Control adaptativo——Experimento de simulación 2 usando el sistema adaptativo de referencia del modelo de diseño del esquema de Narendra

1. Descripción del problema
2. Modelado de problemas
3. Resolución de problemas
Apéndice: Implementación del código MATLAB
bibliografía

1. Descripción del problema

Sea la función de transferencia del objeto de control
$W_{p}(s)=\frac{s+1}{s^{2}+ 8 segundos +20} \tag{1}$
La función de transferencia del modelo de referencia es
$W_{m}(s)=\frac{6(s+5) }{ s^{2}+13 s+40} \tag{2}$
diseñar un sistema adaptativo de referencia del modelo con el esquema de Narendra y realizar una simulación digital para comparar el error de salida del sistema y el proceso de cambio de parámetros ajustables cuando la entrada es una señal de paso y una señal de onda cuadrada.

2. Modelado de problemas

El sistema de control adaptativo de referencia del modelo diseñado por el esquema de Narendra está dirigido principalmente a la situación en la que todas las variables de estado no se pueden obtener en el objeto de control real, y la ley de control adaptativo no se puede formar normalmente a través de las variables de estado del sistema. Además, en comparación con otros métodos que utilizan la entrada y la salida del objeto de control para formar una ley adaptativa, el esquema de Narendra no requiere la derivada de la salida del objeto controlado y el error generalizado, lo que evita la pérdida de la anti- capacidad de interferencia del sistema adaptativo.

La expresión de espacio de estado del objeto de control de entrada única y salida única objetivo del esquema de Narendra es
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}_ {p}& =\boldsymbol{A}_{p} \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{p} u \\ y_{p}&=\boldsymbol{h}^{T } \boldsymbol{ x}_{p} \end{alineado} \tag{3}$
En la fórmula $($ $3$ $)$ $\boldsymbol{x}_{p}$ para $vector de estado n-$ dimensional, $\boldsymbol{A}_{p}$ para $\times n$ matriz, $\boldsymbol{b}_{p}$ es $\times 1$ matriz, $\boldsymbol{h}^{T}$ es $\times n$ -matriz. Entonces la función de transferencia del objeto de control es:
$W_{p}(s) =\ boldsymbol{h}^{T}\left(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{p}\right)^{-1} \boldsymbol{b}_{p}=\frac{ k_{ p} Z_{p}(s)}{R_{p}(s)} \tag{4}$
En la fórmula $($ $4$ $)$ $Z_{p}(s)$ esPrimer polinomio de Goulwitz de orden $m$ $R_{p}(s)$ esPolinomio de primer Gurwitz de orden $n .$

El modelo de referencia tiene una estructura similar a un sistema ajustable:
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}_{m}&=\boldsymbol{ A} _ {m} \boldsymbol{x}_{m}+\boldsymbol{b}_{m} r \\ y_{m}&=\boldsymbol{h}^{T} \boldsymbol{x}_{ m} \end{alineado} \tag{5}$

$W_{m}(s)=\boldsymbol{h}^{T} \left(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{m}\right)^{-1} \boldsymbol{b}_{m}=\frac{k_{m} Z_{m}(s )}{R_{m}(s)} \tag{6}$

Cuando $norte - metro = 1$ , el esquema de control adaptativo de Narendra está diseñado de acuerdo con el siguiente método.

$F_1$ en el controlador $F$ y $F_2$ ， $F_1$ Conectado al terminal de entrada del objeto de control, $F_2$ conectado a la salida del objeto de control. Generador de señal auxiliar $F_1$ La señal de entrada de $u (t)$ , la señal de salida es $\omega_1$ . Generador de señal auxiliar $F_2$ La señal de entrada es $y_p(t)$ , la señal de salida es $\omega_2$ . Señal de entrada completa $u (t)$ es de la forma:
$u(t)=k_{0} r(t)-\omega_{1}-\ omega_{2} \tag{7}$
Entre ellos, $k_0$ se suma a la entrada de referencia Ganancia ajustable después de $r$ $($ $t$ $) .$

