Método analítico de la característica del caos en un sistema no lineal: método de análisis de diagrama de fase/diagrama de bifurcación

Método analítico de las características caóticas del método de análisis del diagrama de fases del sistema no lineal/diagrama de bifurcación

Los mapas caóticos se utilizan para generar secuencias caóticas, que son secuencias aleatorias producidas por sistemas deterministas simples. Una secuencia caótica general tiene las siguientes características principales:

1. no lineal;
2. Dependencia sensible del valor inicial;
3. ergodicidad;
4. aleatoriedad;
5. atractor extraño (atractor caótico);
6. mantenimiento de puntuación;
7. Estabilidad general e inestabilidad parcial;
8. imprevisibilidad a largo plazo;
9. Inestabilidad y bifurcación de la órbita;
10. Universalidad y constante de Feigenbaum.

Debido a la complejidad de las características dinámicas de los sistemas no lineales, cómo juzgar el comportamiento caótico en los sistemas no lineales siempre ha sido un tema importante en la investigación del caos. En general, los métodos para juzgar las características caóticas del sistema incluyen el método de análisis de trayectoria de fase (diagrama de fase), método de análisis de espectro de potencia automática, método de índice de característica de Lyapunov, método de análisis de dimensión fractal, método de muestreo por división de frecuencia, método de pseudo espacio de fase, método de sección de Poincaré. , método de prueba 0-1 y método de medición de complejidad, etc.

​ Generalmente hay dos tipos de sistemas no lineales, sistemas caóticos discretos y sistemas caóticos continuos. El método para dibujar diagramas de fase es principalmente resolviendo soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales. Comúnmente se usan el método simple de Euler, el método de Runge-Kutta, etc.

análisis de diagrama de fase

El método de análisis del diagrama de fase es un método de observación directa , y las características de movimiento alternativo no periódico del movimiento caótico se pueden expresar mediante el método geométrico del diagrama de plano de fase. El movimiento periódico repite el movimiento anterior cada dos ciclos, y la curva de trayectoria de fase de su movimiento es una curva cerrada. El movimiento caótico es un movimiento no periódico, por lo que la curva de trayectoria de fase del movimiento caótico es una curva que nunca se cierra, y el tipo de movimiento alternativo se refleja en el hecho de que la curva de trayectoria de fase está limitada a un área limitada y no divergen hasta el infinito, ni tampoco convergen en un punto estable, formando así un atractor extraño . Por lo tanto, si se simula el sistema no lineal y se dibuja el diagrama de fase del sistema, el comportamiento dinámico del sistema no lineal se puede determinar preliminarmente de manera intuitiva, incluidos los ciclos límite, el movimiento periódico y el movimiento caótico. La desventaja del diagrama de fase-órbita es que cuando el período del movimiento periódico es muy largo, es difícil distinguir con precisión el movimiento periódico del movimiento caótico solo con base en el diagrama del plano de fase.

​ El atractor caótico tiene una estructura compleja de estiramiento, plegamiento y estiramiento, que mantiene el sistema exponencialmente divergente en un espacio limitado, que es el resultado del efecto combinado de la estabilidad general y la inestabilidad local del sistema dinámico. Debido a la estabilidad general, todos los movimientos de las nubes fuera del atractor están cerca del atractor y la órbita de movimiento converge hacia el atractor, mientras que la inestabilidad local hace que todas las órbitas de movimiento que llegan al interior del atractor se repelan entre sí. algunas direcciones y convertirse en un factor inestable. Las pequeñas perturbaciones son estables para el atractor caótico y eventualmente llegarán al atractor. Sin embargo, dentro del atractor caótico, el estado de movimiento del sistema es muy sensible a las condiciones iniciales, es decir, hay una ligera diferencia en la posición de entrada del atractor caótico, a medida que pasa el tiempo, esta diferencia aumentará exponencialmente, y finalmente conducen a órbitas caóticas completamente diferentes . El atractor caótico tiene propiedad fractal, que es un conjunto fractal; el atractor caótico tiene una estructura autosimilar infinitamente anidada; el atractor caótico tiene dimensión fractal, que es una extensión del concepto de dimensión en el conocido espacio dimensional entero.

análisis del diagrama de bifurcación

​Cuando los parámetros del sistema cambian, la proyección del mapa de Poincaré en un cierto eje de coordenadas puede constituir un diagrama de bifurcación cuando los parámetros cambian . Para los parámetros fijos del sistema, un punto de señal o varios puntos de señal iguales al número del período del sistema en el diagrama de bifurcación pueden representar el estado estable del período del sistema. Sin embargo, los innumerables puntos dibujados en el gráfico del caos indican que hay innumerables puntos de señales periódicas que nunca caen en la misma posición cuando ocurre el caos. Por lo tanto, en el diagrama de bifurcación, las características del rendimiento del sistema que cambian con los parámetros del sistema pueden representarse claramente.

