Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда
Теорема 1 (ограниченная теорема) ∣ f ( x ) ∣ ≤ M ( M > 0 ) \lvert f(x) \rvert\leq M \ \ (M>0)∣ ж ( Икс )∣≤М ( М >0 )
Теорема 2 (Теорема о наибольшем значении) m ≤ f ( x ) ≤ M m \leq f(x) \leq Mм≤ж ( х )≤M , где m и M — минимальное и максимальное значения f(x) на [a, b] соответственно
Теорема 3 (теорема о промежуточном значении), когда m ≤ µ ≤ M, ∃ ξ ϵ [ a , b ] , так что f ( ξ ) = µ m \leq \mu \leq M\text{When,} \exists \xi \ эпсилон{[a,b]}\text{ такое, что}f(\xi)=\muм≤м≤Когда M , ∃ ξ ϵ [ a ,b ] такое, что f ( ξ )"="м
Теорема 4 (Теорема о нулевой точке). Когда f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0, ∃ ξ ϵ ( a , b ), что делает f ( ξ ) = 0 f (a) \ cdot f (b) <0 \ text {Когда}\существует \xi\epsilon(a,b)\text{, что делает}f(\xi)=0ф ( а )⋅ж ( б )<0 , ∃ ξ ϵ ( а ,б ) , такие что f ( ξ )"="0
Теорема 5 (теорема Ферма)
Пусть f(x) удовлетворяет условию в точке x 0 { (1) можно вывести, а (2) принимает экстремальное значение, тогда f ′ ( x 0 ) = 0 \text{Пусть f(x) удовлетворяет условию в точке }x_0\text { } \begin{cases} \text{(1) можно вывести, }\\ \text{(2) принимает экстремальное значение,} \end{cases}\text{then}f'(x_0)=0Пусть f(x) удовлетворяет условию x0в точку{ (1) можно ориентироваться,(2) Возьмем экстремальное значение ,тогда ф′ (х0)"="0
Теорема 6 (теорема Ролла)
Предположим, что f(x) удовлетворяет { (1) непрерывному на [a, b], (2) (a, b) внутренне дифференцируемому, (3) f(a) = f(b), тогда ∃ ξ ϵ ( a , b ) , так что f ′ ( ξ ) = 0 \text{Установите f(x) для удовлетворения}\begin{cases} \text{(1) Непрерывно на [a, b],} \\ \text{(2 ) (a, b) внутренне выводима,} \\ \text{(3)f(a) = f(b),} \end{cases}\text{тогда,}\exists\xi\epsilon(a, б ),\текст{делает}f'(\xi)=0Пусть f(x) удовлетворяет⎩ ⎨ ⎧(1) Непрерывный на [a, b] ,(2) (а, б) внутренне производные,(3)f(a) = f(b)，Тогда ∃ ξ ϵ ( a ,б ) ,делает ф′ (ξ)"="0
Теорема 7 (теорема Лагранжа о среднем значении)
Предположим, что f(x) непрерывна на { (1)[a, b], (2)(a, b) внутренне выводима, тогда ∃ ξ ϵ ( a , b ) , так что \text{set f(x ) удовлетворяющие }\begin{cases} \text{(1) непрерывным на [a, b], } \\ \text{(2) (a, b) внутренне выводным, } \end{cases}\text{тогда, }\существует\xi\epsilon(a,b) \text{такое, что}Пусть f(x) удовлетворяет{
(1) Непрерывный на [a, b] ,(2) (а, б) внутренне выводимая ,Тогда ∃ ξ ϵ ( a ,б ) ，
ж ( б ) - ж ( а ) = ж ′ ( ξ ) ( б - а ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(ba)ж ( б )−ф ( а )"="ф′ (ξ)(б−а )
или написано как
ж ′ ( ξ ) знак равно ж ( б ) - ж ( а ) б - а е '(\ xi) = \ frac {f (b) -f (a)} {ba}ф′ (ξ)"="б−аж ( б )−ф ( а )
Теорема 8 (теорема Коши о среднем значении)
Предположим, что f ( x ) удовлетворяет { (1) непрерывному на [a, b], (2) (a, b) внутренне дифференцируемому, (3) g ′ ( x ) ≠ 0 , тогда ∃ ξ ϵ ( a , b ) , делая ж ( б ) - ж ( а ) г ( б ) - г ( а ) знак равно ж ′ ( ξ ) г ′ ( ξ ) , \text{Set}f(x)\text{удовлетворить}\begin{ случаи } \text{(1) непрерывный на [a, b], } \\ \text{(2) (a, b) внутренне выводимый,} \\ \text{(3)}g'(x)\ ne0, \end{cases}\text{тогда}\exists\xi\epsilon(a,b),\text{делает} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g (a )}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.Пусть f ( x ) удовлетворяет⎩ ⎨ ⎧(1) Непрерывный на [a, b] ,(2) (а, б) внутренне производные,(3) г′ (х)"="0 ,Тогда ∃ ξ ϵ ( a ,б ) ,делатьг ( б )−г ( а )ж ( б )−ф ( а )"="г′ (ξ)ф′ (ξ).
