El autor Alvin Toffler explicó el significado del título en su famoso libro "Future Shock": "La presión destructiva que cada uno de nosotros experimenta en un período de tiempo muy corto debido a un cambio dramático y una gran confusión " .
En el siglo XIX, matemáticos, científicos y filósofos experimentaron tales conmociones. De hecho, durante casi un milenio, se hizo añicos la creencia de que las matemáticas ofrecían verdades inmutables. Este torbellino inesperado en el pensamiento fue provocado por una nueva rama de la geometría conocida hoy como geometría no euclidiana . Si no es un profesional, es posible que no haya oído hablar de la geometría no euclidiana. Pero en el campo de la investigación científica, el significado revolucionario de esta nueva rama de las matemáticas se considera comparable a la teoría de la evolución iniciada por Darwin.
Para comprender completamente el enorme impacto y el profundo impacto de esta rama de las matemáticas en la cosmovisión humana, es necesario que revisemos brevemente su trasfondo histórico matemático.
01
La "Verdad" de Euclides
Antes del siglo XIX, si había un tema de conocimiento que se presentaba como el ejemplo perfecto de "verdad" y "certeza", era la geometría euclidiana, la tradicional que todos aprendíamos en la escuela secundaria: la geometría clásica.
El famoso filósofo judío-holandés Baruch Spinoza (Baruch Spinoza, 1632-1677) nombró a su extremadamente audaz conclusión de investigación de tratar de unificar la ciencia, la religión, la ética y el razonamiento como "método geométrico". La ética de la prueba" (este es también el título de su libro).
Es más, aunque existe una clara distinción entre el mundo matemáticamente ideal propuesto por los platónicos y la realidad física, la mayoría de los científicos todavía consideran los objetos de la geometría euclidiana como sus contrapartes del mundo físico real, extraídos y abstraídos de los objetos.
Incluso el empirista más acérrimo, David Hume (1711-1776), quien insistió en que los fundamentos de la ciencia eran mucho menos seguros de lo que uno podría pensar, admitió que la geometría euclidiana era tan sólida como las rocas del Estrecho de Gibraltar.
Aunque Hume, como todos los demás empiristas, creía que todo el conocimiento humano proviene de la observación, la geometría y la "verdad" que refleja todavía tienen un lugar privilegiado.
El gran filósofo alemán Immanuel Kant (1724–1804) no estaba del todo de acuerdo con Hume, pero estaba de acuerdo con Hume en la geometría euclidiana. También creía que la geometría euclidiana es una verdad absolutamente cierta y que no se puede cuestionar su corrección.
Según la teoría de Kant, si somos conscientes de un objeto, entonces ese objeto debe existir en el espacio y ajustarse a la geometría euclidiana.
Hume y Kant formularon dos ideas muy importantes pero muy diferentes, y ambas están muy relacionadas con la geometría euclidiana. Primero, ambos coincidieron en que solo la geometría euclidiana puede describir con precisión el espacio físico. En segundo lugar, ambos consideran la geometría euclidiana como una estructura de razonamiento irrompible, absolutamente precisa y eternamente válida. Si se juntan estos dos puntos de vista, es que la geometría euclidiana proporciona a los matemáticos, científicos y filósofos la evidencia teórica más sólida de que el universo existe, rica en contenido e irrefutable. Hasta el siglo XIX, esta realización se daba por sentada. Sin embargo, ¿son realmente correctos?
La geometría euclidiana fue propuesta por el matemático Euclides de Alejandría en la antigua Grecia alrededor del año 300 a. En los monumentales Elementos de geometría de 13 volúmenes, Euclides estableció un sistema de geometría basado en una lógica clara. Comenzó con diez axiomas que se consideraban verdaderos e indudables, y probó un gran número de proposiciones basadas en suposiciones a través del razonamiento lógico.
Los primeros cuatro axiomas de la geometría euclidiana son simples, ingeniosos y hermosos. Por ejemplo, el primer axioma es: " Hay una y sólo una línea recta que pasa por dos puntos ". El cuarto axioma es: " Todos los ángulos rectos son iguales ". En marcado contraste con este, está el quinto axioma, comúnmente conocido como " postulado paralelo ". Su expresión es relativamente complicada, y en general se ha creído que este axioma carece del sabor de la evidencia.
En "Elementos de Geometría", dice: " Si una recta corta a otras dos rectas, y la suma de los ángulos interiores de un lado determinado es menor que la suma de dos ángulos rectos, entonces las dos rectas estarán en Este lado se interseca ". La figura 6-1 muestra una representación esquemática de este axioma.
Aunque nadie duda de la validez del quinto axioma, carece de la atractiva sencillez y elegancia de los demás. Hay indicios de que incluso el mismo Euclides no parece muy feliz con este quinto axioma. La primera evidencia es que Euclides no usó el quinto axioma cuando probó las primeras veintiocho proposiciones en "Elementos".
