【Concurso Nacional de Matemáticas de Pregrado en Modelado de la Copa Huashu 2023】Un análisis de problemas y un artículo completo sobre el control de optimización estructural de materiales de aislamiento térmico

【Concurso Nacional de Matemáticas de Pregrado en Modelado de la Copa Huashu 2023】Un análisis de problemas y un artículo completo sobre el control de optimización estructural de materiales de aislamiento térmico

1 tema

Investigación sobre Control Estructural Óptimo de Materiales de Aislamiento Térmico para el Problema A

El nuevo material de aislamiento térmico A tiene excelentes propiedades de aislamiento térmico y se usa ampliamente en campos de alta tecnología como la industria aeroespacial, militar, petroquímica, construcción y transporte.

En la actualidad, la conductividad térmica de un tejido tejido a partir de una sola fibra de material de aislamiento térmico A se puede medir directamente; sin embargo, la conductividad térmica de una sola fibra de material de aislamiento térmico A (que se puede suponer que es un valor constante en el ambiente experimental de esta pregunta), porque su diámetro es demasiado pequeño y su relación de aspecto (relación de longitud a diámetro) es demasiado grande para medirse directamente. La conductividad térmica de una sola fibra es la base de la conductividad térmica de los tejidos, y también es la base para establecer varios modelos de conductividad térmica de tejidos basados ​​en fibras. Establecer un modelo de mecanismo de transferencia de calor entre la conductividad térmica de un solo material de aislamiento térmico Una fibra y la conductividad térmica general de la tela se ha convertido en un foco de investigación. Este modelo no solo puede obtener la conductividad térmica de una sola fibra del material de aislamiento térmico A, y resolver el problema técnico actual de que no se puede medir la conductividad térmica de una sola fibra del material de aislamiento térmico A; Sobre la base del modelo relacional de la eficiencia, controlar la estructura de tejido de la tela y optimizar el diseño para producir telas con excelentes propiedades de aislamiento térmico que satisfagan mejor las necesidades de campos de alta tecnología como la industria aeroespacial, militar, petroquímica, construcción y transporte.

El tejido es una estructura de red formada por el apilamiento y entretejido de una gran cantidad de fibras individuales.Este tema solo estudia el tejido de ligamento tafetán, como se muestra en la Figura 1 y la Figura 2. Las telas hechas de fibras con diferentes diámetros tienen diferentes parámetros estructurales básicos, es decir, el ángulo de flexión de la fibra, el grosor de la tela, la densidad de urdimbre, la densidad de trama, etc., que afectan la conductividad térmica de la tela. En esta pregunta, suponga que la sección vertical de cualquier fibra A es circular y que cada fibra en la tela es siempre un cilindro curvo. Ángulo de flexión de urdimbre y trama 10° < $\theta$ ≤ 26.565°。

La conductividad térmica es uno de los indicadores más importantes de las propiedades físicas de fibras y tejidos. Hay espacios entre las fibras de la tela, y el aire en los espacios es aire estático, y la conductividad térmica del aire estático es 0.0296 W/(mK). Al calcular la conductividad térmica de los tejidos, no se puede ignorar tanto la transferencia de calor entre las fibras como la transferencia de calor del aire en los huecos.

Figura 1. Diagrama esquemático de la sección de tela de ligamento tafetán

Figura 2. Imagen tridimensional de un tejido de ligamento tafetán

En un entorno de laboratorio de 25 ℃, la tela se calienta y se mide con el dispositivo Hotdisk. La potencia constante del Hotdisk es de 1 mW y el tiempo de acción es de 1 s. El flujo de calor se transfiere al otro lado de la tela a 0,1 s. Los datos medidos experimentalmente sobre el cambio de temperatura de la tela en el lado de la fuente de calor entre 0 y 0,1 s con el tiempo se muestran en el Apéndice 1, a continuación.

Apéndice 1 Datos de variación de temperatura con el tiempo

momento(s)	temperatura (°C)
0	25.000
0.02	25.575
0.04	25.693
0.06	25.807
0.08	25.896
0.10	25.971

Parámetros de la muestra experimental:

El diámetro de una sola fibra A es d=0,6 mm, el grosor de la tela es h=2d y la densidad de urdimbre es $r_{}=60hilos/10cm$ , la densidad de la trama esρ w = 80 hilos/10 cm \rho_w =80 hilos/$10\; cm$$r_{}=80hilos/10cm$ , ángulo de flexión de la urdimbreθ s = 19,8 grados\theta_s = 19,8$grados$$i_{}=\mathrm{19,8}grados$ , ángulo de flexión de la trama$i_{}=\mathrm{25,64}grados$ , el calor específico general de la tela es de$\mathrm{0,05}MJ/m\_{}^{3}K$, la difusividad térmica general del tejido es$\mathrm{0,663}m{m}^2/s$.

