Inhaltsverzeichnis

1. Berechnung der Determinante der quadratischen Matrix

2. Kumulierte Summe und kumuliertes Produkt

6. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

1. Berechnung der Determinante der quadratischen Matrix

Um in der linearen Algebra eine quadratische Matrix auszuwerten, muss diese zunächst in eine Determinante umgewandelt werden. MATLAB stellt die det-Funktion zum Auswerten der Determinante einer quadratischen Matrix bereit und berechnet schließlich den umgewandelten Determinantenwert.

Zum Beispiel:

A=[3,4,8;5,1,9;10,12,4];
B=det(A)

Das berechnete Ergebnis ist 368.

Es ist zu beachten, dass die berechnete Matrix eine quadratische Matrix sein muss, da das Programm sonst einen Fehler meldet.

2. Kumulierte Summe und kumuliertes Produkt

Bei der Datenverarbeitung ist es häufig erforderlich, kumulative Summen- und kumulative Produktoperationen für alle Daten durchzuführen. Die folgenden Berechnungen werden in MATLAB durchgeführt, um die kumulative Summe und das kumulative Produkt zu veranschaulichen.

(1) Gesamtsumme

In MATLAB bezieht sich die kumulative Summe des i-ten Elements auf die kumulative Summe aller Elemente vom ersten aller Daten bis zum Ende des i-ten Elements. Unter der Annahme, dass die kumulative Summe des i-ten Elements ist $s_i$ und die vorherigen Daten sind $x_1,x_2,x_3,...,x_i$ , kann die Formel wie folgt abgeleitet werden:

$s_i=\sum_{1}^{i}x_i$

MATLAB stellt die Funktion „comsum“ bereit, um die kumulative Summe vom ersten bis zum i-ten Element zu berechnen. Das Aufrufformat lautet wie folgt (wobei V einen Vektor und A eine Matrix darstellt):

cumsum(V): Lösen Sie die kumulative Summe des Vektors V.
cumsum(A): Wenn die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, dann gibt die Funktion cumsum(A) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten sowie das Element in Zeile i und Spalte j der Matrix zurück berechnet die j-Spalte der Originalmatrix. Die kumulative Summe der Elemente von Zeile 1 bis Zeile i.
cumsum(A,num): Wenn num=1 ist, ist der Effekt derselbe wie bei cumsum(A). Wenn die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, gibt die Funktion cumsum(A,1) a zurück Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Das Element in Zeile i und Spalte j der Matrix berechnet die kumulative Summe der Elemente in Spalte j der ursprünglichen Matrix vom Element in Zeile 1 bis zum Element in Zeile i. Wenn num = 2 ist und die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, gibt die Funktion cumsum(A,2) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten sowie die Elemente in Zeile i und Spalte j zurück Die Matrix berechnet das Original Die kumulative Summe der i-ten Zeile der Matrix vom 1. Spaltenelement bis zum j-ten Spaltenelement.
cumsum(A(:)): Berechnen Sie die kumulative Summe aller Elemente vom ersten Element bis zur Position des Elements in der Matrix. Die Berechnungsreihenfolge besteht darin, von jeder Zeile der ersten Spalte zu akkumulieren. Wenn die erste Spalte vollständig addiert ist , die zweite Spalte wird hinzugefügt...das letzte Element ist die kumulative Summe aller Elemente in der Matrix.

Um beispielsweise die kumulative Summe der Elemente eines Vektors zu berechnen:

V=[2,3,4,5,6,4,6];
x=cumsum(V)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

x =
     2     5     9    14    20    24    30

Berechnet die kumulative Summe der Elemente in jeder Spalte einer Matrix vom Element in Zeile 1 bis zum Element in der entsprechenden Zeile.

A=[3,4,5,7;4,9,10,13;13,10,11,24];
x=cumsum(A)

Das Ergebnis nach dem Ausführen ist wie folgt:

x =
     3     4     5     7
     7    13    15    20
    20    23    26    44

Unter der Annahme, dass die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, berechnen Sie die kumulative Summe jeder Zeile der Matrix vom Element in Spalte 1 bis zum Element in Spalte j und die kumulative Summe jeder Spalte der Matrix aus Reihe 1 bis Reihe i:

A=[3,4,5,7;4,9,10,13;13,10,11,24];
x=cumsum(A,1)
y=cumsum(A,2)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

x =

     3     4     5     7
     7    13    15    20
    20    23    26    44
y =

     3     7    12    19
     4    13    23    36
    13    23    34    58

Berechnen Sie die kumulative Summe aller Elemente in einer Matrix:

A=[32,4,16,20;31,24,15,19;10,12,18,22;41,22,20,26];
x=cumsum(A(:))

Das Ergebnis der Operation ist wie folgt:

Wie aus den obigen Ergebnissen ersichtlich ist, beträgt die kumulative Summe der Matrix 332.