El equivalente exacto del quinto axioma que citamos con mayor frecuencia en la actualidad es otro axioma que parece haber sido formulado por primera vez por el matemático griego Proclo en el siglo V d.C.”, el nombre proviene del matemático escocés John Playfair (John Playfair, 1748- 1819).
El axioma de Playfair se expresa de esta manera: " Dada una línea recta y un punto que no está en la línea recta, solo se puede dibujar una línea recta paralela a la línea recta a través del punto" (Figura 6-2). Estas dos formulaciones del quinto axioma son esencialmente idénticas porque el axioma de Playfair (junto con los demás) incluye necesariamente el quinto axioma de Euclides, y el último también incluye al primero.
Figura 6-1
Figura 6-2
Durante siglos, la gente ha cuestionado el quinto axioma de la geometría euclidiana sin cesar. Algunas personas han tratado de probar el quinto axioma de los otros nueve axiomas, y algunos incluso han tratado de reemplazarlo con una suposición más clara y concisa.
Por supuesto, estos esfuerzos no tuvieron éxito, y otros geómetras intentaron responder a una conjetura desconcertante: "¿Qué pasa si es falso?" Estos intentos comenzaron a despertar dudas en la mente de las personas, y algunos incluso sospecharon que Euclides es el axioma realmente evidente por sí mismo. o simplemente basado en la experiencia.
Finalmente, la asombrosa conclusión llegó en el siglo XIX: los matemáticos descubrieron que eligiendo un axioma diferente al quinto axioma de Euclides, se podía construir una geometría completamente nueva. Además, esas geometrías "no euclidianas" describen el espacio físico con tanta precisión en principio como la geometría euclidiana.
Hagamos una pausa aquí y eliminemos la palabra "elección". Durante milenios, la geometría euclidiana se ha considerado única, y necesariamente así, la única descripción correcta del espacio. Sin embargo, el hecho de que ahora se pueda elegir un axioma y obtener una descripción igualmente correcta hace que todo el sistema conceptual sea interesante.
Un sistema de razonamiento cuidadosamente construido se convierte, aparentemente de la noche a la mañana, en un juego en el que los axiomas no son más que reglas. Puedes cambiar los axiomas para jugar un juego completamente diferente. Sin embargo, el enorme impacto de esta cognición en la comprensión de la naturaleza de las matemáticas está más allá de la imaginación de las personas.
Muchos matemáticos imaginativos y creativos allanaron el camino para el golpe final a la geometría euclidiana.
Entre ellos merecen especial atención el sacerdote cristiano Girolamo Saccheri (1667-1733), quien estudió en profundidad cómo sustituir el quinto axioma por una formulación diferente; el matemático alemán Georg Crewe Georg Klügel (1739-1812) y Johann Heinrich Lambert ( 1728-1777), quienes fueron los primeros en darse cuenta de que la geometría euclidiana podría ser reemplazada por otros sistemas geométricos.
Más allá de eso, algunos matemáticos pusieron el último clavo en el ataúd de la idea de que la geometría euclidiana es la única representación del espacio en el universo. Y este honor debe ser compartido por tres matemáticos, uno de Rusia, uno de Hungría y uno de Alemania.
02
extraño nuevo mundo
La primera persona que publicó un artículo para explicar esta nueva geometría en su conjunto fue el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856, Figura 6-3).
Esta es una geometría construida sobre una superficie curva como una silla de montar. En esta geometría (hoy la llamamos geometría hiperbólica), la expresión que sustituye al quinto axioma de Euclides tiene la siguiente forma: "Dada una recta sobre el plano y un punto fuera de la recta, pasar por el punto para trazar al menos dos rectas paralelas paralela a la recta dada".
Hay otra diferencia importante entre la geometría de Lobachevsky y la geometría euclidiana: en la geometría euclidiana, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180° (Figura 6-4b), mientras que en la geometría de Lobachev En la geometría de Fowski, la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre mide menos de 180° (figura 6-4a). Las opiniones académicas de Lobachevsky se publicaron principalmente en la "Gaceta de Kazan", que no era muy conocida en ese momento, por lo que su teoría no recibió la debida atención.
No fue hasta la década de 1830 que la teoría de la geometría de Lobachevsky atrajo la atención generalizada después de que se tradujera al francés y al alemán. Antes de eso, el joven matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) no leyó el artículo de Lobachevsky, y también expuso sistemáticamente la misma teoría que Lobachev alrededor de 1820. La geometría del esqueleto es similar a la teoría geométrica.
