Fecha: 2_22
Nombre: Guo Yehao
Tema: Cálculo óptimo con múltiples variables
Referencia: Métodos y análisis de modelado matemático (Hua Zhang)
Escrito al frente: Después de leer el algoritmo de búsqueda aleatorio mencionado en esta sección, no puedo evitar hacer una analogía con un hecho interesante: el blog que escribí es solo leer notas, registrar algunos de mis pensamientos mientras leo, sin paráfrasis o en de una manera más detallada Presentar las teorías y métodos del libro, para que los espectadores no puedan esperar aprender ningún método específico al navegar por mi blog. Pero si los lectores leen el libro en persona, mi blog proporcionará información útil sobre el contenido de los capítulos correspondientes. Entonces, para aquellos estudiantes que tienen prisa (apurados o postularse directamente), lo que quieren hacer es encontrar la solución óptima. Al ingresar palabras clave para buscar muchos blogs en CSDN, la ubicación de una publicación es como En un proceso de búsqueda aleatoria, mi blog no es la solución óptima que ellos quieren, por lo que el aumento en las visitas a su página se debe al hecho de que el proceso de búsqueda aleatoria tuvo la suerte de ser elegido pero también descartado.
El
problema de optimización del paradigma de listas de texto es solo una parte del modelo, el objetivo final del modelado es resolver problemas prácticos, por lo que la solución del modelo es fundamental, y este paso suele ser el conteo manual que no se puede resolver. Esta sección presenta principalmente dos métodos operables de cálculo de optimización (multivariante): algoritmo de búsqueda aleatoria y algoritmo de gradiente. Durante la discusión, se mencionaron por cierto el método de imagen y el método de búsqueda en cuadrícula. Además del método de cálculo de optimización presentado en el punto culminante de esta nota, también hay ideas de modelado relacionadas como referencia.
- El vehículo de discusión que se proporciona en el libro es una pregunta muy práctica. Aprendimos sobre el problema del camino más corto de los caballos para beber en general y la selección del sitio de construcción de puentes en la escuela secundaria. El enfoque geométrico en ese momento era solo un método ingenioso que estaba disponible en casos sencillos. El problema que estamos discutiendo ahora es más general y, por supuesto, tiene un significado más práctico Incluso el proceso de abstraer problemas reales en este paradigma es una idea de modelado que vale la pena aprender . Entonces, antes de comenzar el algoritmo de búsqueda aleatoria, analicemos el procesamiento previo del autor de este problema de ubicación de la estación de bomberos.
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El problema real se puede describir de la siguiente manera: el incendio del año pasado en Australia se convirtió en una experiencia dolorosa para los australianos (la pregunta MCM_B de este año es el trasfondo de la elección de esta pregunta por parte de nuestro equipo). Para aumentar la confianza del control de incendios, el gobierno australiano ha decidido aumentar la densidad de las estaciones de bomberos en algunas áreas. Ahora, una estación de bomberos debe instalarse en un área de un tamaño determinado (de dónde proviene el área, por ejemplo, cómo dividirla y seleccionarla, y también se puede hacer una discusión e hipótesis). Pregunte dónde está la estación de bomberos debe ubicarse?
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Primero, consideramos los factores clave para determinar la ubicación de la estación de bomberos. Creemos que es el momento para que los bomberos lleguen a la estación de bomberos desde la estación de bomberos. Lo llamamos tiempo de respuesta , y el tiempo está relacionado con la distancia. Los ejercicios del Capítulo 8 analizan cómo determinar Esta relación es un método basado en regresión . Suponiendo que ya lo tenemos, es la expresión del tiempo de respuesta que se da directamente en el libro.
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A continuación, trate la situación del incendio en esta área: utilizamos la segmentación de mapas utilizada por muchos equipos durante el entrenamiento de vacaciones de invierno de este año , dividimos esta área en cuadrículas rectangulares de m · m y contamos la frecuencia de las llamadas de alarma de incendio en cada cuadrícula . Si no puede recuperar los datos ya hechos (este problema es poco probable que sea recuperado), podemos simular un conjunto de datos, tales como el método de generación aleatoria , (por supuesto, si se tiene en cuenta el terreno u otro factores ambientales, puede simular el aleatorio El proceso se ajusta, como aumentar o reducir la probabilidad de lanzar puntos en ciertas cuadrículas durante la generación aleatoria. Esto puede usarse como una mejora del modelo, e incluso las preguntas de seguimiento serán directamente preguntado así) , de la cual obtenemos la frecuencia de llamada en cada cuadrícula, como el formulario en la cuadrícula que se muestra en el libro.