El siguiente diseño generador de señal auxiliar $F_1$ y $F_2$ , ambos son $(n - 1)$ sistema dinámico estable de orden. $F_1$ La expresión del espacio de estados y la función de transferencia de son:
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{v}}_{1}&= \ boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{b} u \\ \omega_{1}&=\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{v}_{1} \ end {alineado} \tag{8}$

$W_{1}(s)=\boldsymbol{c}^{T}(s \boldsymbol{I }-\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{b}=\frac{C(s)}{N(s)} \tag{9}$

En la fórmula, $\boldsymbol{v}_{1}$ para $(n - 1)$ vector columna dimensional, $\boldsymbol{\Lambda}$ es $\times (n-1)$ matriz, $\boldsymbol{c}$ es $(n - 1)$ vector columna dimensional.

$F_{2}$ se puede describir mediante la siguiente fórmula $F$ ：
$\begin{alineado} \dot{\boldsymbol{v}}_{2}&=\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{b} y_{p} \\ \omega_{2}&=\boldsymbol{d}^{T} \boldsymbol{v}_{2}+d_{0 } y_{p} \end{alineado} \tag{10}$

$W_{2}(s)=d_{0}+\boldsymbol{d }^{T}(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{b}=\frac{D(s)}{N(s)}+d_{0} \tag{11}$

En la fórmula, $\boldsymbol{v}_{2}$ para $(n - 1)$ vector columna dimensional, $\boldsymbol{d}$ es $(n - 1)$ vector columna dimensional. $F_{1}$ y $F_{2}$ $\boldsymbol{\Lambda}$ en la ecuación de estado compartida $Λ$ y $\boldsymbol{b}$ Sea $b$
$\bold symbol{\Lambda}=\left[\begin{array } {ccc}0&&\\\\vdots&I_{n-2}&\\0&&\\-l_{1}&\cdots&-l_{n-1}\end{array}\right] , \quad \símbolo de bola{ b}=\left[\begin{matriz}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{matriz}\right] \tag{12}$
La matriz de parámetros $\boldsymbol{c}$ y $\boldsymbol{d}$ también define:
$\bold symbol{c}^{T}=\left[\begin {array}{llll}c_{1}&c_{2}&\cdots&c_{n-1}\end{array}\right], \quad\símbolo de bola{d}^{T}=\left[\ begin{ array}{llll} d_{1} & d_{2} & \cdots & d_{n-1} \end{array}\right] \tag{13}$
En resumen, el objeto controlado $W_{p}(s)$ , generador de señal auxiliar $W_{1}(s)$ , $W_{2}(s)$ y ganancia ajustable $k_{0}$ La función de transferencia del sistema ajustable es la siguiente:
$\begin{alineado} W(s)=\frac{y_{p}(s)}{r(s)} &=\frac{k_{0} W_{p}(s)}{1+W_ {1 }(s)+W_{2}(s) W_{p}(s)} \\ &=\frac{k_{0} k_{p} Z_{p}(s) N(s)}{ [N(s)+C(s)] R_{p}(s)+k_{p} Z_{p}(s)\left[d_{0} N(s)+D(s)\right]} \end {alineado} \tag{14}$
Para que la función de transferencia del sistema ajustable sea consistente con la función de transferencia del modelo de referencia, es decir,
$=\frac{k_{m } Z_{m}(s)}{R_{m}(s)} \tag{15}$
requiere:
$k_{0} = \frac{k_{m}}{k_{p}} \tag{16}$

$Z_{m}(s) \tag{17}$

$R_{p}(s)+k_{p} Z_{p}(s) } {\left[d_{0} N(s)+D(s)\ derecha]=R_{m}(s) Z_{p}(s) } \tag{18}$

Para aplicar la teoría de la estabilidad de Lyapunov para diseñar la ley adaptativa, el sistema ajustable y el modelo de referencia deben reescribirse en forma de ecuación de estado.