Con una pasión propia de la juventud, escribió a su padre en 1823: "He descubierto algo tan exquisito que me asombra... He creado un mundo completamente nuevo de la nada". matemático, y su retrato se muestra en la figura 6-5.
En 1825, Janos había terminado su investigación y estaba a punto de mostrarle a su padre un borrador de su trabajo teórico sobre esta nueva geometría. Janosz tituló el manuscrito "Absolutos científicos del espacio". Aunque el joven Janos estaba muy animado, su padre no estaba seguro de si la teoría era correcta. Sin embargo, Farkas decidió publicar la Nueva geometría de su hijo como un apéndice de su propio trabajo de dos volúmenes: el libro de Farkas trataba los fundamentos de la geometría clásica, el álgebra y el análisis.
Se dice que el estilo de escritura de este libro es muy interesante, y el título del libro es "Ensayos sobre los principios fundamentales de las matemáticas para jóvenes inquisitivos". Después de que se publicó el libro, Farkas le dio una copia a su amigo Gauss (Figura 6-6), y Gauss no solo fue considerado el matemático más destacado de ese momento, sino que también fue elogiado por muchas personas en generaciones posteriores como el matemático más destacado de la historia. historia humana Uno de los grandes matemáticos, de pie junto a Arquímedes y Newton.
Desafortunadamente, debido a un brote de cólera, el libro que se le dio a Gauss se perdió en la confusión y Farkas le envió a Gauss otra copia. Gauss finalmente le respondió a Farkas el 6 de marzo de 1832. Aún así, sus comentarios no fueron exactamente lo que esperaba el joven Janos.
Figura 6-3 Lobachevsky
Figura 6-4
Figura 6-5 Boyo Farkas
Figura 6-6 Gaussiana
"Puede que se sorprenda si digo desde el principio que no puedo elogiar este trabajo. Pero realmente no puedo decir nada más. Esto es porque si lo elogio, me elogio a mí mismo. De hecho, todo en este libro, los pensamientos de su hijo y las conclusiones a las que llegó son casi exactamente las mismas que las mías. Y estos pensamientos han ocupado parte de mi pensamiento durante los últimos 30 o 35 años. Así que estoy un poco perdido. Hasta ahora, nunca he escrito Anoté estas conclusiones y no creo que las publique en mi vida".
Aunque Farkas sintió que Gauss tenía una alta opinión de Janos, y pensó que el elogio de Gauss era "gratificante", pero Janos se sintió golpeado porque su investigación era exactamente la misma que la de Gauss, y desde entonces está completamente deprimido. En los siguientes diez años, siempre se negó a creer que Gauss había comenzado a estudiar esta geometría antes que él mismo, y también afectó seriamente la relación entre padre e hijo: Janos sospechaba que su padre le había revelado prematuramente las conclusiones de su investigación a Gauss.
Más tarde, cuando Janos finalmente confirmó que Gauss había comenzado a trabajar en el tema alrededor de 1799, se volvió aún más cínico, un mal estado de ánimo que afectó su erudición. Antes de que Janos muriera, dejó unas 20.000 páginas de manuscritos matemáticos, pero la investigación palidece en comparación.
Sin embargo, no hay duda de que Gauss pensó mucho en la geometría no euclidiana.
"En los principios de la geometría", escribió en su diario en septiembre de 1799, "hemos logrado algo extraordinario". Luego, en 1813, agregó: "Con respecto a la teoría de las líneas paralelas, ya no estamos a cuántas millas de sé mejor. Es una parte ruborizada de las matemáticas que tarde o temprano toma una forma completamente diferente ".
Unos años más tarde, Gauss escribió en una carta el 28 de abril de 1817: "Ahora estoy cada vez más convencido de que la necesidad de la geometría (euclidiana) actual no se puede probar ". La geometría euclidiana no puede considerarse una verdad universal y eterna, y "la geometría euclidiana no puede compararse con la aritmética (porque la aritmética es a priori), sino aproximadamente a la par con la mecánica".
Ferdinand Schweikart (1780-1859), profesor de jurisprudencia, le escribió a Gauss en 1818 o 1819 que había llegado a conclusiones similares de forma independiente. Dado que ni Gauss ni Schweickart publicaron sus puntos de vista y conclusiones públicamente, la gente tradicionalmente le ha dado el crédito por descubrir la geometría no euclidiana a Lobachevsky y Boyo Janos; de hecho, estos dos no son de ninguna manera los "creadores" exclusivos de la geometría no euclidiana. .
La geometría hiperbólica rompió el silencio del mundo matemático como un rayo caído del cielo y asestó un duro golpe a la única descripción inquebrantable del espacio en la geometría euclidiana. La geometría euclidiana se había considerado durante mucho tiempo la esencia del mundo mucho antes de Gauss, Lobachevsky y Boyot.
