1. Descripción del problema

Sea la función de transferencia del objeto de control
$W_{p}(s)=\frac{k_{1}} {T_ {1}^{2} s^{2}+2 T_{1} \xi_{1} s+1} \tag{1}$
Parámetro $k_1$ ， $T_{1}$ y $\xi_{1}$ La ley de cambio con el tiempo es
$k_{1}(t) =1.12 -0,008 t, \quad T_{1}(t)=0,036+0,004 t, \quad \xi_{1}(t)=0,8-0,01 t \tag{2}$
Sea la función de transferencia del modelo de referencia
$W_{m}(s)=\frac{1}{ 0,08^ {2} s^{2}+2 \times 0,08 \times 0,75 s+1} \tag{3}$
diseñar un modelo de sistema adaptativo de referencia utilizando la teoría de la ultraestabilidad.

Suponiendo entrada de referencia del sistema:

$r (t)$ es una señal de onda cuadrada con un período de 4s y una amplitud de $\pm 2$ _

Diseñe la ley adaptativa y proporcione los resultados de la simulación.

2. Modelado de problemas

Este experimento de simulación está dirigido principalmente al sistema de control adaptativo de referencia de modelo paralelo con filtro de variable de estado (caso 1). Sea la ecuación del modelo de referencia:
$\left(\sum_{i=0}^{n} a_{mi} p ^ {i}\right) y_{m}=\left(\sum_{i=0}^{m} b_{mi} p^{i}\right) r, a_{mn}=1 \tag{4 }$
La ecuación del filtro de variable de estado conectado a la salida del modelo de referencia es:
$\left(\sum_{i= 0}^ {n-1} c_{i} p^{i}\right) y_{mf}=y_{m}, c_{n-1}=1 \tag{5}$
La ecuación del filtro de variable de estado conectado a la entrada del sistema ajustable es:
$\left(\sum_{i= 0} ^{n-1} c_{i} p^{i}\right) r_{f}=r, c_{n-1}=1 \tag{6}$
可调系统方程为：
$\left(\sum_{i=0}^{n} a_{si}(v, t) p^{i}\right) y_{sf}=\left(\sum_{i=0}^{m} b_{si}(v, t) p^{i}\right) r_{f}, a_{sn}(v, t)=1 \tag{7}$
El error de salida generalizado es:
$\varepsilon_{f}=y_{mf}-y_{sf} \tag{8}$
Para asegurar que el bloque directo equivalente sea estrictamente positivo, se introduce un compensador en serie:
$\varepsilon_{f}=\left(\sum_{i=0}^{n-1} d_{i} p^{i}\right) \varepsilon_{f} \tag{9}$ $a_{si}(v,t)$
en el sistema ajustable $a_{y} (v, t)$ 及 $b_{si}(v,t)$ ，采取PI控制，则自适应规律为
$\begin{alineado} a_{si}(v, t)&=\int_{0}^{t} \varphi_{1 i}(v, t, \tau) d \ tau+\varphi_{2 i}(v, t)+a_{si}(0), i=0,1, \cdots, n-1 \\ b_{si}(v, t)&=\int_{0 }^{t} \psi_{1 i}(v, t, \tau) d \tau+\psi_{2 i}(v, t)+b_{si}(0), i=0,1, \cdots , m \end{alineado} \tag{10}$
Al intercambiar la posición del modelo de referencia y el filtro de variable de estado, la ecuación del modelo de referencia con la misma forma que (7) se puede obtener de la siguiente manera:
$\left(\sum_{i=0}^{n} a_{mi} p^{i}\right) y_{mf}=\left(\sum_{i=0} ^{m} b_{ mi} p^{i}\right) r_{f}, a_{mn}=1 \tag{11}$
结合(7)式，(11)式和(8)式，可推导出
$\left(\sum_{i=0}^{n} a_{mi} p^{i}\right) \varepsilon_{f}=\left[\ sum_{i=0}^{n}\left(a_{si}-a_{mi}\right) p^{i}\right] y_{sf}+\left[\sum_{i=0}^{ n}\left(b_{mi}-b_{si}\right) p^{i}\right] r_{f} \tag{12}$
令
$\omega_{1}=\left[\sum_ {i=0}^{n}\left(a_{si}-a_{mi}\right) p^{i}\right] y_{sf}+\left[\sum_{i=0}^{n }\left(b_{mi}-b_{si}\right) p^{i}\right] r_{f} \tag{13}$
en ( 12 ) desigualdad
$\left ( \ sum_ { i = 0 } ^ { n } a_ { mi } pags ^ { i } \ right ) \ varepsilon_{f}=\omega_{13} \tag{14}$
Sustituyendo la ley adaptativa (10) para la selección de parámetros ajustables en el sistema ajustable en (13), la salida de la caja de retroalimentación $\omega$ 的形式如下：
$\begin{alineado} \omega=-\omega_{1}=&-\left\{\sum_{i=0}^{n-1}\right. {\left.\left[\int_{0}^{t} \varphi_{1 i}(v, t, \tau) d \tau+\varphi_{2 i}(v, t)+a_{si}( 0)-a_{mi}\right] p^{i}\right\} y_{sf} } \\ &+\left\{\sum_{i=0}^{n-1}\left[\int_ {0}^{t} \psi_{1 i}(v, t, \tau) d \tau+\psi_{2 i}(v, t)+b_{si}(0)-b_{mi}\right ] p^{i}\right\} r_{f} \end{alineado} \tag{15}$
由波波夫积分不等式，及引理1和引理2，可得自适应规律
$\begin{alineado} \varphi_{1 i}&=-k_{ai}(t-\tau) v(\tau) p^{i} y_{sf}(\tau), \quad \tau \leq t, i=0,1, \cdots, n-1 \\ \varphi_{2 i}&=-k_{ai}^{\prime}(t) v(t) p^{i} y_{sf} (t), \quad i=0,1, \cdots, n-1 \\ \psi_{1 i}&=k_{bi}(t-\tau) v(\tau) p^{i} r_{ f}(\tau), \quad \tau \leq t, i=0,1, \cdots, m \\ \psi_{2 i}&=k_{bi}^{\prime}(t) v(t ) p^{i} r_{f}(t), \quad i=0,1, \cdots, m \end{alineado} \tag{16}$
式中， $k_{ai}(t-\tau)$ suma $k_{bi}(t-\tau)$ son núcleos integrales escalares definidos positivos, y su transformación de Laplace está en $s =$ Una función de transferencia real positiva con un polo en $0$ $k_{ai}^{\prime}$ suma $k_{bi}^{\prime}$ en $t\ge0$ es una ganancia escalar no negativa.

