Fundamentos Matemáticos de la Inteligencia Artificial--Probabilidad y Estadística 15: Variables/Vectores Aleatorios Multidimensionales

1. Definición de variable aleatoria multidimensional

Generalmente, sea X=(X1,X2,···,X,) un vector n-dimensional , y cada uno de sus componentes, es decir, X1,···,Xn es una variable aleatoria unidimensional, entonces X se dice que es un vector aleatorio n dimensional o una variable aleatoria n-dimensional .

Al igual que las variables aleatorias, los vectores aleatorios también se pueden dividir en tipos discretos y continuos.

2. Vector aleatorio multidimensional discreto

Un vector aleatorio X=(X1,···,Xn), si cada componente Xi es una variable aleatoria discreta unidimensional, entonces X se llama discreta.

2.1 Probabilidad de vectores aleatorios multidimensionales discretos

Definición 2.1
$$con{un}_{yo},a_{yo},\cdot \cdot \cdot recuerda{X}_{}Todos\; los\; valores\; posibles\; dei(=1,2,\cdot \cdot \cdot ),\; luego\; eventoX1=a_{1j_{}},X2\_=a_{2j_{}},\cdot \cdot \cdot ,Xnorte=a_{n{j}_{}}La\; probabilidad\; de\; se\; denomina\; vector\; aleatorio,$$
se registra como:

X=(X1,···,Xn) función de probabilidad o distribución de probabilidad, la función de probabilidad debe cumplir las condiciones:

2.2, distribución multinomial

La distribución multinomial es la distribución multidimensional discreta más importante, que a menudo se encuentra en la práctica.Por ejemplo, cuando una población se divide en varias categorías según los atributos, se trata de una distribución multinomial.

2.2.1 Definición

Sean A1, A2, ..., An un grupo de eventos completo bajo cierto experimento, es decir, los eventos A1, ..., An son mutuamente excluyentes, y su suma es un evento inevitable (eventos A1, · ··, Un debe ocurrir uno y sólo uno). Tome P1, P2, ···, Pn respectivamente para registrar la probabilidad de los eventos A1, A2, ···, An, luego pi≥0, P1+···+pn=1.
Ahora el experimento se repite N veces de forma independiente, y Xi registra el número de ocurrencias del evento Ai en estos N experimentos (i=1,...,n), entonces X=(X1,...,Xn) es un n vector aleatorio dimensional. Su rango de valores es: X1, ..., Xn son todos enteros no negativos, y su suma es N. La distribución de probabilidad de X se llama distribución multinomial , a veces denotada como M(N; P1,...,Pn) .

2.2.2 Método de cálculo

Para determinar esta distribución, para calcular la probabilidad del evento B=(X1=k1,···,Xi=Ki,···,Xn=Kn}, basta con considerar que Ki es un número entero no negativo y K1+· ··+Kn =N, en caso contrario P(B)=0.

Para calcular P(B), comience con los resultados sin procesar j1,j2,···,jN de N pruebas, que representan la ocurrencia del primer evento de prueba Aj1, la ocurrencia de la segunda prueba Aj2, y así sucesivamente. Para que ocurra el evento B, debe haber k1 de 1s, k2 de 2s en j1, j2, . . . , jN, y así sucesivamente. El número de tales secuencias es igual a dividir N objetos diferentes en n pilas, y cada pila tiene k1, k2, ..., kn piezas de diferentes divisiones a su vez. Hay N!/(k1!···kn!) clases de divisiones. En segundo lugar, debido a la independencia, utilizando el teorema de la multiplicación de probabilidades, la probabilidad de ocurrencia de cada secuencia de resultados original j1j2···jn que cumpla con las condiciones anteriores debe ser p 1 k 1 ${pag}_1^k{pag}_2^{k2\_}\cdot \cdot \cdot {pag}_{norte}^{}$. Entonces obtenemos:

la fórmula anterior es la función de probabilidad de distribución multinomial, y su nombre es expansión multinomial:

$S^{\ast }indica\; que\; el\; rango\; de\; la\; sumatoria\; es:k_{}es\; un\; entero\; no\; negativo,k1+\cdot \cdot \cdot +kn=n.\_$ _
En la fórmula anterior, sea xi=pi y use p1+···+pn=1, obtenga:

3. Variable aleatoria multidimensional continua

3.1 Definición

Supongamos que X=(X1,···,Xn) es un vector aleatorio n-dimensional, y su valor puede considerarse como un espacio euclidiano n-dimensional $R^{}$Un punto en${}^n$$R^{Una\; región\; en\; n}$ se denominavariable aleatoria multidimensional.

Como una variable continua unidimensional, la forma más conveniente de describir la distribución de probabilidad de un vector aleatorio multidimensional es usar una función de densidad de probabilidad. Para ello, introducimos una notación: X∈A, léase "X pertenece a A" o "X cae dentro de A", donde A es $R^{El\; conjunto\; en\; n}$ : {XE∈A} es un evento aleatorio, ya que después de hacer el experimento se conoce el valor de X, por lo que también se puede saber si cae en A.

3.2 Funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias multidimensionales

Definición Si f(x1,···,xn) está definida en $R^{}$función no negativa en${}^n$$R^{}$Para cualquier conjunto A en${}^n$

, existe: Entonces se dice que f es la función de densidad (de probabilidad) de X.
Si A se toma como el espacio completo$R^n$ , entonces {X∈A} es un evento inevitable con una probabilidad de 1. Entonces debería haber

Esta es también una condición que la función de densidad de probabilidad debe satisfacer.