Sin embargo, el hecho de que los humanos también puedan elegir un conjunto diferente de axiomas para construir una geometría completamente diferente hace que la gente sospeche por primera vez que las matemáticas parecen ser una invención humana, en lugar de existir de forma independiente fuera del pensamiento humano, esperando a los seres humanos. descubrir la verdad. Al mismo tiempo, también se rompió la relación directa entre la geometría euclidiana y el espacio físico real, y la idea de que "las matemáticas son el lenguaje del universo" expuso una falla fatal.
La supremacía de la geometría euclidiana se vio aún más comprometida cuando uno de los estudiantes de Gauss, Bernhard Riemann, demostró que la geometría hiperbólica no era la única forma de geometría no euclidiana.
Riemann pronunció un discurso en Göttingen, Alemania, el 10 de junio de 1854, en el que chispas de genialidad brotaron por todas partes. La figura 6-7 muestra la primera página de este discurso publicado más tarde. Riemann expresó sus puntos de vista con la ayuda de "conjeturas basadas en fundamentos geométricos".
Riemann dijo al principio: "La geometría presupone el concepto de espacio y asume los principios básicos de la construcción del espacio. Sin embargo, la geometría solo da una definición de nombre para esto, y la esencia de estos conceptos y principios se basa en forma de axiomas. Pero continúa señalando: "No se conoce la relación entre esos presupuestos. No vemos si es necesaria o en qué medida alguna conexión entre ellos. , y ni siquiera es posible determinar de antemano si hay una posible conexión entre ellos".
Entre las diversas teorías geométricas posibles, Riemann se centró en la geometría de los elipsoides. Esta es una teoría geométrica basada en la superficie de un elipsoide (figura 6-4c).
Tenga en cuenta que en esta geometría, la distancia más corta entre dos puntos no es un segmento de línea, sino un arco en un gran círculo cuyo centro también es el centro de la esfera. Las aerolíneas utilizan esta característica para determinar las rutas de vuelo, por lo tanto, la ruta de vuelo de un vuelo internacional de Estados Unidos a Europa no es la línea recta que vemos en el mapa, sino un gran arco circular hacia el norte. Puedes probar fácilmente que dos arcos circulares tan grandes se encuentran en ambos extremos de sus diámetros.
Por ejemplo, dos líneas de longitud cualesquiera en la Tierra que parecen ser paralelas cerca del ecuador en realidad se encuentran en los polos. En la geometría euclidiana, solo se puede dibujar una línea paralela a través de un punto fuera de la línea. No la geometría euclidiana es diferente. En geometría hiperbólica, se pueden dibujar al menos dos líneas paralelas a través de un punto fuera de una línea recta. En la geometría de los elipsoides, no existe ni una sola línea paralela. Riemann llevó el concepto de geometría no euclidiana a un mundo más amplio: introdujo este tipo de geometría en superficies espaciales tridimensionales, tetradimensionales e incluso de dimensiones superiores. En este proceso, Riemann desarrolló un concepto clave: la curvatura. Curvatura identifica la relación de curvatura de una curva o superficie.
Por ejemplo, en la superficie de una cáscara de huevo, la curva en el medio de la cáscara de huevo es más suave, es decir, menos curva que la curva que pasa por los extremos puntiagudos de la cáscara de huevo. Riemann propuso una definición matemática precisa de curvatura en cualquier espacio multidimensional. A través de esta definición, Riemann hizo más cercana la "combinación de geometría y álgebra" propuesta por primera vez por Descartes. En la investigación de Riemann, las ecuaciones que involucran cualquier cantidad de variables pueden encontrar sus contrapartes en geometría, y los nuevos conceptos en geometría avanzada también se vuelven parte de la ecuación.
Figura 6-7
La geometría euclidiana no fue la única víctima de la nueva geometría surgida en el siglo XIX, tampoco se salvaron las ideas de Kant sobre el espacio. Recordemos que Kant afirmó una vez que la información percibida por los humanos debe reestructurarse a través de plantillas en la geometría euclidiana antes de que pueda entrar en la conciencia.
Sin embargo, la "intuición" de los geómetras del siglo XIX pareció despertarse de la noche a la mañana. Pronto, estaban haciendo numerosos avances en la geometría no euclidiana y aprendiendo a experimentar el mundo a lo largo de caminos completamente nuevos indicados por la geometría no euclidiana.
Al final, la percepción del espacio de la geometría euclidiana resultó ser más aprendida que intuitiva. Ante estos cambios drásticos, el famoso matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) propuso que los axiomas de la geometría "no son intuiciones a priori integrales ni hechos empíricos. Son convencionales. Tomamos decisiones basadas en hechos empíricos, y eso la elección es libre". En otras palabras, Poincaré ve los axiomas solo como "definiciones disfrazadas".
