Distancia de punto a línea en el espacio 3D
Distancia de punto a línea en el espacio 3D
Curvatura del espacio 3D
El espacio tridimensional tiene tres elementos básicos, punto, línea y superficie. Entonces, ¿cómo se define la curvatura?
¿La curvatura del punto?
¿Curvatura de la línea?
curvatura de la superficie?
curvatura normal
Sea el vector tangente de la curva sobre la superficie en un cierto punto df(X), y el vector normal de la superficie en este punto sea N. Entonces la curvatura normal de la curva es la curvatura de la curva de proyección de la curva en el plano formado por df(X) y N.
Tome un punto E en la superficie, la normal de la superficie en el punto E es el eje z, puede haber una cantidad infinita de planos de corte que pasan por el eje z, cada plano de corte interseca la superficie curva y la línea de intersección es una plano curva, cada plano La curva tiene un radio de curvatura en el punto E. Los radios de curvatura de las curvas planas en diferentes planos de corte en el punto E generalmente no son iguales.
curvatura principal
Cada dirección de la superficie tiene una curvatura normal, por lo que hay una curvatura normal máxima y mínima.Los valores máximo y mínimo son la curvatura principal, y la dirección tangente de la curva correspondiente en este punto es la dirección de la curvatura principal. Estas dos direcciones son perpendiculares.
Las superficies se pueden clasificar según sus curvaturas principales.
curvatura gaussiana
En geometría diferencial, la curvatura gaussiana en un punto de una superficie es el producto de las curvaturas principales κ1 y κ2 en ese punto.
K = k 1 ∗ k 2 K = k_1*k_2k=k1∗k2
**Es una medida intrínseca de la curvatura, que mide cuán inherentemente curvada es una superficie. ** Es decir, su valor depende solo de cómo se miden las distancias en la superficie, no de cómo se incrusta la superficie en el espacio. Cualquier transformación sin estiramiento de una superficie no cambiará su curvatura gaussiana. Por ejemplo, si la curvatura gaussiana de un plano es 0, si se dobla en un cilindro, su curvatura gaussiana seguirá siendo 0.
Fórmula de cálculo de curvatura gaussiana de cuadrícula 3D:
K ( v ) = 1 UN ( v ) ( 2 π − ∑ vi ∈ norte 1 ( v ) θ yo ) K(v) = \frac{1}{A(v)}(2\pi - \sum_{v_i \in{N_1}(v)}\theta_i)K ( v )=un ( v )1( 2p _−vyo∈ norte1( v )∑iyo)
El significado geométrico de esta fórmula es relativamente intuitivo.2*Pi-la suma de los ángulos correspondientes a los triángulos en la vecindad del punto, y luego dividida por el área del área correspondiente, describe el grado de curvatura del superficie en el punto.
curvatura media
En geometría diferencial, la curvatura promedio de un punto sobre una superficie es el promedio de las curvaturas principales κ1 y κ2 en ese punto.
K = k 1 + k 2 2 K=\frac{k_1 + k_2}{2}k=2k1+k2
Mide cuán curvada es una superficie en el espacio. Por ejemplo, después de que un plano se dobla en un cilindro, su curvatura promedio ya no es cero.
curvatura gaussiana
¿Cómo explicar la curvatura de manera concisa? Cálculo y visualización de
curvatura normal, curvatura principal, curvatura gaussiana y curvatura media Curvatura gaussiana de superficies de malla triangular