Теорема 9 (формула Тейлора)
(1) формула Тейлора n-го порядка с остатком Лагранжа
Пусть f(x) находится в точке x 0 x_0Икс0Существует n+1 производных порядка в поле , тогда
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 для любой точки x в этом поле ! f ′ ′ ( Икс 0 ) ( Икс - Икс 0 ) 2 + ⋯ + 1 п ! ж ( п ) ( Икс 0 ) ( Икс - Икс 0 ) п + ж ( п + 1 ) ( ξ ) ( п + 1 ) ! ( Икс − x 0 ) n + 1 , \begin{array}{l} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!} f''( x_0)(x-x_0)^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \\ +\frac{f ^{(n +1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\text{ ,} \end{массив}ж ( х )"="ж ( х0)+ф′ (х0) ( х−Икс0)+2 !1ф" (х0) ( х−Икс0)2+⋯+н !1ф( п ) (х0) ( х−Икс0)н+( п + 1 )!ф( п + 1 ) (ξ)( х−Икс0)п + 1 ,
где ξ находится между x , x 0\text{где}\xi\text{между}x,x_0\text{между}где ξ находится между x ,Икс0между
(2) формула Тейлора n-го порядка с остатком Пеано
Пусть f(x) находится в точке x 0 x_0Икс0выводится в n-м порядке, то существует x 0 x_0Икс0Поле , для любой точки в этом поле,
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! ) 2 + ⋯ + 1 п ! ж ( п ) ( Икс 0 ) ( Икс - Икс 0 ) п + о ( ( Икс - Икс 0 ) п ) . \begin {массив} {l} е (х) = е ( x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+\frac{1}{n!} f^ {(n)}(x_0)(x-x_0)^n \\ \\ +o((x-x_0)^n).\end{массив}ж ( х )"="ж ( х0)+ф′ (х0) ( х−Икс0)+2 !1ф" (х0) ( х−Икс0)2+⋯+н !1ф( п ) (х0) ( х−Икс0)н+ о (( х−Икс0)н ).
