[Fuente de información de calidad] Plan 02: algunos modos de optimización convexa para la optimización de la tasa total en la comunicación multiusuario

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前置知识：矩阵论/矩阵分析，概率论，通信原理，凸优化。

Desde la aparición de la primera generación de sistemas de comunicaciones móviles (Gran Hermano), el desarrollo explosivo de las comunicaciones móviles ha provocado un aumento en el número de usuarios de sistemas de comunicaciones inalámbricas. Desde entonces, el enfoque del campo de la comunicación y el procesamiento de señales se ha expandido gradualmente desde los escenarios tradicionales de comunicación punto a punto a los escenarios de comunicación multiusuario.

Hoy en día, el escenario multiusuario se ha convertido en uno de los escenarios básicos más importantes en el campo de la comunicación y el procesamiento de señales. Su estructura matemática y sus características son también la base de referencia de facto para muchas direcciones de investigación emergentes. Desde la alineación de interferencias hasta la superficie reflectante inteligente de reciente aparición, hasta el codiseño de comunicación de radar entre dominios y la coexistencia de comunicación de radar, El modelo de comunicación multiusuario y el algoritmo de optimización convexo basado en él son perdurables. Estos usuarios pueden ser cooperativos o no cooperativos, o malintencionados; el objetivo de estos usuarios puede ser la eficiencia energética, la mayor tasa de transmisión de un solo usuario o la mayor capacidad total de canal. No importa qué, hay docenas de estos problemas cada año. Artículos publicados.

Para un problema académico / de investigación en comunicación, el enfoque no es si los investigadores conocen ciertas características, sino si pueden captar la contradicción principal a través de una simplificación / hipótesis razonable, y matemáticamente el problema real, es decir, si se puede establecer o encontrar. El modelo adecuado . Por ejemplo, si quieres estudiar MU-MIMO, entonces también es un escenario MIMO ¿Cuál es la diferencia matemática entre MU-MIMO y SU-MIMO?

Para solucionar este problema, en este artículo intentaré introducir en palabras humanas basándome en algo de mi propia experiencia:

1) Modelo matemático en comunicación multiusuario,

2) Un problema de optimización especial basado en el modelo de canal de interferencia --- optimización de la capacidad del canal

3) Y algunas limitaciones de optimización comunes en este escenario .

Espero que este artículo pueda servir como introducción a este campo para estudiantes graduados / estudiantes de doctorado de nivel inferior.

1. Comunicación multiusuario y modelo matemático

La comunicación multiusuario, si la analizamos con cuidado, "Canal de acceso múltiple (MAC)" y "Canal de transmisión (BC)" son los modelos de dos canales más simples. Por supuesto, aun así, las aplicaciones de estos dos canales simples lo abarcan todo, incluida la transmisión por satélite (transmisión por satélite único, recepción de múltiples estaciones terrestres), acceso múltiple a la estación base (transmisión de múltiples terminales, recepción de una sola estación base) y así sucesivamente.

Múltiples canales de acceso (múltiples transmisores y un receptor) y canales de transmisión (un transmisor y múltiples receptores)

Generalmente, cuando varios usuarios de comunicaciones comparten el mismo recurso de radio (canal) y transmiten información de forma simultánea e independiente, a este método lo llamamos comunicación multiusuario . Hay muchos escenarios activos para la comunicación multiusuario, que se pueden dividir en MAC, BC y canal de interferencia a gran escala.

Comencemos con el canal MAC básico.

1. Modelo de canal MAC . El modelo de canal MAC suele ser adecuado para el modelado de enlace ascendente / descendente de la estación base, y actualmente se utiliza ampliamente en la investigación MIMO multiusuario (MU-MIMO). Como se mencionó anteriormente, la característica del canal MAC es que la información transmitida / recibida es diferente para cada usuario.

Algunas personas dicen que el acceso múltiple es similar al sistema de tecnología de multiplexación (multiplexación) de uso común, porque es necesario dividir subcanales bajo los mismos recursos de canal considerando la ortogonalidad de los recursos de canal (que pueden ser espacio / tiempo / frecuencia) para completar la alineación. Envío y recepción de información diferente para diferentes usuarios. Debido a esto, el modelo de canal MAC es muy adecuado para el sistema de tecnología MU-MIMO / o OFDM. Además, es lógico considerar que cada usuario experimentará un desvanecimiento de canal diferente.