Usa $\boldsymbol{\omega}$ representa el vector de señal en el sistema ajustable:
$\boldsymbol{\omega}^{T}=\left[\begin{array}{llll } r & -\boldsymbol{v}_{1}^{T} & -y_{p} & -\boldsymbol{v}_{2}^{T} \end{matriz}\right] \tag{19 }$
用 $\boldsymbol{\theta}^{T}$ representa el vector de parámetros ajustables en el sistema ajustable:
$\boldsymbol{\theta}^{T}=\left[\begin{array}{llll} k_ {0} & \boldsymbol{c}^{T} & d_{0} & \boldsymbol{d}^{T} \end{matriz}\right] \tag{20}$
Entonces la señal de control en (7) puede reescribirse como sigue:
$u=\boldsymbol{\theta}^{T} \boldsymbol{\omega} \tag{21}$
El sistema ajustable final se puede reescribir como la siguiente ecuación de estado:
$\left[\begin{array}{c} \dot{\boldsymbol{x}}_{p} \\ \dot{\boldsymbol{v}}_{1} \\ \ punto {\boldsymbol{v}}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{A}_{p} & 0 & 0 \\ 0 & \ boldsymbol {\Lambda} & 0 \\ \boldsymbol{b} \boldsymbol{h}^{T} & 0 & \boldsymbol{\Lambda} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l } \boldsymbol{x}_{p} \\ \boldsymbol{v}_{1} \\ \boldsymbol{v}_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ c } \boldsymbol{b}_{p} \\ \boldsymbol{b} \\ 0 \end{array}\right] \boldsymbol{\theta}^{T} \boldsymbol{\omega} \tag{22}$
设 $\boldsymbol{\theta}=\overline{\boldsymbol{\theta}}+\boldsymbol{\Psi}$ , si el modelo de referencia coincide exactamente con el sistema ajustable, entonces $\boldsymbol{\Psi}=0$ _

Sea el error entre la salida del objeto de control y la salida del modelo de referencia e $e_{1}$ ，则有
$e_{1}=y_{p}-y_{m}=\boldsymbol{h}_{c}^{ T}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{mc}\right)=\boldsymbol{h}_{c}^{T} \boldsymbol{e} \tag{23}$
Seleccione la función de Lyapunov como
$V=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{e}^{T} \boldsymbol {P} \boldsymbol{e}+\boldsymbol{\Psi}^{T} \boldsymbol{\Gamma}^{-1} \boldsymbol{\Psi}\right) \tag{24}$
En la fórmula $($ $24$ $)$ $\boldsymbol{P}$ y $\boldsymbol{\Gamma}$ es una matriz simétrica definida positiva, encuentre $V$ 对时间的导数：
$\dot{V}=\frac{1 {2} \boldsymbol{e}^{T}\left(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}_{c}+\boldsymbol{A}_{c}^{T} \boldsymbol{P}\ derecha) \boldsymbol{e}+\boldsymbol{\Psi}^{T}\left(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{b}_{c}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e} +\boldsymbol{\Gamma}^{-1} \dot{\boldsymbol{\Psi}}\right) \tag{25}$
La ley adaptativa final
$\dot{\boldsymbol{\Psi}}=-\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{b}_{ c}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e} \tag{26}$
又 $\boldsymbol{b}_{c}^{T} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{h}_{c}^{T}$ ，则
$\dot{\boldsymbol{\theta}}=\dot{\boldsymbol{\Psi}}=-\boldsymbol{\ Gamma} \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{h}_{c}^{T} \boldsymbol{e}=-\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{\omega} e_{1} \tag{27}$

