Необходимые знания: Расчет определенных интегралов (сегментных интегралов)
Упражнение 1
Вычислить ∫ 1 ee ∣ ln x ∣ dx \int_{\frac 1e}^e|\ln x|dx∫е1е∣пх ∣ д х
Решение:
\qquad原式= ∫ 1 e 1 - ln xdx + ∫ 1 e ln xdx = - ln x ∣ 1 e 1 + ln x ∣ 1 e = 1 + 1 = 2 = \ int _ {\ frac 1e} ^ 1 -\ln xdx+\int_1^e\ln xdx=-\ln x\bigg\vert_{\frac 1e}^1+\ln x\bigg\vert_1^e=1+1=2"="∫е11−пх д х+∫1епх д х"="−пИкс
е11+пИкс
1е"="1+1"="2
Упражнение 2
已知f ( x ) = { 1 1 + x 2 , x ≥ 0 xex 2 , x < 0 f (x) = \ begin {cases} \ dfrac {1} {1 + x ^ 2}, \ quad x \ geq 0\\ \qquad \\ xe^{x^2},\quad x<0 \end{cases}ж ( х )"="⎩ ⎨ ⎧1+Икс21,Икс≥0х еИкс2 ,Икс<0, вычислить ∫ − 1 1 f ( x ) dx \int_{-1}^1f(x)dx∫− 11ж ( х ) д х
Решение:
\qquad原式= ∫ − 1 0 xex 2 dx + ∫ 0 1 1 1 + x 2 dx =\int_{-1}^0xe^{x^2}dx+\int_0^1\dfrac{1}{1+x^ 2}дх"="∫− 10х еИкс2 дх+∫011+Икс21д х
знак равно 1 2 ex 2 ∣ - 1 0 + arctan Икс ∣ 0 1 знак равно 1 2 - e 2 + π 4 \qquad\qquad =\dfrac 12e^{x^2}\bigg\vert_{-1}^0+ \ arctan x \ bigg \ vert_0 ^ 1 = \ dfrac 12- \ dfrac {e} {2} + \ dfrac {\ pi} {4}"="21еИкс2 − 10+арктическийИкс 01"="21−2е+4п
Упражнение 3
已知f ( x ) знак равно { 1 + x 2 , x ≤ 0 e - x , x > 0 f (x) = \ begin {case} 1 + x ^ 2, \ quad x \ leq 0 \\ e ^ { -x},\quad x>0 \end{case}ж ( х )"="{ 1+Икс2 ,Икс≤0е− х ,Икс>0, вычислить ∫ 1 3 f ( x − 2 ) dx \int_1^3f(x-2)dx∫13ж ( х−2 ) д х
Решение:
\qquad原式= ∫ 1 2 [ 1 + ( x - 2 ) 2 ] dx + ∫ 2 3 e 2 - xdx = ∫ 1 2 ( x 2 - 4 x + 5 ) dx + ∫ 2 3 e 2 - xdx = \ int_1 ^2[1+(x-2)^2]dx+\int_2^3e^{2-x}dx=\int_1^2(x^2-4x+5)dx+\int_2^3e^{2-x} дх"="∫12[ 1+( х−2 )2 ]дх+∫23е2 - х дх"="∫12( х2−4x _+5 ) д х+∫23е2 - х дх
знак равно ( 1 3 Икс 3 - 2 Икс 2 + 5 Икс ) ∣ 1 2 - е 2 - Икс ∣ 2 3 знак равно 14 3 - 10 3 - 1 е + 1 знак равно 7 3 - 1 е \ qquad \ qquad = (\ dfrac 13x^3-2x^2+5x)\bigg\vert_1^2-e^{2-x}\bigg\vert_2^3=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}-\ dfrac 1e+1=\dfrac 73-\dfrac1e"="(31Икс3−2x _2+5 х ) 12−е2 - х 23"="314−310−е1+1"="37−е1