3. Resolución de problemas

Escriba el modelo de referencia dado en la pregunta original y la función de transferencia del sistema ajustable en forma de ecuación de entrada-salida:
$\begin{reunidos} &\left(0.08^{2} p^{2}+2 \times 0.08 \times 0.75 p+1 \right) y_ {m}=r \\ &\left(T_{1}^{2} p^{2}+2 T_{1} \xi_{1} p+1\right) y_{sf}= k_{1} r_{f} \end{reunidos} \tag{17}$
Luego escriba la fórmula anterior en la forma del primer polinomio de Goulwitz:
$\begin{reunidos} \left(p^{2}+\frac{2 \times 0.08 \times 0.75}{0.08 ^ {2}} p+\frac{1}{0.08^{2}}\right) y_{m}=\frac{1}{0.08^{2}} r \\ \left(p^{2}+ \ fracción{2 T_{1} \xi_{1}}{T_{1}^{2}}+\frac{1}{T_{1}^{2}}\right) y_{sf}=\frac { k_{1}}{T_{1}^{2}} r_{f} \end{reunidos} \tag{18}$
Comparando con la fórmula (7) y la fórmula (11), puede verse que los parámetros relevantes son los siguientes:

$\begin{alineado} &a_{m 1}=\frac{2 \times 0,08 \times 0,75} {0,08^{2}}=18,75 \\ &a_{m 0}=\frac{1}{0,08^{2}}=156,25 \\ &b_{m 0}=\frac{1}{0,08^{2} }=156,25 \\ &a_{s 1}(v, t)=\frac{2 T_{1}(t) \xi_{1}(t)}{T_{1}^{2}(t)}= \frac{2(0,8-0,01 t)}{(0,036+0,004 t)} \\ &a_{s 0}(v, t)=\frac{1}{T_{1}^{2}(t)} =\frac{1}{(0,036+0,004 t)^{2}} \\ &b_{s 0}(v, t)=\frac{k_{1}(t)}{T_{1}^{2 }(t)}=\frac{1.12-0.008 t}{(0.036+0.004 t)^{2}} \end{alineado} \tag{19}$