3. Resolución de problemas

De la derivación anterior se puede ver que para diseñar el MRACS utilizando el esquema de Narendra, es necesario introducir un generador de señal auxiliar $F_{1}$ y $F_{2}$ . Toda la configuración de parámetros y la ley autoadaptativa del diseño consisten en determinar el vector de parámetros $\boldsymbol{\theta}^{T}=\left[\begin{array}{llll } k_{ 0} & \boldsymbol{c}^{T} & d_{0} & \boldsymbol{d}^{T} \end{matriz}\right]$ 。

De acuerdo con la fórmula (4) y la fórmula (6) en el proceso de derivación, establezca:
$y_{p}=W_{p}(s) u=\frac{k_{p} Z_{p}(s)}{R_{p}(s ) } u, \quad y_{m}=W_{m}(s) r=\frac{k_{m} Z_{m}(s)}{R_{m}(s)} r \tag{28}$
Combinado con el modelo específico dado en la pregunta, podemos obtener:
$\begin{array}{crr} R_{p}(s)=s^{2}+8 s+20 , & Z_{p}(s)=s+1, & k_{p}=1 \\ R_{m}(s)=s^{2}+13 s+40, & Z_{m}(s) =s +5, & k_{m}=6 \end{matriz} \tag{29}$
Generador de señal auxiliar $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 分别为：
$\dot{v}_{1}=-l v_{1}+u, \quad \omega_{1}=c v_{1}, \quad W_{1}(s)=\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{c}{s+l} \tag{30}$

$\dot{v}_{2}=-l v_{2}+y_{p}, \quad \omega_{2}=d v_{2}+d_{0} y_{p}, \quad W_{2}(s)=d_{0}+\frac{D(s)}{N(s)}=d_{0}+\frac{d}{s+l} \tag{31}$

Sea el error de salida $e_{1}$ y vector de parámetros ajustable $\boldsymbol{\theta}$ son:
$e_{1}=y_{p}-y_{m} \tag{32}$

$\símbolo de bola {\theta}^{T}=\left[\begin{array}{llll} k_{0} & c & d_{0} & d \ fin {matriz}\right] \tag{33}$

del sistema ajustable $W (s)$ 为：
$\begin{alineado} W(s) &=\frac{k_ {0}(s+1)(s+l)}{(s+l+c)\left(s^{2}+8 s+20\right)+(s+1)\left[d_{0 }(s+l)+d\right]} \\ &=\frac{k_{m} Z_{m}(s)}{R_{m}(s)}=\frac{6(s+5) {s^{2}+13 s+40} \end{alineado} \tag{34}$
De la fórmula (16), sabemos que $\bar{k}_{0}=k_{m} / k_{p}=6$ _

Según la fórmula (17), $N(s)=s+l=Z_{m}(s)=s+5$ , entonces $yo = 5$ _

en $W (s)$ requiere que el numerador y el denominador tengan un factor común $(s + 1)$ , entonces $s+l+\bar{c}=s+1$ , entonces $\bar{c}=-4$ _

en Eliminar el factor común $del numerador y denominador de W$ $($ $s$ $)$ $(s + 1)$ , podemos obtener $\bar{d_{0}}=5$ ， $\bar{d}=-5$ 。