Construya un modelo matemático y responda las siguientes preguntas:

Pregunta 1 : Suponiendo que la temperatura en el Anexo 1 es la temperatura de la superficie de la tela en el lado de la fuente de calor, y considerando solo la transferencia de calor de las fibras y el gas en el espacio, establezca un modelo matemático de la relación entre la conductividad térmica general de tejidos de ligamento tafetán y la conductividad térmica de una sola fibra. Bajo las condiciones de los parámetros de la muestra experimental en el Apéndice 2, la conductividad térmica general de la tela de ligamento tafetán que se muestra en la Figura 2 se mide en 0.033 W/(mK). Calcule la conductividad térmica de una sola fibra A de acuerdo con lo establecido. modelo matemático.

Pregunta 2 : Suposiciones: 1) El diámetro de cualquier fibra A individual hecha de tela es de 0,3 ~ 0,6. 2) Los datos del cambio de temperatura de la superficie con el tiempo de la tela en el lado de la fuente de calor aún se refieren a la Tabla 1. 3) Los cambios en la densidad general y el calor específico de la tela debido a la temperatura y la estructura de la tela pueden ignorarse . ¿Puedo preguntar cómo elegir el diámetro de la fibra A simple y ajustar la densidad de urdimbre, la densidad de trama y el ángulo de flexión de la tela para que la conductividad térmica general de la tela sea la más baja?

Pregunta 3 : Si la temperatura en el Anexo 1 es en realidad la temperatura del aire en la superficie de la tela en el lado de la fuente de calor, entonces la transferencia de calor por convección ocurrirá en este lado, asumiendo que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie de la tela es 50 W/(m2K), responda de nuevo la pregunta 1 y la pregunta dos.

2 Análisis de problemas

2.1 Pregunta 1

Este problema es para resolver la conductividad térmica de una sola fibra. Primero, para el mecanismo general de transferencia de calor de la tela de ligamento tafetán, considerando las dos partes de transferencia de calor de fibra y transferencia de calor de gas en el vacío, la conductividad térmica de una sola fibra se puede resolver estableciendo un modelo de relación entre la conductividad térmica macroscópica del tejido y la conductividad térmica de la fibra. En segundo lugar, la forma de la fibra es cilíndrica, y el campo de flujo, la distribución del campo de temperatura dentro de la fibra y la resistencia térmica de la transferencia de calor entre la superficie de la fibra y el medio de aire se obtienen a partir de la ecuación de Stokes y la ecuación de energía, y luego la Se obtiene la conductividad térmica de una sola fibra Conductividad. Finalmente, la conductividad térmica de la tela como un todo se puede calcular a partir de los datos experimentales y la ecuación de conducción de calor, y los resultados se pueden usar para deducir la conductividad térmica de las fibras individuales.

Los modelos matemáticos a utilizar son:

1. Ecuación de Stokes y ecuación de la energía.

2. Ecuación de conducción de calor y condiciones de contorno en un sistema de coordenadas cilíndricas.

3. Análisis de ajuste de modelo de mínimos cuadrados no lineales.

4. El problema de conducción de calor unidimensional de la conductividad térmica general de la tela se resuelve a partir de la ecuación de conducción de calor y los datos experimentales.

2.2 Pregunta 2

Esta pregunta es para analizar cómo elegir el diámetro de una sola fibra A y cómo ajustar la densidad de urdimbre, la densidad de trama y el ángulo de flexión de la tela para que la conductividad térmica general de la tela sea la más baja. Primero, es necesario comprender el proceso de transferencia de calor de la tela. La conducción de calor de las telas generalmente se puede considerar como la realización de la transferencia de calor entre las fibras. Por tanto, es necesario considerar la influencia de la conductividad térmica de la fibra sobre la conductividad térmica global del tejido. En segundo lugar, el diámetro tiene un efecto sobre la conductividad térmica de la fibra. En general, cuanto mayor sea el diámetro, menor será la capacidad de conducir el calor entre las fibras, lo que dará como resultado una conductividad térmica general más baja. Por el contrario, cuanto menor es el diámetro, mejor es la conductividad térmica entre las fibras, lo que da como resultado un aumento de la conductividad térmica general. Además, la densidad de urdimbre, la densidad de trama y el ángulo de flexión también afectan la conductividad térmica general de la tela. Al ajustar la densidad de urdimbre, la densidad de trama y el ángulo de flexión, se puede cambiar el área de contacto y la longitud de contacto entre las fibras, lo que afecta el efecto de la conducción de calor.