Entonces, ¿cómo incorporamos esta característica al modelo matemático? Para los usuarios de K uplink, el modelo matemático de banda base equivalente se puede simplificar como:

$\ mathbf {y} = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {K} {\ bf H} _ {k} {\ bf x} _ {k} + {\ bf z},$

Entre ellos, se $\ mathbf {y} \ in \ mathbb {C} ^ {M \ times 1}$ encuentra el vector de señal M-dimensional que recibe la estación base, debido a que hay K usuarios, la longitud de la información enviada por cada usuario puede ser diferente, para k usuarios la registramos como $N_k$ . Por lo tanto, la información enviada por el k-ésimo usuario $\ mathbf {x} _k \ in \ mathbb {C} ^ {N_k \ times 1}$ pasará a través de un canal respectivo $\ mathbf {H} _k \ in \ mathbb {C} ^ {M \ times N_k}$ para llegar al extremo base , $\ mathbf {z} \ in \ mathbb {C} ^ {M \ times 1}$ expresamos que la estación base recibió el ruido blanco gaussiano.

Con especial énfasis para el modelo de escena MAC, el enfoque no está en la optimización del canal, generalmente debemos asumir que el canal tiene un desvanecimiento lento o un desvanecimiento en bloque y asumiendo un algoritmo de estimación de canal perfecto para asegurar que todos los canales $\ mathbf {H} _k$ deben determinar el valor, o aumentarán significativamente el valor. La dificultad matemática del problema de optimización en el modelo. Este énfasis también se aplica al modelo de canal de transmisión (BC) y al modelo de canal de interferencia (IC) a continuación.

2. Modelo de canal BC . El canal BC suele ser adecuado para el modelado de comunicaciones por satélite, su característica es que para cada usuario se enviará y recibirá la misma información, lo que también requiere una consideración lógica de los diferentes desvanecimientos de canal que experimenta cada usuario. Para los usuarios de transmisiones K , el modelo matemático de banda base equivalente se puede simplificar como:

${\ bf y} _ {k} = {\ bf H} _ {k} ^ {H} {\ bf x} + {\ bf z} _ {k}, \ k = 1, \ ldots, K,$

Debido a que la información enviada es la misma y no hay múltiples receptores, hemos obtenido K ecuaciones simultáneas. En el que $\ mathbf {y} _k \ in \ mathbb {C} ^ {N_k \ times 1}$ el primer usuario recibió el $N_k$ vector de señal recibida de dimensión K y el $\ mathbf {x} \ in \ mathbb {C} ^ {M \ times 1}$ envío de un vector de señal de dimensión M. En orden modelo de canal y un MAC unificado, para simplificar el modelo, no redefinimos, sino para $\ mathbf {H} _k ^ H \ in \ mathbb {C} ^ {N_k \ times M}$ ser transformada hermitiana, una matriz de canal del k-ésimo canal de usuario BC $\ mathbf {H} _k ^ H \ in \ mathbb {C} ^ {N_k \ times M}$ .

Para diferentes escenarios, el canal BC también tiene muchas variantes. Por ejemplo, debido a que la información x tiene la misma información, pero los usuarios receptores pueden estar agrupados por algunas razones (como grupos de usuarios), el canal BC evolucionará hacia un canal de multidifusión (multidifusión), o incluso más, si el grupo de usuarios es Solo hay un usuario, entonces se llama unidifusión.

3. Modelo de canal IC . Los modelos de canales MAC y BC mencionados anteriormente son modelos de canales multiusuario relativamente simples. Estos modelos de canales son prácticos porque hay algunos supuestos de infraestructura. Los llamamos escenarios de infraestructura especificada. Como se mencionó anteriormente, estaciones base, comunicaciones por satélite, etc. . Utilizan supuestos de infraestructura, evitando algunos supuestos matemáticos triviales para problemas específicos.

Sin embargo, si no conocemos la infraestructura de red actual, o la estructura de red es autoorganizada, como una red Ad-hoc, entonces el modelo de canal comúnmente utilizado en este momento debe ser más generalizado, es decir, el modelo de Canal de Interferencia (IC).

En el modelo de canal IC, hemos eliminado la premisa de ortogonalización del subcanal en el canal MAC y eliminado el mismo supuesto de información en el canal BC. De manera similar, no restringimos la transmisión y recepción de todos los usuarios en la escena. En este momento, para el escenario donde coexisten K usuarios, el canal se convierte en:

${\ bf y} _ {k} = {\ bf H} _ {kk} {\ bf x} _ {k} + \ sum \ limits_ {i = 1, i \ neq k} ^ {K} {\ bf H} _ {ik} {\ bf x} _ {i} + {\ bf z} _ {k}, \ k = 1, \ ldots, K,$

Esta es también una forma de ecuaciones simultáneas de K. Aquí comparo fuertemente los modelos de canal MAC y BC para encontrar la diferencia. Donde ${\ bf H} _ {kk}$ representa el transmisor del k-ésimo usuario al canal directo del receptor (enlace directo), la transmisión de la información que ellos quieren, y ${\ bf H} _ {i}$ representa el enlace desde el receptor i-ésimo usuario al k-ésimo usuario (cross -enlace de usuario), la información transmitida es interferencia, por lo que se denomina modelo de canal de interferencia.

Los otros símbolos aquí se han explicado, así que no los repetiré.

Este es también el modelo de canal básico, y hay muchos modelos matemáticos similares, como el canal de escuchas telefónicas en seguridad de la información, el canal de interferencia mutua en la comunicación por radar, como la superficie reflectante inteligente mencionada hace un momento, o el modelo de comunicación sin células, o uno. -Problema de bits.

En la actualidad, cavar grandes agujeros en el campo de la comunicación (excepto el aprendizaje automático) básicamente encontró un problema más práctico y simplificó un nuevo modelo matemático. Esto también ha contribuido al método de riego más avanzado, que es el método de riego legendario de mezcolanza, que no se analiza aquí.

(Por supuesto que no estoy calificado para evaluar la calidad de esta excavación y mezcla heterogénea, después de todo, todavía soy un pollo vegetal, y tal vez todavía espero que este método de riego se mezcle con la vaca).

2. La optimización de la tasa total según el modelo de canal de interferencia

Ahora tenemos un modelo de canal más básico, que se puede aplicar en escenarios de dominio de espacio / tiempo / frecuencia con una ligera modificación, y mediante algunos modos de optimización convexa, los grados de libertad controlables en el dominio de espacio / tiempo / frecuencia. Realizar modificaciones para obtener la solución de uno o más tipos de problemas de optimización convexa.

Los grados de libertad controlables aquí ,

En el dominio espacial, puede ser un vector de formación de haces (beamforming) / matriz de precodificación (es necesario considerar la precodificación, el tiempo y el período de símbolo) Este tipo de problema se denomina diseño de formación de haces / precodificación.
En el dominio de la frecuencia, la asignación de peso de derivación o la asignación de potencia de las señales OFDM se pueden utilizar para compensar el canal Este tipo de problema se denomina Problema de asignación de potencia en OFDM.
Puede ser un libro de códigos de señales en el dominio del tiempo (por supuesto, el diseño del libro de códigos no se limita al dominio del tiempo).

Como puede ver, hay muchos grados de libertad controlables y, naturalmente, hay muchos problemas de optimización.

Tomando la optimización del dominio espacial como ejemplo, puede ser el patrón de haz de la antena, puede ser el ancho del haz de 3dB, puede ser el SINR, puede ser la capacidad del canal punto a punto, puede ser la capacidad de interrupción, puede ser la probabilidad de detección, puede ser el promedio La tasa de error media (tasa de error media) también puede ser de varios indicadores entre capas, como la utilización de energía. Por supuesto, también puede ser un indicador más importante en un escenario multiusuario, que es el tipo de problema fundamental que describo principalmente a continuación, el problema de optimización de la tasa de suma.

Entonces, ¿qué es el problema de optimización de tasa de suma?

Como todos sabemos, desde el fundador de Shannon, el indicador más crítico en la comunicación es la capacidad del canal. Hay muchas formas de calcular la capacidad del canal. Sin embargo, en el cálculo más elegante de la capacidad del canal que involucra la matriz, es inseparable de la señal. La matriz de covarianza (matriz de covarianza).

Una conclusión bien conocida es (por supuesto, puede deducirla y probarla usted mismo).