En (27) sea $\boldsymbol{\Gamma}$ es la matriz identidad, entonces la ley adaptativa es la siguiente:
$\dot{ k}_ {0}=-r e_{1}, \quad \dot{c}=v_{1} e_{1}, \quad \dot{d}_{0}=y_{p} e_{1 }, \ quad \dot{d}=v_{2} e_{1} \tag{35}$
, la ley adaptativa continua anterior se discretiza y se usa en experimentos de simulación numérica reales. Deje que el tamaño del paso de integración numérica sea $h$ , el vector de estado del modelo de referencia y el vector de estado del objeto de control en cada momento son los siguientes:
$\begin{alineado} \boldsymbol{x} _ {m}(k+1)&=\boldsymbol{x}_{m}(k)+h\left[\boldsymbol{A}_{m}(k) \boldsymbol{x}_{m}( k) +\boldsymbol{B}_{m}(k) r(k)\right] \\ \boldsymbol{x}_{p}(k+1)&=\boldsymbol{x}_{p}( k) +h\left[\boldsymbol{A}_{p}(k) \boldsymbol{x}_{p}(k)+\boldsymbol{B}_{p}(k) u(k)\right ] \ end{alineado} \tag{36}$
La salida del modelo de referencia y la salida del objeto de control en cada momento son las siguientes:
$y_{m}(k )=\ boldsymbol{h}^{T} \boldsymbol{x}_{m}(k), \quad y_{p}(k)=\boldsymbol{h}^{T} \boldsymbol{x}_{ p}(k) \tag{37}$
introdujo dos generadores de señales auxiliares $F_{1}$ y $F_{2}$ El vector de estado de es el siguiente:
$\begin{aligned} v_{1}(k+1)&=v_{1}(k)+h\left[\boldsymbol{\Lambda } v_{ 1}(k)+\boldsymbol{b} u(k)\right] \\ v_{2}(k+1)&=v_{2}(k)+h\left[\boldsymbol{\ Lambda} v_ {2}(k)+\boldsymbol{b} y_{p}(k)\right] \end{alineado} \tag{38}$
Después de discretizar la ley adaptativa final, se puede escribir como
$\boldsymbol{\theta}(k+ 1 )=\boldsymbol{\theta}(k)-h \boldsymbol{\omega}(k) e_{1}(k) \tag{39}$
Bajo la entrada de señal de paso, la salida $y_m(t)$ 、 $y_p(t)$ y su error $e$ , y la señal de control integrada $La curva de cambio de u (t)$ se muestra en la Figura.

inserte la descripción de la imagen aquí

Figura 1. Bajo la entrada de señal de paso, la salida y el error del modelo de referencia y el sistema ajustable, y la curva de cambio de la señal de control integrado

Debajo de la entrada de señal de paso, las curvas cambiantes de los cuatro parámetros ajustables se muestran en la Figura 2.

inserte la descripción de la imagen aquí

Figura 2. Curvas de cambio de cuatro parámetros ajustables bajo entrada de señal de paso

Con una entrada de señal de onda cuadrada, la salida $y_{m}(t)$ 、 $y_p(t)$ y su error $e$ , y la señal de control integradaLa curva de variación de $u$ $($ $t$ $)$ se muestra en la Fig.3.
inserte la descripción de la imagen aquí

Figura 3. Bajo la entrada de señal de onda cuadrada, la salida y el error del modelo de referencia y el sistema ajustable, y la curva de cambio de la señal de control integrado

Bajo la entrada de la señal de onda cuadrada, las curvas cambiantes de los cuatro parámetros ajustables se muestran en la Figura 4.

inserte la descripción de la imagen aquí

Figura 4. Curvas de cambio de cuatro parámetros ajustables bajo entrada de señal de onda cuadrada

Apéndice: Implementación del código MATLAB

% 课本习题3.5-用Narendra方案设计MRACS，并比较输入为阶跃信号和方波信号时
% 系统的输出误差和可调参数的变化过程。
clear, clc;
close all;

% 数值积分步长和仿真步数
h = 0.01; L = 40/h;

% 可调系统参数
nump = [1, 1];          % 可调系统分子多项式系数
denp = [1, 8, 20];      % 可调系统分母多项式系数
[Ap, Bp, Cp, Dp] = tf2ss(nump, denp);   % tf2ss()函数从系统的传递函数建立系统的状态空间模型
n = size(Ap, 1);        % 状态向量的维数
% 参考模型参数
numm = 6*[1, 5];        % 参考模型分子多项式系数
denm = [1, 13, 40];     % 参考模型分母多项式系数
[Am, Bm, Cm, Dm] = tf2ss(numm, denm);
% 辅助信号发生器参数
Af = -5;                    % 通过推导得出的最佳辅助信号发生器的A矩阵参数
Bf = [zeros(n-2, 1); 1];