Las opiniones de Poincaré no solo se inspiraron en las ideas de geometría no euclidiana mencionadas anteriormente, sino también en otras geometrías nuevas que surgían constantemente en ese momento.
Antes de finales del siglo XIX, el desarrollo de nuevas geometrías parecía estar fuera de control.
Por ejemplo, en la geometría proyectiva (como las formas que se forman cuando las imágenes de una película se proyectan en una pantalla), los roles de las líneas y los puntos son intercambiables, por lo que, con respecto a los puntos y las líneas (nótese el orden), los teoremas se pueden transformar en teoremas de líneas y puntos. En geometría diferencial, los matemáticos usan el cálculo para estudiar las propiedades geométricas locales de varios espacios matemáticos, como los de una esfera o un toro.
Estos y otros tipos de geometría parecen, a primera vista, inventos imaginativos de los matemáticos más que descripciones precisas del espacio físico. Entonces, ¿cómo pueden probar las generaciones posteriores que "Dios es un matemático"? Después de todo, si "Dios siempre estudió geometría" (una frase atribuida a Platón por el historiador Plutarco), ¿qué tipo de geometría usó Dios?
Pronto, una profunda conciencia de las deficiencias de la geometría euclidiana atrajo la atención general de los matemáticos hacia los fundamentos de las matemáticas, especialmente la relación entre las matemáticas y la lógica. Continuaremos discutiendo este importante tema en el Capítulo 7, pero solo lo mencionaré aquí: La idea de que los axiomas son evidentes ha sido sacudida. Aunque el siglo XIX también fue testigo de algunos avances importantes en álgebra y análisis, los desarrollos en geometría tuvieron el impacto más profundo en cuestiones relacionadas con la naturaleza de las matemáticas. "
03
Espacio, Números y Humanos
Los matemáticos también deben centrarse en algunos temas "pequeños" antes de pasar al gran problema de la base de las matemáticas.
Primero, aunque las geometrías no euclidianas se han formulado y publicado sistemáticamente, esto no significa que sean "descendientes legales" de las matemáticas. La comunidad matemática ha albergado durante mucho tiempo un temor a las "inconsistencias": introducir geometría no euclidiana en el resultado lógico final, lo que podría producir contradicciones inexplicables.
En la década de 1870, el italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) y el alemán Felix Klein (1849-1925) demostraron que mientras la geometría euclidiana es consistente, también lo es la geometría no euclidiana. Esta prueba, sin embargo, planteó más preguntas sobre la solidez de los fundamentos de la geometría euclidiana.
A continuación, está la importante cuestión de la pertinencia. La mayoría de los matemáticos consideraban estas nuevas geometrías como algo novedoso e interesante. Durante mucho tiempo, la geometría euclidiana se ha considerado como la descripción del espacio de la verdad, lo que también estableció la reputación histórica de la geometría euclidiana. Pero al principio se pensó que la geometría no euclidiana no tenía conexión con la realidad física.
Por lo tanto, muchos matemáticos consideran que la geometría no euclidiana es un "pariente pobre" de la geometría euclidiana. De estos, sin embargo, Poincaré, más que cualquier otro, dio una mayor prioridad a la geometría no euclidiana. Pero incluso el propio Poincaré insistió en que incluso si los seres humanos fueran realmente llevados a un mundo dominado por la geometría no euclidiana, "ciertamente encontraremos que esto (de la geometría euclidiana a la geometría euclidiana no euclidiana) no sería más fácil de cambiar". ".
Por lo tanto, se destacan dos preguntas: primero, ¿pueden otras ramas de la geometría (individuos) y las matemáticas (totalidades) descansar sobre fundamentos lógicos evidentemente sólidos? En segundo lugar, ¿cuál es la relación (si existe tal relación) entre las matemáticas y el mundo físico?
Históricamente, algunos matemáticos han adoptado un enfoque pragmático para confirmar los fundamentos de la geometría. Cuando estos matemáticos se dieron cuenta consternados de que lo que se había considerado como verdad absoluta resultó ser empírico en lugar de exacto, recurrieron a la aritmética, el estudio de los logaritmos. En la geometría analítica cartesiana, los gráficos se pueden expresar mediante una fórmula específica, se puede usar un par de números ordinales como una identificación única de un punto en el plano, etc. Esta geometría se basa en números y proporciona las herramientas necesarias para restablecer los fundamentos de la geometría.
El matemático alemán Jacob Jacobi (1804-1851) reemplazó el famoso dicho de Platón "Dios siempre estudia geometría" con su propio lema "Dios siempre estudia aritmética". Aunque este es solo un pequeño cambio en el texto, realmente expresa la tendencia de la época. En cierto modo, sin embargo, esto simplemente convierte el problema en otra rama de las matemáticas.
