Aplicaciones del cálculo en el mundo real
El cálculo tiene tantas aplicaciones en la vida real que sería tan poco práctico enumerar todas las aplicaciones del cálculo como enumerar todas las cosas del mundo que requieren el uso de un destornillador.
En un nivel computacional simple, las aplicaciones del cálculo incluyen encontrar la longitud de las curvas, el área de las superficies y formas complejas, el volumen, los valores máximos y mínimos de los objetos y el centro de masa.
Combinado con las leyes de la mecánica, el cálculo nos dice cómo encontrar las trayectorias de los cohetes en el espacio, las tensiones en las rocas en las zonas de subducción donde pueden ocurrir los terremotos, cómo vibrarán los edificios durante los terremotos, cómo los automóviles rebotan hacia arriba y hacia abajo en las suspensiones, el tiempo que tardan las infecciones bacterianas en propagarse, la forma en que sanan las heridas quirúrgicas y las fuerzas en los puentes colgantes con vientos fuertes.
Muchas de estas aplicaciones parten de la idea central de las leyes de Newton: son modelos de la naturaleza expresados en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones involucran derivadas de funciones desconocidas y requieren habilidades derivadas del cálculo para resolverlas.
Como un destornillador, el cálculo es solo una herramienta esencial en el conjunto de herramientas de ingenieros y científicos. En términos de contribuciones al mundo moderno, ninguna técnica matemática puede igualar al cálculo.
Importancia de la diferenciación y la integración
El cálculo es una combinación de diferenciación e integración.
El cálculo del área y el volumen de las figuras aprendidas en la escuela primaria está realmente conectado con el mundo integral. Los puntos no son el "Cheng Yaojin" que de repente apareció a mitad de camino en los libros de texto de la escuela secundaria. El estudio del contenido relevante en la educación primaria ya se ha calentado por completo para ingresar al mundo de los puntos.
En cuanto al diferencial, la mayoría de la gente no se siente muy familiarizada con él. Cuando se trata de diferencial, mencionará "pendiente tangente", "velocidad instantánea" y "aceleración". Es difícil entender estos contenidos. No podemos ver estas cosas directamente con nuestros ojos, y es difícil captarlas intuitivamente.
Históricamente, la integración es anterior a la diferenciación.
El origen del método integral es "medir el tamaño de un gráfico". Los métodos de cálculo de la longitud, el área y el volumen de las figuras en la antigüedad se transmitieron de boca en boca, se moderaron con la sabiduría de generaciones y luego se desarrollaron en el método integral actual. Explore la historia del nacimiento del método integral, que se remonta a alrededor de 1800 a. En la era de Arquímedes en el año 200 a.C. apareció un “método exhaustivo” muy similar al actual método integral en el cálculo del área de la figura encerrada por una parábola y una recta.
La historia de los puntos es realmente larga. En el siglo XII, Bhaskar II de India propuso el método "predecesor" del método integral. En el siglo XVII, Newton combinó métodos diferenciales e integrales, tratando de deducir la ley del movimiento de los cuerpos celestes a partir de la teoría de la gravitación universal.
En resumen, hay al menos un intervalo de 1300 años desde la aparición de la integral hasta el nacimiento de la diferencial. La razón por la que las integrales aparecieron antes es que los seres humanos necesitan captar esas cosas visibles, como calcular el área y el volumen de los objetos. La informática gráfica en la educación primaria suele ser solo para gráficos bien formados, como rectángulos y círculos. Sin embargo, en realidad, este conocimiento es a menudo difícil de aplicar directamente.
Hablando de eso, ¿por qué necesitamos calcular puntos? La importancia del método integral radica en la medición de longitud, área y volumen. Me da vergüenza decirlo, se puede decir que las herramientas en nuestras manos que pueden calcular fácilmente el área y el volumen son muy pobres. Esto se debe a que las sustancias que existen en el mundo real no son todas las formas regulares aprendidas en la escuela. En cambio, esas formas regulares son posiblemente excepciones o casos idealizados. Por lo tanto, para los humanos, es muy necesario medir el tamaño de varios gráficos complejos en la realidad.
