Tensor

Un tensor es una extensión del concepto de vector y matriz. Un escalar es un tensor de orden cero, un vector es un tensor de primer orden, una matriz es un tensor de segundo orden y un tensor de tercer orden es como una matriz cúbica.

Un tensor es una función multilineal que se puede usar para expresar la relación lineal entre algunos vectores, escalares y otros tensores.

Hay una razón para la aparición de tensores, porque no podemos representar completamente todas las cantidades físicas con escalares y vectores, por lo que el concepto de cantidades matemáticas utilizado por los físicos debe expandirse para que aparezcan los tensores. La razón por la que un tensor es importante es que puede satisfacer todas las leyes físicas que deben ser independientes de la elección del sistema de coordenadas.

El tensor (el tensor) se define en un espacio vectorial, y algún número de espacio dual es el producto cartesiano de un mapa multilineal en el que coordenadas | n- | espacio dimensional, hay | n- | una cantidad componente de uno, donde cada uno de Cada componente es una función de coordenadas y durante la transformación de coordenadas, estos componentes también se transforman linealmente de acuerdo con ciertas reglas . r se llama rango u orden del tensor (no tiene nada que ver con el rango y orden de la matriz ).

En el sentido de isomorfismo , el tensor de orden cero (r = 0) es un escalar (Escalar), el tensor de primer orden (r = 1) es un vector (Vector) y el tensor de segundo orden (r = 2) es Conviértete en una matriz (Matrix). Por ejemplo, para un espacio tridimensional , el tensor cuando r = 1 es este vector: (x, y, z). Debido a los diferentes métodos de transformación, los tensores se dividen en tensores covariantes (tensor covariante, índice en la parte inferior), tensor contravariante (tensor contravariante, índice en la parte superior), tensor mixto (indicador en la parte superior e índice en la parte inferior) ) Tres categorías.

En matemáticas , un tensor es una entidad geométrica o "cantidad" en un sentido amplio. El concepto de tensor incluye operador escalar, vectorial y lineal. Un tensor se puede expresar en un sistema de coordenadas, denotado como una matriz de escalares, pero se define como "no depende de la elección del sistema de referencia". Los tensores son muy importantes en física e ingeniería. Por ejemplo, en la formación de imágenes con tensor de difusión, se puede utilizar un tensor que exprese la permeabilidad diferencial del órgano al agua en varias direcciones para generar una exploración del cerebro. Quizás el ejemplo de ingeniería más importante es el tensor de tensión y el tensor de deformación. Ambos son tensores de segundo orden. Para materiales lineales generales, la relación entre ellos está determinada por un tensor elástico de cuarto orden.

Aunque los tensores se pueden representar mediante matrices multidimensionales de componentes, la importancia de la teoría de tensores es ilustrar aún más el significado de llamar tensor a una cantidad, no solo que requiere un cierto número de componentes indexados. En particular, durante la transformación de coordenadas , los valores de los componentes de los tensores obedecen a ciertas reglas de transformación. La teoría abstracta de tensores es una rama del álgebra lineal , ahora llamada álgebra multilineal .

El término "tensor" fue introducido por primera vez por William Ron Hamilton en 1846 , pero utilizó el término para referirse a los objetos que ahora se llaman módulos . El significado moderno de la palabra fue utilizado por primera vez por Waldemar Vogt en 1899 .

Este concepto fue desarrollado por Gregorio Ricci-Culbastro en 1890 bajo el título "Geometría diferencial absoluta", siguiendo el artículo clásico de Levi-Civita "Diferencial absoluto" en 1900 ( Posteriormente se publicaron traducciones al italiano y otras) y es conocido por muchos matemáticos. Con la introducción de Einstein 's teoría general de la relatividad en torno a 1915, tensor de cálculo ganó el reconocimiento más amplio. La relatividad general se expresa completamente en el lenguaje tensorial. Einstein aprendió mucho lenguaje tensorial del propio Levi-Civita (en realidad, Marcel Grossman, fue compañero de clase de Einstein en ETH Zurich , un geómetra También es mentor de Einstein y amigo útil en el lenguaje tensorial (ver "Sutil es el Señor" de Abraham Pais), y aprendió muy duro. Pero los tensores también se utilizan en otros campos, como la mecánica continua, como los tensores de deformación (ver elasticidad lineal ).

Tenga en cuenta que el término "tensor" se utiliza a menudo como un campo tensorial abreviado, y el campo tensor es una variedad de una magnitud dada en cada punto Zhang. Para comprender mejor el campo tensorial, primero debe comprender la idea básica de tensor.

Comprender visual e intuitivamente los tensores

Below is the diagram that describes the Tensor's dimensions in a very efficient way.

Now let's get a little bit knowledge about the notation of Tensors

The tensor notation is similar to the metrics notation. A capital letter represents the tensor, and the lower letter with subscript integer represents scalar values within the tensor.

https://www.javatpoint.com/pytorch-tensors

符号约定

下标标记法

求和约定

关于自由标号

同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶标号字母相同。

关于Kronecker delta (δij)符号

张量的基本运算

https://www.cnblogs.com/arxive/p/4967486.html

引力场

https://www.youtube.com/watch?v=kyzSofggsqg

https://dev.to/juancarlospaco/tensors-for-busy-people-315k

How it looks like on Code?.

Scalar

letmyscalar=42

Scalar can be a variety of things, usually numeric values, to keep things simple and easy to understand we will use an integer here, 42 is our Scalar.

Vector

letmyvector=[1,2,3]

Vector is a collection of items, we continue using integers, it can be seen on the code as an array or list, you can draw it as a Rank 1 Vector.

Matrix

letmymatrix=[[1,2,3],[4,5,6],]

We continue adding dimensions then we end up with the Matrix, a 2D Tensor, can be simplified on code as a list with lists inside.

Tensor

letmytensor=[[[1,2,3],[4,5,6],],[[7,8,9],[10,11,12],],]

Wow, we reached the crazy cube, a multiple dimensions array of integers,

we need to convert this jam of lists into a Tensor object!.

Tensor Arraymancer

importarraymancerletmytensor=[[[1,2,3],[4,5,6],],[[7,8,9],[10,11,12],],].toTensor

Done, congrats you coded your first Tensor!.

Tensor can be categorized by rank, i.e. how many "rows and columns they have."

Rank 0: Scalar/Number

Rank 1: Vector

Rank 2: NxN matrix

Rank >= 3: Tensor

I did a visualization of these ranks below

Why are tensors important though?

Well, engineers use them a lot when dealing with the forces and stresses on an object.

Relativists use them to package equations like the Einstein Field Equations which would otherwise be (4x4)16 equations! Wow!

How many equations do you think the Riemann Curvature Tensor below can package?

In the field of Physics and Engineering, as a tool, tensor and tensor algebra widely used. We can say it is a set of techniques in machine learning in the operation and training of deep learning models can be described regarding tensors.