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El índice de medición de la ubicación de la estación de bomberos, o el término apropiado en el problema de optimización, la función objetivo, está determinado por el tiempo de respuesta promedio de la estación de bomberos a cada llamada . Es fácil de entender: cuanto mayor es la frecuencia de llamadas en un lugar, el promedio en ese lugar Cuanto mayor sea el peso del tiempo. La expresión es como la del libro. A partir de esto, hemos llegado a la puerta de utilizar algoritmos de búsqueda aleatorios.
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Algoritmo de búsqueda aleatoria: Necesitamos resolver el problema del valor óptimo de una expresión compleja. Cuando la dimensión de la expresión es n <= 2, el método de la imagen se puede utilizar como método global. Además de observar directamente en tres dimensiones (o gráficos de dimensiones inferiores), utilice líneas de contorno para un análisis más detallado en un plano bidimensional. La desventaja de este método es que la precisión no es alta ( aunque la búsqueda aleatoria no es un algoritmo de alta precisión, pero en comparación con el método de imagen, aún puede ser "50 pasos y cien pasos" ), la latitud para tratar el problema es limitado y no puede manejar más de tres El problema de las variables de decisión. Entonces, el libro propone además un algoritmo de búsqueda aleatoria: su idea básica es lanzar N puntos en la región factible, los componentes de coordenadas de cada punto se generan aleatoriamente, se calcula el valor de la función objetivo de cada punto y el mínimo de estos valores Y registre los componentes de coordenadas correspondientes. El pseudocódigo del algoritmo es el siguiente:
%% 算法：随机搜索算法 %% 变量：a=x的下限 b=x的上限 c=x的下限 d=x的上限 N=迭代次数 xmin=最小点x坐标的近似解 ymin=最小点y坐标的近似解 zmin=最小点目标值F(x,y)的近似解 %% 输入：a, b, c, d, N %% 过程：begin: xmin<=random [a, b]; ymin<=random [c, d]; zmin<=F(xmin, ymin); loop n=1 to N begin: x<=random [a, b]; y<=random [c, d]; z<=F(x, y); if z<zmin begin: xmin<=x; ymin<=y; zmin<=z; end end end %% 输出：xmin, ymin, zmin -
Discusión y análisis de sensibilidad sobre la precisión del algoritmo: La precisión del algoritmo de búsqueda aleatoria es aproximadamente equivalente a la distribución uniforme de N puntos en la cuadrícula n · n, donde n = sqrt (N), que es equivalente a cada uno de los n · n cuadrículas Se asigna un punto en la cuadrícula, de modo que la precisión en cada dirección es: m / n, donde m es m en la cuadrícula m · m dividida en el área. Dado que el gradiente de la función objetivo es cero en el valor óptimo, el cambio es más lento, por lo que la precisión del valor objetivo es mayor. Para los algoritmos de búsqueda aleatoria, no es adecuado continuar mejorando la precisión, porque cada más decimal en la precisión (m / n) significa que n se expandirá 10 veces, es decir, N se expandirá 100 veces, lo que resultará en un tiempo de cálculo más largo. De hecho, hay un error de una unidad cuando el área m · m está mallada, solo necesitamos la precisión para llegar a un decimal después de esta unidad, lo que también nos proporciona una base para determinar el número de iteraciones. No tiene mucho sentido usar el método de imagen para limitar el área a un área pequeña que contenga el valor óptimo. No tiene mucho sentido usar la búsqueda aleatoria para mejorar la precisión, porque la división m · m de la cuadrícula del área tiene un error grande, pero podemos usarlo. Realizar un análisis de sensibilidad del algoritmo de búsqueda aleatoria. La búsqueda aleatoria en un área local que contiene el valor óptimo puede obtener un nuevo valor óptimo, que suele ser un valor con una diferencia muy pequeña del óptimo. valor que obtuvimos al inicio, como en los problemas de protección contra incendios, la diferencia es de 0.03min, que es casi insignificante, por lo que podemos ilustrar la estabilidad de los resultados obtenidos por primera vez.
Resumiendo la discusión del análisis de precisión y sensibilidad, por un lado, el número de iteraciones está determinado por la precisión para determinar si es significativo mejorar la precisión; por otro lado, el pequeño rango de búsqueda aleatoria da como resultado una pequeña diferencia de el resultado inicial, que indica estabilidad.
- Algoritmo de gradiente: debido a que se usa para aprender modelos matemáticos por la mañana durante las vacaciones de invierno y para realizar tareas de literatura para la capacitación en investigación científica por la tarde y la noche, el algoritmo de búsqueda aleatoria está demasiado escrito. Son aproximadamente las 12 del mediodía cuando escribo aquí, por lo que el algoritmo de gradiente se escribirá mañana.