Los modelos matemáticos a utilizar son:

1. El modelo de conducción de calor se utiliza para describir el proceso de conducción de calor entre fibras. Un ejemplo es la ecuación de conducción de calor (ley de conducción de calor de Fourier), que tiene en cuenta parámetros como el diámetro y la conductividad térmica de las fibras.
2. Se simplifican los efectos de los cambios en la densidad y el calor específico sobre la transferencia de calor.
3. Finalmente, se utiliza el método de diferencias finitas o elementos finitos para resolver el modelo de conducción de calor, y finalmente se obtiene la conductividad térmica global del tejido.

2.3 Pregunta 3

Considerando la transferencia de calor por convección, la temperatura de la superficie del tejido ya no es simplemente la suma de la resistencia térmica de la fibra y el aire, sino que también considera el efecto de la transferencia de calor por convección. En este momento, se puede establecer el modelo de relación entre la conductividad térmica general del tejido, la conductividad térmica de la fibra y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie del tejido. Primero, la ecuación de mecánica de fluidos y la ecuación de conducción de calor pueden obtener la temperatura superficial y la distribución del campo de flujo y el campo de temperatura. En segundo lugar, la temperatura superficial obtenida se suma a la resistencia térmica de la fibra, la resistencia térmica del medio de aire y el coeficiente de transferencia de calor por convección para obtener la resistencia térmica general de la tela, y luego se calcula la conductividad térmica general. Finalmente, la conductividad térmica de una sola fibra se deduce utilizando la conductividad térmica general obtenida del experimento y parámetros conocidos como telas y fibras.

2.4 Pregunta 4

Considerando la transferencia de calor por convección del aire en la superficie del lado de la fuente de calor, es necesario redefinir el modelo de conducción de calor del tejido y considerar la influencia de la transferencia de calor por convección a través de un modelo matemático. En este momento, la conducción de calor de la tela tiene principalmente dos partes: la conducción de calor entre las fibras y la transferencia de calor por convección del aire en la superficie de la tela. Dado que la influencia de varios factores en la conductividad térmica general está involucrada en el problema 2, se puede utilizar la optimización de funciones multivariante para encontrar la solución óptima. Si se establece el modelo de optimización de función multivariable, la conductividad térmica general del tejido se utiliza como función objetivo y luego se encuentra la solución óptima ajustando el diámetro, la densidad de urdimbre, la densidad de trama y el ángulo de flexión de una sola fibra A. En la función objetivo, la conducción de calor del tejido se puede describir mediante la ecuación de conducción de calor, mientras que la transferencia de calor por convección se puede describir mediante la ley de enfriamiento de Newton, donde el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 50 W/(m2K).

3 Introducción al artículo

Título: Investigación sobre control de optimización estructural de materiales de aislamiento térmico

Palabras clave: control de optimización de estructura de material de aislamiento de calor de convección de conducción de calor

Resumen:

Este documento estudia principalmente la conducción del calor de los tejidos planos. Al optimizar varios parámetros del tejido, se obtienen tejidos con mayor capacidad de aislamiento térmico. Los tejidos con gran capacidad de aislamiento térmico se utilizan ampliamente en la industria aeroespacial. Al mismo tiempo, las telas con una fuerte capacidad de aislamiento térmico también tienen una conductividad eléctrica relativamente débil, que se puede usar en varios aspectos, como ropa aislante, guantes aislantes, etc., y tiene una alta aplicabilidad.

Para el problema 1: usamos la ecuación de conducción de calor de Fourier para establecer un modelo matemático, simplificar la fibra única cilíndrica en una columna cuadrada con el mismo volumen y combinar la conductividad térmica del aire medida y la conductividad térmica general de la tela a través de la resistencia térmica Se obtuvo que la conductividad térmica de una sola fibra era de 0,03627 W/(mK).

Para el problema 2: la conductividad térmica de una sola fibra obtenida del problema 1, luego optimizamos el diámetro, la densidad de urdimbre, la densidad de trama y el ángulo de flexión del modelo, podemos obtener la solución óptima como el diámetro de fibra más densamente tejido. es de 0,3752 mm, y se obtiene el tejido con las mejores prestaciones de aislamiento térmico.

Para el problema 3: Dado que la convección tiene una gran influencia en la transferencia de calor, es necesario que agreguemos la convección a nuestro modelo. Al establecer un nuevo modelo, encontramos que la conductividad térmica de una sola fibra es 0.0245 W/(mK), al mismo tiempo podemos optimizar los parámetros de la fibra, podemos conseguir los parámetros del tejido con el mejor coeficiente de aislamiento térmico. La introducción de la convección hace que el modelo de transferencia de calor de la tela sea más perfecto y se pueden calcular parámetros de la tela más precisos, lo que juega un papel más importante en la optimización de los parámetros de la tela.

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