Teorema 1: En un canal de usuario único punto a punto, si conocemos la matriz de covarianza de la señal transmitida $\ mathbf {Q} = \ mathbb {E} \ {\ mathbf {x} _k \ mathbf {x} _k ^ H \}$ y suponemos que la matriz de covarianza de interferencia más ruido es la matriz de identidad, entonces la capacidad del canal de usuario único es $\ log | \ mathbf {I} + \ mathbf {H} \ mathbf {Q} \ mathbf {H} ^ H |$ .

Esta conclusión puede extenderse al IC de canal multiusuario, cuando la matriz de covarianza de interferencia más ruido (matriz de covarianza de interferencia más ruido ) no se convertirá en una matriz, que es $\ mathbf {R} _i = \ sum_ {i \ neq j} \ mathbf {H} _ {ji} \ mathbf {Q} _j \ mathbf {H} _ {ji} ^ H + \ mathbf {I} ，$ una capacidad de canal multiusuario que se convierte en:

$\ sum_ {i = 1} ^ K \ log | \ mathbf {I} + \ mathbf {R} ^ {- 1} _i \ mathbf {H} _ {ii} \ mathbf {Q} _i \ mathbf {H} ^ H_ {ii} |$ 。

Lo consideramos una forma más generalizada de ^[1] , para el primer $yo$ usuario, la utilidad del factor agregado $\ lambda_i$ . Cuando los factores de utilidad son todos 1, es equivalente a la ecuación anterior y el problema se convierte en:

$\ sum_ {i = 1} ^ K \ lambda_i \ log | \ mathbf {I} + \ mathbf {R} ^ {- 1} _i \ mathbf {H} _ {ii} \ mathbf {Q} _i \ mathbf {H } ^ H_ {ii} |$ , Aquí lo marcamos como pregunta 1 .

Entre ellos, para facilitar la comparación entre usted y la fórmula tradicional de Shannon, $\ mathbf {H} _ {ii} \ mathbf {Q} _i \ mathbf {H} ^ H_ {ii}$ esta parte puede entenderse como energía de señal útil y $\ mathbf {R}$ energía de señal de interferencia. Ésta es la función objetivo de la optimización de tasa de suma, un problema de optimización muy común en los canales IC multiusuario.

Tenemos el objetivo de la optimización, entonces, ¿dónde se refleja la libertad controlable de optimización?

La clave sigue siendo la matriz de covarianza. Nos dividimos en dos problemas de optimización principales para presentar:

Problema de asignación de energía. El problema de la PA suele ser el grado controlable de libertad en la asignación de potencia de las subportadoras . Porque hay una señal OFDM ortogonal subportadora, por lo tanto, matemáticamente $\ mathbf {R} _i$ , $\ mathbf {H} _ {ii}$ y $\ mathbf {Q} _i$ es típica de una matriz diagonal (donde puede calcularla usted mismo) . La forma matricial del problema 1 ( $\ max _ {\ mathbf {Q} _i} \ sum_ {i = 1} ^ K \ log | \ mathbf {I} + \ mathbf {R} ^ {- 1} _i \ mathbf {H} _ {ii} \ mathbf {Q} _i \ mathbf {H} ^ H_ {ii} |$ ) se puede desmontar y reducir a la suma de la capacidad del canal ortogonal formada por sus subportadoras.

Después del desmantelamiento, si las subportadoras L totales de la señal OFDM están disponibles, entonces se puede escribir un problema $\ max_ {q} \ sum_ {i = 1} ^ K \ sum_ {l = 1} ^ L \ log_2 | 1+ \ frac {h_ {l, i} ^ 2q ^ 2_ {l, i}} {r_ { l, i}} |$ , donde $h_ {l, i}$ está $\ mathbf {H} _ {ii}$ el l-ésimo elemento diagonal, q, r De manera similar, la marca del símbolo. Este es un problema cóncavo típico en forma logarítmica, en el que las variables que deben optimizarse son los factores K + L q. El método ortodoxo para resolver este problema es relativamente simple, bajo algunas restricciones débiles, el método KKT se puede utilizar directamente para obtener la solución analítica. Bajo fuertes restricciones, necesita encontrar un método de cálculo usted mismo.