3.3 Distribución uniforme

Vector aleatorio bidimensional X=(X1,X2), su función de densidad de probabilidad es:

Entonces f no es negativa y satisface la fórmula (2.6).

La gráfica correspondiente a esta función es la siguiente:

Todas las probabilidades están distribuidas uniformemente en el rectángulo correspondiente, es decir, P(X∈A) es proporcional al área de A, por lo que la distribución de X se llama distribución uniforme en el rectángulo de la figura .

3.6 Distribución normal bidimensional

La distribución continua multidimensional más importante es la distribución normal multidimensional.La función de densidad de probabilidad de la distribución normal bidimensional

en el caso bidimensional es la siguiente: Aquí, por conveniencia, se introduce el símbolo exp, y su significado es: exp (c) = ${mi}^{do}$ . La función de densidad de probabilidad anterior contiene 5 constantes a, b,${pag}_1^{}pag{\_}_2^{}$, ρ, son los parámetros de la distribución normal bidimensional, y sus rangos de valores posibles son:
a, b∈(-∞, +∞), ${pag}_{}>0、{pag}_{}>0$，ρ∈（-1,1）

La distribución normal bidimensional a menudo se registra como N(a, b, ${pag}_1^{}pag{\_}_2^{}$, ρ) , su función gráfica en el espacio tridimensional es como una campana de sección elíptica invertida en el plano Ox1x2, y su centro está en el punto (a, b).

puede probar N(a，b，${pag}_1^{}pag{\_}_2^{}$, **ρ)** satisface los requisitos de la fórmula (2.6), por lo que esta es una función de densidad de probabilidad.

3.7 Puntos a tener en cuenta sobre las variables aleatorias continuas

1. Ya sea que se trate de una variable aleatoria continua unidimensional o multidimensional, la esencia de la definición es que debe haber una función de densidad de probabilidad (ya que unidimensional es una variable) que satisfaga la fórmula (2.6);
2. No se requiere si la función de densidad de probabilidad es continua en un intervalo o área;
3. Cada componente de un vector aleatorio continuo es una variable aleatoria, pero no es necesariamente un vector aleatorio si cada componente es una variable aleatoria;
4. La función de distribución de probabilidad se puede utilizar para describir la distribución de probabilidad de vectores aleatorios multidimensionales, que se define como: F(x1,x2,…,xn)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<xn), pero en el caso de Next multidimensional, la función de distribución rara vez se usa.

3.8 Distribución marginal

Sea X=(X1,...,Xn) un vector aleatorio n-dimensional, X tiene una cierta distribución F, que es una distribución n-dimensional, porque cada componente Xi de X es una variable aleatoria unidimensional, entonces tienen su propia distribución Fi(i=1,···,n), estas son distribuciones unidimensionales, llamadas distribución marginal distribución marginal . La distribución marginal está completamente determinada por la distribución original F.

3.8.1 Distribución marginal de vectores aleatorios discretos

Tomando como ejemplo la primera componente, la fórmula para calcular la densidad de probabilidad de la distribución marginal de vectores aleatorios discretos es:

Se puede probar que para la distribución multinomial M(N;p1,...,pn), la distribución marginal correspondiente distribución es la distribución binomial B (N,pi).

3.8.2 Distribución marginal de vectores aleatorios continuos

Supongamos que el vector aleatorio X=(X1,...,Xn) tiene una función de densidad de probabilidad f(x1,...,xn), la función de densidad de probabilidad de la distribución marginal de su componente Xi es fijar xi, y el n-1 variables restantes de la función f Haga una integral definida entre -∞ y +∞, como bajo la función de densidad de x1:

De esta manera, se puede demostrar que la distribución marginal de la distribución normal bidimensional es una distribución normal unidimensional.

Cuatro Resumen

Este documento presenta el concepto de vectores aleatorios multidimensionales, la definición de su función de densidad de probabilidad y la definición de distribución marginal, y brinda ejemplos de distribuciones típicas de vectores aleatorios multidimensionales, como la distribución multinomial, la distribución uniforme y la distribución normal. Los vectores aleatorios multidimensionales también se dividen en dos tipos: discretos y continuos. La distribución marginal es una distribución común, pero uno o más componentes se consideran variables, y el resto de los componentes son distribuciones obtenidas por integración global. Por lo tanto, la distribución marginal puede ser Puede ser unidimensional o multidimensional.
En correspondencia con la distribución marginal, el vector aleatorio multidimensional también se denomina distribución conjunta .

La distribución F de cualquier vector aleatorio puede determinar la distribución marginal Fi de uno de sus componentes, pero aún conocer la distribución marginal Fi de todos los componentes no es suficiente para determinar la distribución F del vector aleatorio . Por ejemplo, si el parámetro ρ de dos distribuciones normales estándar es diferente, las dos se consideran respectivamente como la distribución marginal del vector aleatorio bidimensional y los vectores aleatorios correspondientes son distribuciones diferentes. Esto se debe a que la distribución marginal solo considera el caso de un solo componente y no considera su relación.

Para obtener más fundamentos matemáticos de inteligencia artificial, consulte la columna " [Fundamentos matemáticos de inteligencia artificial] Unidimensional (https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10382948.html)".

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