% 设定所有参数初始值
yr0=0;yp0=0;u0=0;e0=0;
v10=zeros(n-1,1);v20=zeros(n-1,1);
xp0=zeros(n,1);xm0=zeros(n,1);
theta0=zeros(2*n,1);
% r=2;yr=r*[ones(1,L/4) -ones(1,L/4) ones(1,L/4) -ones(1,L/4)];
yr=[zeros(1,L/4) ones(1,L/4) ones(1,L/4) ones(1,L/4)];

% 初始分配参数空间
time = zeros(1, L);         % 用于记录仿真的时刻，对应绘图的横轴
u = zeros(1, L);            % 控制对象的综合输入信号(L个值)
xp = zeros(n, L);           % 可调系统的状态向量(L个n维向量)
yp = zeros(1, L);           % 可调系统的输出(L个值)
xm = zeros(n, L);           % 参考模型的状态向量(L个n维向量)
ym = zeros(1, L);           % 参考模型的输出(L个值)
e = zeros(1, L);            % 输出误差(L个值)
theta = zeros(4, L);        % 可调系统中的可调参数向量(L个4维向量)

for k = 1:L
    time(k) = k*h;
    % 被控对象
    xp(:,k) = xp0+h*(Ap*xp0+Bp*u0);
    yp(k) = Cp*xp(:,k);
    % 参考模型
    xm(:,k) = xm0+h*(Am*xm0+Bm*yr0);
    ym(k) = Cm*xm(:,k);
    % 输出误差
    e(k) = yp(k)-ym(k);
    
    v1 = v10+h*(Af*v10+Bf*u0);      % 辅助信号发生器F1的状态向量
    v2 = v20+h*(Af*v20+Bf*yp0);     % 辅助信号发生器F2的状态向量
    
    omega0 = [yr0; -v10; -yp0; -v20];
    theta(:,k) = theta0-h*omega0*e0;
    omega = [yr(k); -v1; -yp(k); -v2];  % 可调系统中的信号向量
    u(k) = theta(:,k)' * omega;
    
    % 将本轮求解得到的参数赋值给参数初始值，方便下一轮迭代使用
    u0 = u(k);
    xp0 = xp(:,k);
    yp0 = yp(k);
    xm0 = xm(:,k);
    yr0 = yr(k);
    e0 = e(k);
    v10 = v1;
    v20 = v2;
    omega0 = omega;
    theta0 = theta(:,k);
end

figure(1)
subplot(2,1,1);
plot(time, ym, 'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2)
hold on
plot(time, yp, 'Color', 'r', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.1);
plot(time, e, 'Color', 'k', 'LineStyle', ':', 'LineWidth', 1.8);
hold off
xlabel('t');
ylabel('y_m(t)、y_p(t)');
legend('y_m(t)','y_p(t)','e');
subplot(2,1,2);
plot(time, u, 'LineWidth', 1.4);
xlabel('t');
ylabel('u(t)');

figure(2)
plot(time, theta(1,:), 'Color', 'r', 'LineWidth', 1.2)
hold on
plot(time, theta(2,:), 'Color', 'black', 'LineWidth', 1.1)
plot(time, theta(3,:), 'Color', 'g', 'LineWidth', 1.3)
plot(time, theta(4,:), 'Color', 'b', 'LineWidth', 1.5)
hold off
xlabel('t');ylabel('可调参数');
legend('k_0','c','d_0','d');

bibliografía

Li Yanjun, Zhang Ke. Teoría y aplicación del control adaptativo[M].Northwestern Polytechnical University Press, 2005.

Control adaptativo——Experimento de simulación 2 usando el sistema adaptativo de referencia del modelo de diseño del esquema de Narendra

Control adaptativo——Experimento de simulación 2 usando el sistema adaptativo de referencia del modelo de diseño del esquema de Narendra

1. Descripción del problema

2. Modelado de problemas

3. Resolución de problemas

Apéndice: Implementación del código MATLAB

bibliografía

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