(2) kumulatives Produkt

In MATLAB bezieht sich das kumulative Produkt des i-ten Elements auf das Produkt der kumulativen Multiplikation aller Elemente vom ersten Element aller Daten bis zum Ende des i-ten Elements. Unter der Annahme, dass das kumulative Produkt des i-ten Elements ist $s_i$ und die vorherigen Daten sind $x_1,x_2,x_3,...x_i$ , kann die Formel wie folgt abgeleitet werden:

$s_i=\prod_{1}^{k}x_i$

Die Funktion cumprod wird in MATLAB bereitgestellt. Zur Berechnung des kumulativen Produkts vom i-ten Element zum i-ten Element lautet das Aufrufformat wie folgt (wobei v einen Vektor und A eine Matrix darstellt):

cumprod(V): Lösen Sie das kumulative Produkt des Vektors V.
cumprod(A): Wenn die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, dann gibt die Funktion cumprod(A) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten sowie das Element in Zeile i und Spalte j der Matrix zurück Berechnet die j-Spalte der ursprünglichen Matrix. Das kumulative Produkt der Elemente von Zeile 1 bis Zeile i.
cumprod(A,num): Wenn num=1 ist, ist der Effekt derselbe wie bei cumprod(A). Wenn die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, gibt die Funktion cumprod(A,1) a zurück Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Das Element in Zeile i und Spalte j der Matrix berechnet das kumulative Produkt vom Element in Zeile 1 zum Element in Zeile i in Spalte j der ursprünglichen Matrix. Wenn num=2 und die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, gibt die Funktion cumprod(A,2) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten sowie die Elemente in Zeile i und Spalte j zurück Die Matrix berechnet das Original Das kumulative Produkt der i-ten Zeile der Matrix vom ersten Spaltenelement bis zum j-ten Spaltenelement.
cumpord(A(:)): Berechnen Sie das kumulative Produkt aller Elemente vom ersten Element bis zur Position des Elements in der Matrix. Die Berechnungsreihenfolge besteht darin, mit der ersten Spalte zu beginnen und in jeder Zeile eine kumulative Multiplikation durchzuführen. Nach dem In der ersten Spalte wird alles multipliziert. Multiplizieren Sie die zweite Spalte erneut. Das letzte Element ist das kumulative Produkt aller Elemente in der Matrix.

Um beispielsweise das kumulative Produkt der Elemente eines Vektors zu berechnen:

V=[2,1,3,4,5,2,3];
x=cumprod(V)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

x =
     2     2     6    24   120   240   720

Berechnen Sie das kumulative Produkt der Elemente in jeder Spalte einer Matrix vom Element in Zeile 1 bis zum entsprechenden Element:

A=[3,4,5,6;6,2,1,2;4,3,2,1];
x=cumprod(A)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

x =
     3     4     5     6
    18     8     5    12
    72    24    10    12

Unter der Annahme, dass die ursprüngliche Matrix eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist, berechnen Sie das kumulative Produkt jeder Zeile der Matrix vom Element in der ersten Spalte bis zum Element in der j-ten Spalte und berechnen Sie das kumulative Produkt jeder Spalte von die Matrix vom Element in der ersten Zeile bis zum Ende des Elements in der i-Zeile:

A=[3,4,5,7;4,9,10,13;13,10,11,24];
x=cumprod(A,1)
y=cumprod(A,2)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

x =

           3           4           5           7
          12          36          50          91
         156         360         550        2184
y =

           3          12          60         420
           4          36         360        4680
          13         130        1430       34320

Berechnen Sie das kumulative Produkt aller Elemente in einer Matrix:

A=[2,3,6;8,5,2;9,11,12];
x=cumprod(A(:))

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

Im obigen Operationsergebnis ist das letzte Element 3421440 das Produkt aller Elemente in der Matrix.

3. Sortieren Sie die Daten

Bei der Verarbeitung von Daten ist es häufig erforderlich, die Daten zu sortieren. Daher werden beim Schreiben eines Programms die Daten anhand der Seriennummer sortiert. Beispielsweise gibt es zehn klassische Sortieralgorithmen in der Datenstruktur. Auch in MATLAB steht die Sortierfunktion zum Sortieren der Daten zur Verfügung.