Además, $a_{s 1}(0) \approx 44.4$ ， $a_{s 0}(0) \approx 771.6$ ， $b_{s 0}(0) \aprox. 864,2$ _

Sea el error generalizado de la salida
$\varepsilon_{f}=y_{mf}-y_{sf} \tag{20}$
La ecuación del compensador en serie es
$\varepsilon_{f}=\left(d_{1} p +d_{0}\right) \varepsilon_{f} \tag{21}$
La ley adaptativa seleccionada es la siguiente

$\begin{alineado} a_{si}(v, t)&=\int_{ 0}^{t} \varphi_{1 i}(v, t, \tau) d \tau+\varphi_{2 i}(v, t)+a_{si}(0), i=0,1 \\ b_{s 0}(v, t)&=\int_{0}^{t} \psi_{10}(v, t, \tau) d \tau+\psi_{20}(v, t)+b_{ s 0}(0) \end{alineado} \tag{22}$
Haciendo referencia a la forma de (16), la ley adaptativa de los parámetros ajustables se puede obtener de la siguiente manera:
$\begin {alineado} \varphi_{1 0}&=-k_{a 0}(t-\tau) v(\tau) y_{sf}(\tau), \quad \tau \le t \\ \varphi_{2 0} &=-k_{a 0}^{\prime}(t) v(t) y_{sf}(t) \\ \varphi_{1 1}&=-k_{a 1}(t-\tau ) v (\tau) p y_{sf}(\tau), \quad \tau \le t \\ \varphi_{2 1}&=-k_{a 1}^{\prime}(t) v(t ) p y_{sf}(t) \\ \psi_{1 0}&=k_{b 0}(t-\tau) v(\tau) r_{f}(\tau), \quad \tau \leqslant t \ \ \psi_{2 0}&=k_{b 0}^{\prime}(t) v(t) r_{f}(t) \end{alineado} \tag{23}$

En la fórmula, $k_{a 0}(t-\tau)$ 、 $k_{a 1}(t-\tau)$ suma $k_{b 0}(t-\tau)$ es un núcleo integral definido positivo, $k_{a 0}^{\prime}(t)$ 、 $k_{a 1}^{\prime}(t)$ y $k_{b 0}^{\prime}(t)$ 对 $\forall t \ge 0$ es una ganancia escalar no negativa.

$d_0$ en el compensador en serie presentado $d$ y $d_1$ El rango de valores de , la función de transferencia de bloque lineal directa equivalente del sistema es:
$h(s)=\frac { d_1(s)+d_0} {s^2+a_{m1}s+a_{m0}} \tag{24}$
La forma estándar controlable correspondiente es la siguiente:
$\begin{aligned} \boldsymbol{\dot e} &= \boldsymbol{A_m} \boldsymbol {e} + b \omega_1 \\ v &= d^T \boldsymbol{e} \end{alineado} \tag{25}$
Por ejemplo, $\bold symbol{e}=\left[ \begin{matrix} \varepsilon \\ \dot \varepsilon \end{matrix}\right]$ , $\boldsymbol{A_m}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -a_{m0} & -a_{m1} \end{matrix} \bien]$ , $b=\left[ \begin{matriz} 0 \\ 1 \end{matriz} \right]$ , $d=\left[ \begin{matriz} d_0 \\ d_1 \end{matriz} \right]$ 。

requieren $h (s)$ es una función de transferencia real estrictamente positiva, entonces debe haber una matriz simétrica definida positiva $P$ y $Q$ , por lo que la ecuación (26) se cumple:
$\left\{ \begin{aligned} &P A_m + A_m^TP = -Q\\ &P b = d \ end{alineado} \right.\tag{26}$
Entonces se puede resolver:
$d_0 > 0, \quad \frac {d_1} {d_0} > \frac {1} {a_{ m_1}} =0.053 \tag{27}$

El diagrama de bloques del modelo de simulación final se muestra en la Figura 1: