tema:
Dado un grafo bipartito completo con n1 y n2 vértices a la izquierda y a la derecha respectivamente, encuentre el número de su generación.
Suplemento de conocimiento 1: definición completa de gráfico bipartito
Para un gráfico completo (V, E), divide su vértice V en dos conjuntos A, B. Toma cualquier arista e en el conjunto de aristas E, si uno de sus dos vértices está en el conjunto A y el otro en el conjunto B, entonces el grafo completo es un grafo bipartito completo.
Suplemento de conocimiento 2: un método de prueba común para un gráfico bipartito completo: método de coloración
Para probar que un gráfico es bipartito, generalmente se usa el coloreado. Es decir, atraviese cada borde (A, B) del gráfico bipartito:
① Suponga que A tiene color, si B no tiene color: si A es negro, entonces tiñe B de blanco. Si A es blanco, el color B es negro.
②Suponga que A tiene color y B tiene color: si A color = B color, no es un gráfico bipartito. (No es posible dividir los dos puntos de este borde en dos conjuntos blanco y negro)
Complemento de conocimiento 3: secuencia de prufer
Un método para contar árboles de expansión de gráficos completos, que puede hacer corresponder los árboles de expansión de gráficos completos a una secuencia de prufer uno por uno. Luego, la cantidad de árboles de expansión se puede obtener a partir de la cantidad de permutaciones de la secuencia y la relación de mapeo. (específicamente no presentado en este momento)
La conclusión de la secuencia de prufer que la ontología necesita usar:
①Árbol sin raíz de gráfico no dirigido de n nodos , la longitud de secuencia correspondiente es n-2
②Cuando eliminamos el nodo hoja del gráfico, sus nodos vecinos se agregarán a la secuencia de prufer.
Solución a esta pregunta:
1. Se sabe que la longitud de la secuencia de prufer del árbol de expansión del gráfico completo de n puntos es n-2, y deben quedar dos puntos después de completar la construcción de la secuencia, y estos dos puntos forman un borde.
2. Para el gráfico bipartito, los dos últimos puntos restantes deben ser un punto negro y un punto blanco. Suponemos que el conjunto de puntos negros es A (el conjunto de nodos de la izquierda, el tamaño es n1), y el conjunto de puntos blancos es B (el conjunto de nodos de la derecha, el tamaño es n2)
3. Para un grafo bipartito que ha sido teñido de blanco y negro, ahora resolvemos una secuencia de prufer: de acuerdo con el principio de construcción de secuencias de prufer, eliminaremos un nodo hoja en cada paso y agregaremos sus nodos vecinos al mismo tiempo :
① Si el nodo borrado actualmente es un nodo negro, se escribirá un nodo blanco en la secuencia prufer.
②Si el nodo eliminado actualmente es un nodo blanco, se escribirá un nodo negro en la secuencia de prufer.
Cuando se completa la construcción de la secuencia de prufer:
Se eliminará un total de n1-1 nodos negros, por lo que habrá n1-1 nodos blancos en la secuencia de prufer.
De manera similar, se debe eliminar un total de n2-1 nodos blancos, por lo que habrá n2-1 nodos negros en la secuencia de prufer.
Entonces habrá n1-1 nodos blancos en la secuencia de prufer. n2-1 nodos negros.
Revisar la definición del tamaño de la colección
" El conjunto de puntos negros es A (el conjunto de nodos de la izquierda, de tamaño n1), y el conjunto de puntos blancos es B (el conjunto de nodos de la derecha, de tamaño n2) "
Por lo tanto, las posibles combinaciones de cuentas para la secuencia de prufer son:
①Seleccione n1-1 nodos blancos:
②Seleccione n2-1 nodos negros:
El principio de la multiplicación, en total: *
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