2. Problemas de precodificación / formación de haces. Beamformer / Precoder cambia la orientación del haz (forma) modificando la distribución de fase / potencia de cada antena. Para Beamformer / Precoder, generalmente se requiere una matriz compleja para describir sus parámetros controlables y el ángulo de orientación del haz $\ theta$ . Aquí lo marcamos como $\ mathbf {v} (\ theta)$ (aquí no tengo Anote las dimensiones, puede ser un vector de formación de haces o una matriz de precodificación, piense en las dimensiones, muy simple).

En este momento, de hecho, la matriz de covarianza de la señal transmitida también ha cambiado $\ mathbb {E} \ {\ mathbf {v} (\ theta) ^ H \ mathbf {x} _k \ mathbf {x} _k ^ H \ mathbf {v} (\ theta) \} = \ mathbf {v} ( \ theta) ^ H \ mathbb {E} \ {\ mathbf {x} _k \ mathbf {x} _k ^ H \} \ mathbf {v} (\ theta) = \ mathbf {v} ^ H (\ theta) \ mathbf {Q} \ mathbf {v} (\ theta)$ .

Debe enfatizarse aquí. Es $\ mathbf {v} ^ H (\ theta) \ mathbf {Q} \ mathbf {v} (\ theta)$ una representación de optimización matemática / convexa muy importante. Muchos artículos que puede ver, incluidos la mayoría de los artículos de formación de haces, son inseparables de esta expresión matemática. De hecho, $\ mathbf {v} ^ H (\ theta) \ mathbf {Q} \ mathbf {v} (\ theta)$ existen muchas variantes para una expresión más simple o para resolver algunos otros problemas de subdivisión .
En comunicación, estamos más inclinados a adoptar la definición de precodificación, porque los usuarios de comunicación tienden a obtener múltiples flujos de datos no correlacionados, mientras que la forma vectorial del formador de haz $\ mathbf {v} (\ theta) \ in \ mathbb {C} ^ {M \ times 1}$ solo puede proporcionar una única salida de flujo espacial, el propósito principal es ajustar el ángulo y la forma del haz. , El precodificador en forma de matriz $\ mathbf {V} \ in \ mathbb {C} ^ {M \ times N}$ puede proporcionar una salida de flujo múltiple. Por supuesto, mi declaración aquí no es rigurosa. El significado físico de la diferencia entre precodificador y formador de haz no es solo eso. Los estudiantes interesados pueden revisar los papeles por sí mismos. De hecho, ambas expresiones matemáticas tienen sentido y los cálculos matemáticos en forma vectorial son más simples. Pero aquí lo escribimos en forma de matriz para la conveniencia de la siguiente presentación.

En este punto, el foco del problema es encontrar la matriz óptima $\ mathbf {V} _i$ , la matriz de covarianza de la señal transmitida se convierte en un factor secundario, podemos pensar que $\ mathbf {Q} _i$ se conoce. Además, podemos asumir que $\ mathbf {Q} _i$ es una matriz unitaria. La pregunta 1 se convierte en:

$\ max _ {\ mathbf {V} _i} \ sum_ {i = 1} ^ K \ log | \ mathbf {I} + \ mathbf {R} ^ {- 1} _i \ mathbf {H} _ {ii} \ mathbf {V} _i \ mathbf {V} _i ^ H \ mathbf {H} ^ H_ {ii} |$ ,

Aquí, la expresión matemática de la interferencia causada por otros usuarios también ha cambiado $\ mathbf {R} _i = \ sum_ {i \ neq j} \ mathbf {H} _ {ji} \ mathbf {V} _j \ mathbf {V} _j ^ H \ mathbf {H} _ {ji} ^ H + \ mathbf {I}.$ Esta es la función objetivo de un problema típico de optimización de la tasa total. La solución real de este problema es similar a la del problema 1, porque puede sustituirse en el problema 1 mediante algunos símbolos matemáticos.

Por supuesto, si cancelamos $\ mathbf {Q} _i$ la suposición de que es una matriz de identidad aquí , la configuración matemática de este problema ha cambiado y se necesitan más transformaciones matemáticas para resolverlo. No entraré en detalles aquí.

3. Algunas limitaciones

La aplicación del algoritmo de optimización convexa en la comunicación es básicamente el desarrollo de objetivos y limitaciones de optimización. En la actualidad, el desarrollo de objetivos de optimización en el campo académico está cerca del estancamiento, porque el método de medición de los parámetros del sistema ha sido relativamente determinado. La mayoría de las configuraciones comunes tienen soluciones de rutina, por lo que buscar una variedad de restricciones prácticas (en su mayoría no convexas) y matemáticamente estas restricciones, relajar la resolución de estas restricciones es una idea común de los artículos principales.