Теорема 10 (теорема о производном нуле)
Пусть f(x) выводима на [a,b], когда f + ′(a) ⋅ f−′(b) < 0, ∃ ξ ϵ(a, b), что делает f′(ξ) = 0, когда f '_+(a)\cdot f'_-(b)< 0 \text{,}\exists \xi\epsilon(a,b)\text{, что делает}f'(\xi)=0ф+′( а )⋅ф−′( б )<0 , ∃ ξ ϵ ( а , б ) такой, что f′ (ξ)"="0
Теорема 11 (теорема о производных промежуточных значениях)
Пусть f(x) выводима на [a,b], если f + ′ (a) ≠ f − ′ (b), то ∀ µ лежит между f + ′ (a) и f − ′ (b), ∃ ξ ϵ ( a , b ) , что делает f ′ ( ξ ) = μ f'_+(a)\ne f'_-(b)\text{, затем}\forall \mu\text{между} между f'_ +(a)\text{и}f'_-(b)\text{,} \exists \xi\epsilon(a,b)\text{, что делает}f'(\xi)= \muф+′( а )"="ф−′( b ) , то ∀ µ находится между f+′( а ) и е−′( б ) , ∃ ξ ϵ ( а ,б ) такой, что f′ (ξ)"="м
Формула Маклафлина ( x 0 = 0 x_0 = 0Икс0"="0 часов)
ж ( Икс ) знак равно ж ( 0 ) + ж ′ ( 0 ) Икс + ж ′ ′ ( 0 ) 2 ! Икс 2 + ⋯ + ж ( п ) ( 0 ) п ! хп + ж ( п + 1 ) ( ξ ) ( п + 1 ) ! Икс + 1 ж ( Икс ) знак равно ж ( 0 ) + ж ′ ( 0 ) Икс + ж ′ ′ ( 0 ) 2 ! Икс 2 + ⋯ + ж ( п ) ( 0 ) п ! xn + o ( xn ) f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n )}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\\ f(x )=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n! } х ^ п + о (х ^ п)ж ( х )"="ж ( 0 )+ф′ (0)х+2 !ф« (0)Икс2+⋯+н !ф( п ) (0)Иксн+( н+1 )!ф( п + 1 ) (ξ)Иксп + 1ж ( х )"="ж ( 0 )+ф′ (0)х+2 !ф« (0)Икс2+⋯+н !ф( п ) (0)Иксн+о ( хн )
Несколько важных формул функционального расширения
{1}{n!}u^n+o(u^n)еты"="1+ты+21ты2+⋯+н !1тын+о ( вп )
сину знак равно ты - ты 3 3 ! + ⋯ + ( - 1 ) ну 2 п + 1 ( 2 п + 1 ) ! + o ( u 2 n + 1 ) sinu=u-\frac{u^3}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{u^{2n+1}}{(2n+1) !}+о(и^{2n+1})в нем _"="ты−3 !ты3+⋯+( − 1 )н( 2 н+1 )!ты2 п + 1+о ( в2 п + 1 )
cosu знак равно ты - ты 2 2 ! + ты 4 4 ! + ⋯ + ( - 1 ) ну 2 п ( 2 п ) ! + o ( u 2 n ) cosu=u-\frac{u^2}{2!}+\frac{u^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{u^{2n }}{(2n)!}+o(u^{2n})потому что ты"="ты−2 !ты2+4 !ты4+⋯+( − 1 )н( 2н ) !ты2 н+о ( в2 n )
1 1 - u знак равно 1 + u + u 2 + ⋯ + un + o ( un ) \ frac {1} {1-u} = 1 + u + u ^ 2 + \ cdots + u ^ n + o (и ^ п)1−ты1"="1+ты+ты2+⋯+тын+о ( вп )
1 1 + ты знак равно 1 - ты + ты 2 - ⋯ + ( - 1 ) nun + о ( un ) \ frac {1} {1 + u} = 1-u + u ^ 2- \ cdots + (- 1 ) ^ ню ^ п + о (и ^ п)1+ты1"="1−ты+ты2−⋯+( − 1 )н тын+о ( вп )
пер ( 1 + ты ) знак равно ты - ты 2 2 + ты 3 3 - ⋯ + ( - 1 ) nun + 1 ( п + 1 ) + о ( ип + 1 ) пер (1 + и) = и- \ frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots+(-1)^n\frac{u^{n+1}}{(n+1)}+o( и^{п+1})л п ( 1+ты )"="ты−2ты2+3ты3−⋯+( − 1 )н( н+1 )тып + 1+о ( вп + 1 )
( 1 + ты ) α знак равно 1 + α ты + α ( α - 1 ) 2 ! ты 2 + ⋯ + α ( α - 1 ) ⋯ ( α - п + 1 ) п ! ип + о ( ип ) (1 + и) ^ \ альфа = 1+ \ альфа и + \ гидроразрыва {\ альфа (\ альфа-1)} {2!} и ^ 2+ \ cdots + \ гидроразрыва {\ альфа (\ альфа -1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}u^n+o(u^n)( 1+ты )а"="1+ой+2 !а ( а−1 )ты2+⋯+н !а ( а−1 )⋯( а−н+1 )тын+о ( вн )