De hecho, el famoso matemático alemán David Hilbert (1862-1943) había demostrado con éxito que la geometría euclidiana era tan consistente como la aritmética. En este asunto, sin embargo, la aritmética está muy lejos de establecer una consistencia clara e inequívoca.
En cuanto a la relación entre los mundos matemático y físico, realmente no se han establecido nuevos sentimientos. La comprensión de las matemáticas como herramienta para desentrañar los misterios del universo se ha afianzado y reforzado a lo largo de los siglos.
Galileo, Descartes, Newton, la familia Bernoulli, Pascal, Lagrange, Kettler y otros matemáticos "matematizaron" la ciencia como para probar de manera convincente que la naturaleza fue diseñada sobre la base de las matemáticas. Incluso se podría decir, si las matemáticas no son el lenguaje del universo, ¿por qué son igualmente eficaces para explicar las leyes fundamentales de la naturaleza y las características de los seres humanos?
Sin duda, los matemáticos se dan cuenta de que las matemáticas solo tratan con formas platónicas abstractas, pero estas formas se consideran formas idealizadas plausibles de los elementos físicos de la realidad. De hecho, les parecía que el gran libro de la naturaleza estaba escrito en el lenguaje de las matemáticas, un sentimiento tan profundamente arraigado en su concepción que muchos matemáticos se negaron a considerar que los conceptos matemáticos y las estructuras pueden estar directamente relacionados con el mundo físico.
Tomemos como ejemplo a Gerolamo Cardano (1501-1576). Cardano es una persona muy interesante, ha logrado mucho en los campos de las matemáticas y la física, pero al mismo tiempo es muy jugador.
En 1545, publicó un libro muy famoso llamado "El Gran Arte", que es uno de los trabajos académicos más influyentes en la historia del álgebra. En esta completa monografía, Cardano analiza en profundidad una gran cantidad de problemas detallados en la solución de ecuaciones algebraicas, incluida la solución de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, muchas de las cuales son innovadoras. En las matemáticas clásicas, sin embargo, las cantidades suelen entenderse como elementos geométricos.
El matemático inglés John Wallis (1616-1703) expresó la misma idea en su libro The Infinity of Arithmetic, el libro del que Newton aprendió el análisis. En su otro libro importante "Ensayos de álgebra", Wallis declaró públicamente: "Para ser precisos, la naturaleza no reconoce el concepto de más de tres dimensiones". Luego expuso su punto de vista:
“Dos rectas se intersecan para formar un plano; un plano y una recta se intersecan para formar un sólido. Pero si un sólido interseca una recta, o un plano interseca un plano, ¿qué se forma? ¿Un hiperplano (plano-plano)? ser un monstruo natural, menos realista que 'Quimera' y 'Century'. Porque la longitud, el ancho y la altura ya constituyen todo el espacio. No podemos imaginar cómo se ve cualquier espacio cuatridimensional más allá del espacio tridimensional".
Aquí, la lógica de Wallis es clara: es inútil imaginar una geometría que no describa el espacio real.
Con el tiempo, estos puntos de vista fueron cambiando gradualmente. Por primera vez, los matemáticos del siglo XVIII comenzaron a pensar en el "tiempo" como una cuarta dimensión potencial además del espacio tridimensional. En un ensayo titulado "Dimensiones", publicado en 1754, el físico Jean D'Alembert (1717-1783) escribió:
“Ya he dicho que no puede haber más dimensiones que tres. Un amigo mío cree que el tiempo puede considerarse la cuarta dimensión del espacio. En cierto modo, el producto del tiempo y la solidez se convierte en la cuarta dimensión. El producto de esto. Es una idea controvertida, pero para mí no es solo una novedad que llama la atención de la gente, es valiosa”.
Estas audaces ideas abrieron un nuevo campo de las matemáticas: la geometría de dimensiones arbitrarias, que era inimaginable en el pasado. De hecho, estas geometrías no se consideran en absoluto relacionadas con el espacio físico.
Kant creía que nuestra percepción del espacio sigue el paradigma dado por la geometría euclidiana, y podría haberse equivocado. Pero no hay duda de que lo que percibimos la mayor parte del tiempo es espacio en no más de tres dimensiones. En términos relativos, podemos imaginar fácilmente cómo se ve el mundo tridimensional en el que vivimos en el llamado "universo bidimensional" de Platón. Sin embargo, si parte del mundo tridimensional y avanza hacia el mundo multidimensional, realmente necesita tener una imaginación rica como la de un matemático.
En el campo de estudio de la geometría n-dimensional (geometría en espacios de dimensiones arbitrarias), el trabajo más importante e innovador fue realizado por Hermann Günther Grassmann (1809–1877) de.