A continuación, enumeramos algunas limitaciones más utilizadas en el campo de la comunicación.

La potencia de transmisión máxima restricción (pico de potencia de transmisión de restricción): Se trata de las limitaciones más básicos, debido a que el límite de potencia de transmisión del dispositivo, por lo que necesitamos pico restricción de potencia de transmisión: $Tr (\ mathbf {Q} _k) \ leq P_k$ , $P_k$ potencia pico.
La restricción de potencia de transmisión media (restricción media de potencia de transmisión) ^[2] : A veces, las necesidades de los usuarios para frenar la potencia media de cada antena de transmisión para optimizar la energía del sistema: $\ frac {1} {L} \ sum_ {l = 1} ^ KTr (\ mathbf {Q} _k [l]) \ leq P_k$ , $[l]$ que es el poder l º de transmisión a la antena.
Restricción de potencia de interferencia máxima ^[3] : la señal debe atravesar el canal para llegar al receptor del usuario, por lo que si conocemos la matriz de canales del canal de interferencia, podemos usar directamente la energía de la señal de interferencia recibida como restricción: $\ sum_ {i = 1} ^ KTr (\ mathbf {H} _ {ki} \ mathbf {Q} _k \ mathbf {V} _ {ki} ^ H) \ leq P$
Restricción de la relación señal-ruido del usuario ^[4] : como se mencionó anteriormente, dado que ya conocemos el estado del canal de interferencia, si también conocemos la matriz de canales global de todos los usuarios, podemos considerar la relación señal-ruido del usuario como una restricción y acordar la señal recibida del usuario la relación de ruido no es inferior a un cierto límite: $| \ mathbf {R} ^ {- 1} _k \ mathbf {H} _ {kk} \ mathbf {Q} _k \ mathbf {H} ^ H_ {kk} | \ geq P_k$ en el $\ mathbf {R}$ cumplimiento definido anteriormente.
Restricción de capacidad de canal de usuario: Igual que arriba, dado que podemos conocer la matriz de canales de todos los usuarios globalmente, entonces podemos usar la capacidad de canal del usuario como una restricción y estipular que la capacidad de canal del usuario no puede ser menor que un cierto límite inferior $\ log | \ mathbf {I} + \ mathbf {R} ^ {- 1} _k \ mathbf {H} _ {kk} \ mathbf {Q} _k \ mathbf {H} ^ H_ {kk} | \ geq P_k$ . Por supuesto, el límite inferior de este artículo debe seleccionarse con cuidado, ya que puede haber conflictos con la función objetivo.

Hay muchas otras limitaciones, como la limitación de potencia de una sola antena ^[5] ... y así sucesivamente. La selección de las restricciones anteriores en aplicaciones prácticas también introducirá algunas propiedades no convexas, que deben juzgarse de acuerdo con la situación real.

Terminar.

referencia

^ Z.-Q. Luo y S. Zhang, “Gestión dinámica del espectro: complejidad y dualidad”, IEEE J. Select. Temas Procesamiento de señales, vol. 2, no. 1, págs. 57–73, febrero de 2008.
^ R. Zhang, "Restricciones de potencia de interferencia pico frente a promedio para proteger a los usuarios principales en redes de radio cognitivas", IEEE Trans. Comunicaciones inalámbricas, vol. 8, no. 4, págs. 2112–2120, abril de 2009.
^ S. Hayashi y Z.-Q. Luo, “Gestión del espectro para sistemas de comunicación multiusuario con interferencia limitada”, IEEE Trans. Informar. Teoría, vol. 55, no. 3, págs. 1153-1175, marzo de 2009.
^ M. Schubert y H. Boche, "Solución del problema de formación de haces de enlace descendente multiusuario con restricciones SINR individuales", IEEE Trans. Veh. Technol., Vol. 53, no. 1, págs. 18-28, enero de 2004.
^ W. Yu y T. Lan, "Optimización del transmisor para el enlace descendente de múltiples antenas con restricciones de potencia por antena", IEEE Trans. Procesamiento de señales, vol. 55, no. 6, págs. 2646–2660, junio de 2007.