Die Sortierfunktion gibt eine neue Matrix zurück, die standardmäßig von klein nach groß sortiert ist.

sort(V): Sortieren Sie den Vektor V und das zurückgegebene Ergebnis ist ein Vektor, der von klein nach groß sortiert wurde.
sort(A): Sortiert die Elemente jeder Spalte der Matrix und gibt eine Matrix zurück, in der die Elemente jeder Spalte von klein nach groß sortiert sind.
sort(A,num): Wenn num=1, ist der Effekt derselbe wie bei sort(A) und gibt eine gute Matrix zurück, in der die Elemente jeder Spalte von klein nach groß sortiert sind; wenn num=2, für jede Matrix Eine Zeile wird sortiert und das zurückgegebene Ergebnis ist eine Matrix, in der die Elemente jeder Zeile von klein nach groß sortiert sind.
sort(A(:)): Gibt einen Spaltenvektor zurück, der alle Elemente der Matrix von klein nach groß sortiert.

Im Folgenden wird beispielsweise die Sortierfunktion verwendet, um einen Vektor zu sortieren:

V=[34,23,6,41,65,32,7,53];
V=sort(V)

Das Ergebnis nach der Operation ist wie folgt:

V =
     6     7    23    32    34    41    53    65

Es ist ersichtlich, dass der Vektor V nach dem Sortieren des Vektors durch die Sortierfunktion zu einem Vektor wird, in dem jedes Element in der Reihenfolge von klein nach groß angeordnet ist.

Als weiteres Beispiel verwenden Sie die Sortierfunktion, um jede Spalte der Matrix zu sortieren:

A=[2,5,3;6,10,7;4,9,11;12,4,3];
sort(A)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

ans =
     2     4     3
     4     5     3
     6     9     7
    12    10    11

Aus den obigen Operationsergebnissen ist ersichtlich, dass die Sortierfunktion die Elemente jeder Spalte der Matrix von klein nach groß sortiert.

Verwenden Sie als weiteres Beispiel die Sortierfunktion, um jede Zeile und Spalte der Matrix separat zu sortieren:

A=[2,5,3;6,10,7;4,9,11;12,4,3];
x=sort(A,1)
y=sort(A,2)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

x =

     2     4     3
     4     5     3
     6     9     7
    12    10    11
y =

     2     3     5
     6     7    10
     4     9    11
     3     4    12

Aus den obigen Berechnungsergebnissen ist ersichtlich, dass die Spalten und Zeilen der Matrix sortiert werden, wenn die Anzahl der Sortiervorgänge (A, Anzahl) 1 oder 2 ist.

Verwenden Sie die Sortierfunktion, um alle Elemente der Matrix zu sortieren:

A=[2,3,6;8,5,2;9,11,12];
sort(A(:))

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

Wie aus den laufenden Ergebnissen ersichtlich ist, gibt sort(A(:)) einen Spaltenvektor zurück, der alle Elemente der Matrix sortieren kann.

4. Ermitteln Sie den Rang der Matrix

Der Rang einer Matrix ist ein wichtiges Hilfsmittel zur linearen Korrelation von Matrizen und zur Lösung linearer Gleichungen. Die Definition lautet wie folgt: Der Rang einer Matrix ist ein Konzept in der linearen Algebra. In der linearen Algebra ist der Spaltenrang einer Matrix A die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten und der Zeilenrang die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen der Matrix. Das heißt, wenn die Matrix als Zeilenvektor oder Spaltenvektor betrachtet wird, ist der Rang der Rang dieser Zeilenvektoren und Spaltenvektoren, dh die Anzahl der Vektoren, die in der maximalen irrelevanten Gruppe enthalten sind. (Dieser Absatz definiert den Rang der Matrix aus der Baidu-Enzyklopädie )

In unserem eigentlichen Operationsprozess besteht die allgemeine Operationsweise darin, die Matrix in eine Zeilen-Echelon-Matrix umzuwandeln und die Anzahl der Zeilen in der gesamten Zeile zu berechnen, die nicht alle 0 sind. Diese Zahl ist der Rang der Matrix.