Glassman tiene 11 hermanos y hermanas, y también es padre de 11 hijos. Glassman era un maestro de escuela que nunca tuvo una educación matemática universitaria formal. Durante la vida de Glassman, recibió muchos más elogios en lingüística, particularmente por su trabajo en sánscrito y gótico, que en matemáticas.
Un biógrafo escribió: "Glassman parece destinado a ser redescubierto de vez en cuando, y cada vez que lo redescubren, parece que ha sido olvidado desde su muerte". Sman creó una ciencia abstracta del "espacio" en la que la geometría euclidiana clásica es sólo un ejemplo de espacio.
Glassmann publicó un libro en 1844 llamado La teoría de las extensiones lineales: una nueva rama de las matemáticas, comúnmente conocida como Ausdehnungslehre (Ausdehnungslehre). En este libro, presenta sus ingeniosas ideas, las más importantes de las cuales constituyen una importante rama de las matemáticas tal como las conocemos hoy en día: el álgebra lineal. En el prefacio del libro, Glassman escribe:
"La geometría nunca debe verse como una rama de las matemáticas. De hecho, la geometría está asociada con ciertas propiedades de la naturaleza, conocidas como espacio. Me he dado cuenta de que debe haber una rama de las matemáticas que pueda describirse como una forma puramente abstracta de producir reglas similares a la geometría".
Esta es una forma completamente nueva de ver la naturaleza de las matemáticas. Para Grassmann, la geometría tradicional (que es un legado del pensamiento griego antiguo) se ocupa del espacio físico y, por lo tanto, no puede considerarse una verdadera rama de las matemáticas abstractas. En opinión de Glassman, las matemáticas son un concepto abstracto del pensamiento humano que no tiene que aplicarse en el mundo real.
En la década de 1860, la geometría n-dimensional se había multiplicado y desarrollado rápidamente. Durante este período, Riemann no solo estableció gradualmente los conceptos de superficies arbitrarias y espacios de cualquier dimensión en una serie de conferencias muy inspiradoras, sino que también muchos matemáticos de la época, como el matemático británico Arthur Cayley, (Arthur Cayley y James Sylvester , así como el matemático suizo Ludwig Schläfli, todos hicieron contribuciones importantes al desarrollo de la geometría n-dimensional, y su trabajo proporcionó n Se ha agregado nuevo contenido a la geometría dimensional.
Desde entonces, los matemáticos comenzaron a sentirse liberados de restricciones estrictas. Durante siglos, las matemáticas se han limitado estrictamente a los conceptos de espacio y número. La inercia histórica de esta limitación es tan fuerte que incluso hasta el siglo XVIII, cuando el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) expresó sus puntos de vista sobre las matemáticas, todavía decía: "Las matemáticas, por lo general es una ciencia que estudia la cantidad o estudia métodos de medición ". Solo después de entrar en el siglo XIX, la brisa primaveral del cambio sopló gradualmente.
Primero, la introducción de la noción abstracta de espacio y (en geometría y teoría de conjuntos) infinito desdibuja el significado de "cantidad" y "medida" de una manera que va más allá de la cognición humana ordinaria. En segundo lugar, el rápido desarrollo de la investigación de la gente sobre la abstracción matemática ha hecho que la distancia entre las matemáticas y la realidad física sea cada vez mayor. Sin embargo, la vida cotidiana y la "existencia real" han entrado en cambio en el mundo abstracto.
Georg Cantor (1845-1918), el fundador de la teoría de conjuntos, describió el espíritu libre de esta nueva matemática en la siguiente "Declaración de Independencia": "En general, el desarrollo de las matemáticas es libre y lo único que lo limita es la llamados 'evidentes', es decir, los diversos conceptos deben ser consistentes entre sí, y también deben alinearse según el orden de definición, manteniendo la relación correcta con los conceptos que han sido introducidos y verificados antes. ”
A este punto de vista, el algebrista Richard Dedekind (1831-1916) agregó luego de un lapso de 6 años: “Creo que el concepto de matemáticas es completamente independiente de nuestro concepto o intuición del espacio y el tiempo… …son los creaciones de la mente humana.” En otras palabras, tanto Cantor como Dedekind vieron las matemáticas como un estudio conceptual abstracto limitado solo por el requisito de consistencia, el impacto de las matemáticas en el lenguaje computacional o físico del mundo sin ninguna obligación.
Como lo resume Cantor: " La esencia de las matemáticas reside enteramente en su libertad " .
A finales del siglo XIX, la gran mayoría de los matemáticos aceptaban los puntos de vista de Cantor y Dedekind sobre el carácter libre de las matemáticas. El objetivo de las matemáticas también ha cambiado de estudiar la verdad de la naturaleza a establecer una estructura abstracta: construir un sistema de axiomas y explorar todas las conclusiones lógicamente posibles del axioma.
