac{N_n}{2a_0 D_n} \ тег{6}$ 其中
$D_n = \begin {vmatrix} a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & \cdots & 0 \\ a_5 & a_4 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} \tag{7},$ $N_n = \begin {vmatrix} b_0 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & a_2 & a_1 & \cdots & 0 \\ b_2 & a_4 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} \tag{8}$ $Н_н$ Просто поставь $Д_н$ Первый столбец заменяется на $b_i$ 。

Пример: пусть передаточная функция системы равна
$W({\rm s}) = \frac{K}{T {\rm s} +1}$ Спектральная плотность входного сигнала равна
$S_u (\omega) = \frac{D_u}{\alpha^2 + \omega^2}$ Вычислите среднеквадратическую ошибку системы.
Сначала получим передаточную функцию систематической ошибки:
$\Phi_e ({\rm s}) = \frac{1}{ 1 + W( {\rm s})} = \frac{T{\rm s} +1}{T{\rm s} + 1 + K}$ Определение (1) Укажите свободнотекущую функцию
$\begin{aligned} S_e (\omega) &= \left| \Phi_e(j \omega) \right|^2 S_u(\omega) = \left| \frac{T(j\omega) +1}{T(j\omega) + 1 + K} \right|^2 \frac{D_u}{\alpha^2 + \omega^2} \\ &= \ frac{D_u \left( T^2 \omega^2 + 1\right) }{ \left| \left( T( j\left) + 1 + K \right) \left( j\left + \alpha \right) \right|^2 } \\ &= \frac{D_u \left( T^2 \left ^2 + 1 \вправо) }{ \влево| T(j\omega)^2 + \left( \alpha T + 1 + K \right) j\omega + (1 + K) \alpha \right|^2 } \end{aligned}$ Среднеквадратическая ошибка равна (аналогично Примечаниям по статистической динамике (2) Спектральная плотность и динамическая точность линейных стохастических систем (для самоудержания) - уравнение (5)):
$\overline{e^2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_e (\omega) {\rm d} \omega = Д_у И_2$ Тогда
$I_2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\left( T^2 \omega^2 + 1 \right) {\rm d} \omega}{ \left| T(j\omega)^2 + \left( \alpha T + 1 +K \right) j\omega + (1 + K) \alpha \right|^2 }$ Мы можем видеть
$G_2 (j\omega) = \underbrace{T^2}_{b_0} \omega^2 + \underbrace{1 }_ {b_1},$ $H_2 (j\omega) = \ underbrace {T}_{a_0} (j\omega)^2 + \underbrace{\left( \alpha T + 1 +K \right)}_{a_1} j\omega + \underbrace{(1 + K) \alpha }_{a_2}$ уравнение
$\begin {vmatrix} a_1 & a_0 \\ a_3 & a_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha T + 1 +K & T \\ 0 & (1 + K) \alpha \end{vmatrix } = \alpha \left(\alpha T + 1 + K \right) (1 + K),$ $N_2 = \begin{vmatrix} b_0 & a_0 \\ b_1 & a_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} T^2 & T \\ 1 & (1 + K) \alpha \end{vmatrix} = \alpha T^2 (1 + K) - T$ 故
$I_2 знак равно ( -1) ^{2+1} \frac{N_2}{2a_0 D_2} = - \frac{ \alpha T^2 (1 + K) - T }{2 T \alpha \left( \alpha T + 1 + К \ вправо) (1 + К) }$ 则
$\overline{e^2} = D_u I_2 = \frac{ D_u \left[ T - \alpha T^2 (1 + K) \ right] }{2 T \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K) } = \frac{ D_u \left[ 1 - \alpha T (1 + K) \right] } 2 \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K) }$ Инвариантное уравнение
$\ sqrt {\ overline {e ^ 2}} = \ sqrt { \ frac {D_u\left[1-\alphaT(1+K)\right] }{2\alpha\left(\alphaT+1+K\right)(1+K)} }$

Примечания по статистической динамике (3) Фильтр всей волны (для личного использования)

Полноволновой фильтр

1. Вывод целоволнового фильтра.

2. Дисперсия случайного сигнала на выходе линейной динамической системы.

Supongo que te gusta