In MATLAB wird die Rangfunktion zur Berechnung des Rangs der Matrix bereitgestellt, zum Beispiel:

A=[1,2,3;2,4,6;8,4,7];
rA=rank(A)
B=[23,6,5;6,3,11;7,13,12];
rB=rank(B)

Das Ergebnis der Operation ist wie folgt:

rA =
     2
rB =
     3

Die obigen Berechnungsergebnisse zeigen, dass der Rang der Matrix A 2 ist, der Rang der Matrix B 3 ist und sowohl A als auch B Matrizen dritter Ordnung sind. Durch die Berechnung des Rangs der Matrix kann erhalten werden, dass A ist eine Matrix mit vollem Rang und B ist eine Matrix mit nicht erfülltem Rang.

5. Die Spur der Matrix

Für eine quadratische Matrix A wird die Summe aller Diagonalen auf der Diagonale der quadratischen Matrix als Spur der Matrix bezeichnet, was tr (A) ist. Offensichtlich ist die Berechnungsmethode für die Spur der Matrix:

$A_{11}+A_{22}+A_{33}+...+A_{nn}=tr(A)$

In MATLAB wird die Trace-Funktion der Berechnungsmatrix bereitgestellt. Zum Beispiel:

A=[4,5,3;7,5,3;9,11,3];
B=trace(A)

Das Ergebnis der Operation ist wie folgt:

B =
    12

6. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

Das Konzept der Eigenwerte wurde vom französischen Wissenschaftler Laplace im 19. Jahrhundert eingeführt, als er Himmels- und Erdmechanik studierte. In praktischen Anwendungen werden die Eigenwerte von Matrizen häufig verwendet.

Angenommen, A ist eine Matrix n-ter Ordnung, wenn die Zahl $\lambda$ und der n-dimensionale Nicht-Null-Vektor x die folgenden Bedingungen erfüllen:

$Ax=\lambda x$

Dann $\lambda$ ist es der Eigenwert der quadratischen Matrix A, und der Nicht-Null-Vektor x wird als $\lambda$ Eigenvektor des entsprechenden Eigenwerts der quadratischen Matrix A bezeichnet.

Die obige Formel kann auch in der Form geschrieben werden:

$(A-\lambda E)x=0$

Die Bedingungen dafür, dass die obige Formel eine Lösung ungleich Null hat, sind:

$|A-\lambda E|=0$

Man kann es auch wie folgt schreiben:

$\begin{pmatrix} A_{11}-\lambda & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22}-\lambda & \cdots & A_{2n} \\ \ vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}-\lambda \end{pmatrix}=0$

Die eig-Funktion wird in MATLAB bereitgestellt, um die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix zu berechnen. Das Aufrufformat lautet wie folgt:

e=eig(A): e ist ein Spaltenvektor und berechnet alle Eigenwerte in der Matrix A.
[V,R]=eig(A): R ist eine Diagonalmatrix, die aus den Eigenwerten der Matrix A besteht, die Elemente auf der Diagonalmatrix R sind alle Eigenwerte der Matrix A und V ist das entsprechende Eigenvektor jeder Spalte von A.

Verwenden Sie die eig-Funktion von MATLAB, um den Eigenwert der Matrix zu berechnen, zum Beispiel:

A=[0,1,1;1,0,1;1,1,0];
B=[4,5,5;3,6,7;8,9,4];
e1=eig(A)
e2=eig(B)

Das Ergebnis sieht so aus:

Ein anderes Beispiel:

A=[12,16,8;9,23,11;24,18,4]
[V,D]=eig(A)

Die Laufergebnisse sind wie folgt:

V =

   -0.4994   -0.4102   -0.1379
   -0.6110    0.5782   -0.3173
   -0.6143   -0.7053    0.9382
D =

   41.4154         0         0
         0    3.1994         0
         0         0   -5.6149

Aus dem obigen Inhalt können wir ersehen, dass die Eigenwerte der Matrix A 41,4154, 3,1994 bzw. -5,6149 sind und Matrix V der Eigenvektor jeder Spalte der Matrix A ist.

Lösen der Determinante der quadratischen Matrix in MATLAB, Lösen der kumulativen Summe und des kumulativen Produkts der Matrix, Sortieren der Matrix, Rang und Spur der Matrix und Lösen des Eigenwerts und Eigenvektors der Matrix

1. Berechnung der Determinante der quadratischen Matrix

2. Kumulierte Summe und kumuliertes Produkt

(1) Gesamtsumme

(2) kumulatives Produkt

3. Sortieren Sie die Daten

4. Ermitteln Sie den Rang der Matrix

5. Die Spur der Matrix

6. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

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