Caso de sistema caótico discreto

1. mapa lineal por partes

   1.1 Mapeo de carpas

   xn + 1 = { axn , 0 ≤ xn < 0.5 a ( 1 − xn ) , 0.5 ≤ xn < 1 μ ∈ ( 0 , 2 ] x_{n+1}= \begin{casos} ax_n, 0\le\ x_n \ < \ 0.5\ \\ a(1-x_n),0.5\le\ x_n \ <\ 1\ \\ \mu \in(0,2] \end{casos}Xn + 1=⎩ ⎨ ⎧una xn,0≤ Xn < 0.5 un ( 1−Xn) ,0.5≤ Xn < 1 metro∈( 0 ,2 ]

   clc;
   clear all;
   close all;
   axis([0,1,0,1]);
   %% 初始值
   x0=0.1;t=800;M=850;
   r=0:0.01:1;
   [m,n]=size(r);
   hold on
   for i=1:n
       if x0<0.5
           x(1)=2*r(i)*x0;
       end
       if x0>=0.5
           x(1)=2*r(i)*(1-x0);
       end
   for j =2:M
        if x(j-1)<0.5
           x(j)=2*r(i)*x(j-1);
        end
       if x(j-1)>=0.5
           x(j)=2*r(i)*(1-x(j-1));
       end
   end
   xn{
         
         i}=x;
   %%pause(0.1);
   plot(r(i),xn{
         
         i},'b.','Markersize',2);
   xlabel('r');ylabel('x(i)');
   end
   
   

   %% Tent
   y_2=zeros(1,10^5);
   y_2(1)= 0.152;   
   Beta = 0.4;
   for i = 1 : 10^5-1   
          if (y_2(i)<=Beta && y_2(i)>0)
             y_2(i+1) = y_2(i)/Beta;
          else 
             y_2(i+1)=(1-y_2(i))/(1-Beta);
          end    
   end
   figure
   h2=histogram(y_2,200);
   h2.FaceColor=[0 0 1];
   xlim([0,1])%设置x轴范围
   xlabel('Tent map')
   

   

   

   1.2 Mapeo de Bernoulli

   clc;clear all;close all
   axis([0,1,0,1]);
   x0=0.1;t=800;M=850;
   r=0:0.01:1;
   [m,n]=size(r);
   hold on
   for i=1:n
       if x0<0.5
           x(1)=2*r(i)*x0;
       end
       if x0>=0.5
           x(1)=2*r(i)*(x0-1)+1;
       end
   for j =2:M
        if x(j-1)<0.5
           x(j)=2*r(i)*x(j-1);
        end
       if x(j-1)>=0.5
           x(j)=2*r(i)*(x(j-1)-1)+1;
       end
   end
   xn{
         
         i}=x;
   %%pause(0.1);
   plot(r(i),xn{
         
         i},'b.','Markersize',2);
   xlabel('r');ylabel('x(i)');
   end
   

   

   
   $$X_{n+}=\{\begin{array}{l}una{x}_{},0\le X_{}<0.5\\ un(x_{}-1)+1,0.5\le X_{}<\end{array}$$

   1.3 Mapeo parabólico (logística)
   $$\begin{gathered} X_{n+}=\mu x_{}(1-X_{}) \\ metro\in (0,4) \\ {X}_{}\in (0,1) \end{gathered}$$

​

figure(1);
axis([2.7, 4, 0, 1]);
grid
hold on %保持屏幕不动,持续打点
for r = 2.7:0.005:3.9
    x = 0.1;
    for i =2:200
        x(i) = r *x(i-1) *(1-x(i-1));
    end
    pause(0.1)%暂停函数
    for i=151:200
        plot(r,x(i),'k.');
    end
end
title('Logistic映射分岔图');

2. Mapeo alternativo discreto bidimensional

​ 2.1 Mapeo de Henon
$$\{\begin{array}{l}{X}_{n+}=1-una{x}_{norte}^{}+y_{}\\ y_{n+}=b{x}_{}\end{array}$$

$$\begin{gathered} 1.07\le a\le 1.4,b=0.3 \\ {X}_{}\in (-1.5,1.5) \end{gathered}$$

​ Cuando a está dentro de este rango, el sistema está en un estado caótico. Cuando a=1.4, la complejidad del sistema es mayor. Generalmente, a=1.4 y b=0.3 se toman en la investigación del caos.

clc;
clear all;
a=1.4;
b=0.3;
x(1)=0.5;
y(1)=0.5;
for i=2:1000
    x(i)=1-a*x(i-1)^2+y(i-1);
    y(i)=b*x(i-1);
end
figure(1)
plot(x,y,'.');
title('Henon映射')

clc;
clear all;
figure(1);
axis([0, 1.5, -1, 1]);
grid
hold on
b=0.3;
for a = 0:0.01:1.5
    x(1)=0.5;
    y(1)=0.5;
    for i =2:200
        x(i)=1-a*x(i-1)^2+y(i-1);
        y(i)=b*x(i-1);
    end
    pause(0.1)
    for i=10:200
        plot(a,y(i),'k.');
    end
end
xlabel('a');
ylabel('yn');
title('Henon分岔');

2.2 Mapa cuadrado generalizado bidimensional

​ El comportamiento dinámico está determinado por cuatro parámetros de control, r, a, b1, b2 Si el parámetro fijo a=10, los parámetros seleccionados están en el siguiente rango r ∈ [ − 1 , 1 ] b 1 = b 2 =
$$\begin{gathered} r\in [-1,1] \\ {b}_{}=b_{}=b\in [-1,1] \end{gathered}$$

$$\{\begin{array}{l}{X}_{n+}=b_{}[ex{p}^{-un{x}_{norte}^{}}-X_{norte}^{}]+ry{\_}_{}\\ y_{n+}=b_{}[ex{p}^{-un{y}_{norte}^{}}-y_{norte}^{}]+r{x}_{}\end{array}$$