Alguna vez fue optimista que el desarrollo de estas nuevas ideas y teorías pondría fin a la molesta pregunta de "¿Son las matemáticas un descubrimiento humano o una invención humana?" Si las matemáticas no son más que un juego muy complejo con reglas arbitrarias, entonces obviamente no tiene sentido creer en la verdad de los conceptos matemáticos, ¿no es así?
Sorprendentemente, algunos matemáticos obtienen la sensación opuesta de la desconexión de la realidad física. Ya no piensan que “las matemáticas son un invento del ser humano”, sino que vuelven a la idea de “las matemáticas son un mundo independiente de la verdad” propuesta por Platón.
La existencia de este mundo independiente de la verdad es tan real como la existencia del mundo físico. Los esfuerzos de investigación que intentaron establecer conexiones entre las matemáticas y la física se clasificaron como matemáticas aplicadas, en contraste con las matemáticas teóricas, que se suponía que no tenían nada que ver con la realidad física.
El matemático francés Charles Hermite (1822–1901) escribió una carta el 13 de marzo de 1894 al matemático holandés Thomas Stieltjes (1856–1894), expresando sus puntos de vista sobre este tema. El escribio:
"Estoy muy complacido de ver que ha cambiado a la perspectiva de un naturalista que observa los fenómenos en el mundo de la aritmética. Sus creencias son exactamente las mismas que las mías. Creo que los números y las funciones en el análisis matemático no son de ninguna manera humanos. mentes productos de nuestras mentes, que existen independientemente de nuestras mentes, y que comparten las mismas características necesarias que la realidad objetiva.Los confrontamos, los descubrimos y los estudiamos, tal como lo hacen los físicos, los químicos y los biólogos en sus respectivas disciplinas. la investigación es la misma, no hay una diferencia esencial".
El matemático británico Hardy era un matemático teórico típico (lo presentamos antes) y un platónico moderno abierto. En un discurso ante la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia el 7 de septiembre de 1922, declaró:
"Los matemáticos han establecido una gran cantidad de diferentes tipos de sistemas geométricos. Además de la geometría euclidiana, existen geometrías no euclidianas unidimensionales, bidimensionales, tridimensionales e incluso de dimensiones superiores. Todos estos sistemas geométricos son muy complejos. , e igualmente verdaderos. Contienen las observaciones del matemático sobre su realidad. La realidad en las matemáticas es más prominente y más rigurosa que la incertidumbre y elusividad de la física. En este momento, el papel del matemático se convierte en la observación de los hechos reflejados en el intrincado sistema del mundo real que uno estudia, y las asombrosas, complejas y hermosas conexiones lógicas formadas a través de las observaciones, y son estas conexiones las que forman el contenido principal de la ciencia. En el proceso, un matemático es como un explorador que escala una montaña y registra todo lo que ve en una serie de mapas, cada uno de los cuales es una rama de las matemáticas teóricas".
Está claro que los platónicos acérrimos no están preparados para deponer las armas, incluso con la evidencia contemporánea de la naturaleza libre de las matemáticas. Vieron la oportunidad de aprovechar lo que Hardy llamó "autenticidad". Para ellos, esto es aún más emocionante que seguir explorando la relación con la realidad física.
Sin embargo, no importa cómo la filosofía metafísica considere la verdad de las matemáticas, una cosa está muy clara: para la libertad de las matemáticas, hay una restricción que no cambiará y es inquebrantable, es decir, la lógica de la teoría matemática.
Los matemáticos y los filósofos son más conscientes que nunca de que las matemáticas y la lógica están indisolublemente unidas.
Sin embargo, esto plantea otras preguntas: ¿Todos los problemas matemáticos pueden basarse en la lógica? Si es así, ¿es este el secreto de la "misteriosa validez" de las matemáticas? O, para decirlo suavemente, ¿pueden usarse métodos matemáticos en la investigación del razonamiento en general?
De esta manera, las matemáticas no son solo el lenguaje universal de la naturaleza, sino también el lenguaje del pensamiento humano.
Lectura recomendada
Autor: [EE. UU.] Mario Livio
Traductor: Huang Zheng
Los clásicos más vendidos del mundo sobre la historia de las matemáticas y la filosofía, relanzados
"Washington Post" mejor libro del año, traducido a 8 idiomas de todo el mundo
La adaptación de 'Great Math Problem' recibe nominaciones al Emmy
Demostrar el extraordinario poder de las matemáticas en todas partes y la omnipotencia
Las legendarias historias llenas de sabiduría de los maestros de la ciencia y la filosofía, el magnífico pergamino histórico de las matemáticas, la física, la astronomía y la filosofía.