Las clases de economía doméstica en las escuelas primarias japonesas enseñan cómo cocinar platos simples como fideos udon y cubos de patata. La razón por la que estos se enseñan en las escuelas es porque estos son los métodos básicos en la cocina. De hecho, cuando cocinamos solos, solemos comprar fideos udon terminados en la tienda, y apenas cocinamos cubos de patata con frecuencia. Sin embargo, si domina estos métodos básicos de cocción, puede cocinar platos más complejos. Por ejemplo, los métodos de cocción de los fideos udon se pueden aplicar al pan, la pizza o la pasta, y los métodos aprendidos con los cubos de papa se pueden extender a la ensalada de papa o los buñuelos.
Si el conocimiento de los rectángulos y los círculos aprendidos en las escuelas primarias y secundarias se compara con los fideos udon y los cubos de patata, entonces el cálculo es equivalente a platos aplicados como el pan y la ensalada de patata. Gracias al método de integración, los humanos pueden calcular el área y el volumen de varias figuras. El uso de integrales, sin importar cuán extrañas sean, se puede calcular con esfuerzo, lo cual es una gran mejora. Aplicar el pensamiento a la práctica y usar la propia fuerza para deducir el área y el volumen es la diversión de la integración y el verdadero significado del aprendizaje de la integración.
En los libros de texto de secundaria japoneses, el contenido diferencial se antepone al integral. Probablemente debido al diseño de este curso, la mayoría de los estudiantes que no son buenos en cálculo se sienten frustrados con el cálculo diferencial. Los estudiantes que son buenos en la diferenciación difícilmente aprenderán integralmente mal. La diferenciación es más difícil de visualizar que la integral. En el capítulo de integración aparecen el área de un círculo, el área y volumen de una esfera, un cono y un esferoide, todos ellos de fácil percepción y comprensión. Por el contrario, la diferenciación no es muy fácil de entender. Decir por qué el diferencial es difícil de entender es porque el diferencial es una "razón".
Si la integración es suma, la diferenciación es división. La escuela primaria aprende primero la suma, luego la resta, la multiplicación y finalmente la división. La razón de aprender las operaciones en este orden es que la dificultad aumentará. Es relativamente difícil entender la división intuitivamente. Aunque el "mundo de la división" como "ratio" no es fácil de entender, es un "arma mágica" muy útil a la hora de "capturar cambios".
Cultiva la forma de pensar del cálculo
Para la mayoría de los estudiantes, el cálculo es quizás el curso más confuso y frustrante que tomarán. Para los estudiantes universitarios de ciencias e ingeniería, el estudio del cálculo será parte de la mayoría de sus cursos profesionales. Establece nuestra comprensión de las leyes cambiantes de las variables y juega un papel importante en la resolución de problemas prácticos. Domine el cálculo y tendrá las herramientas para comprender y describir muchos temas especializados. El cálculo es la base de muchas matemáticas avanzadas. Si no tienes una buena base en cálculo, te resultará difícil estudiar cursos como cálculo multivariado y análisis vectorial.
Vale la pena cultivar la forma de pensar del cálculo y puede mejorar nuestra capacidad de pensamiento lógico. El cálculo hace hincapié en dividir el proceso de cambio de las variables en innumerables segmentos pequeños y captar la tendencia de cambio general mediante el estudio de la ley de cambio de cada segmento pequeño. Esta forma de pensar es tan valiosa que puede aplicarse no solo a problemas matemáticos, sino que, de hecho, cuando analizamos y resolvemos muchos problemas complejos, podemos recurrir a esta forma de pensar meticulosa y completa. En la clase de cálculo, a menudo hay procesos como la introducción de conceptos y la derivación de fórmulas. Esto nos obliga a abandonar el pensamiento empírico existente y solo sacar conclusiones a través de un pensamiento lógico riguroso. A la larga, puede ejercitar nuestra capacidad de pensamiento lógico. Este es también el valor más fundamental del aprendizaje de las matemáticas.
Dominar el cálculo también nos ayuda a comprender muchos fenómenos naturales. Por ejemplo, usamos la derivada y la integral en cálculo para describir la relación entre velocidad y desplazamiento, aceleración y velocidad. La esencia de muchos fenómenos físicos se esconde detrás de estas relaciones matemáticas. Aprender cálculo puede ayudarnos a desarrollar la capacidad de comprender estos fenómenos con precisión.
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