Matriz circular continua patrón de haz ponderado uniformemente — serie de matriz de micrófono (9)

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El contenido incluye lo siguiente:

1. Derivación del formador de haz de red en anillo continuo;

2. Observe la influencia de la respuesta del haz de matriz circular continua, el producto del radio del número de onda $kr$ y el ángulo vertical $\fi$ en el haz;

3. Una especie de función de Bessel características.

1. Derivación del formador de haz de matriz de anillo continuo

Con respecto a la matriz de anillos continua, considere una matriz de anillos continua con un radio de φ $r$ y colóquela en el $Oye$ plano, con el centro del anillo como el origen de coordenadas, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1

$P _ {vartheta$ La función del colector de matriz de cada punto de recepción en la matriz circular continua se puede expresar como:

$p_ \ vartheta (\ bold k) = e ^ {- i \ bold k ^ TP_ \ vartheta} = e ^ {ikrsin \ phi cos \ left (\ vartheta- \ theta \ right)}$

$P _ {vartheta$ La forma de coordenadas polares de punto es $\ left (r, \ vartheta \ right)$ , la forma de coordenadas rectangulares es $\ left [rcos \ vartheta, rsin \ vartheta, 0 \ right] ^ T$ ,

$\ bold k = -k \ left [sin \ phi cos \ theta, sin \ phi sin \ theta, cos \ phi \ right] ^ T, k = \ omega / c$

Suponiendo que $P _ {vartheta$ se toma la función de ponderación del punto $w ^ * _ a \ left (\ vartheta \ right)$ , la respuesta del haz es: $\ begin {align} \\ & B (kr, me Omega) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {2 \ pi} ^ {0} w ^ * _ a \ left (\ vartheta \ right) e {ikrsin \ phi cos (\ vartheta - \ theta)} d \ vartheta \\ & \ quad \ quad \ quad \ \ \ = J_0 (krsin \ phi) \ end {align$

La forma es una especie de función de Bessel de orden 0. La tercera sección " Características de una especie de función de Bessel " describe la función en detalle y estudia sus características.

2. Observe la influencia de la respuesta del haz de matriz circular continua, el producto del radio del número de onda $kr$ y el ángulo vertical $\fi$ en el haz

Considere una matriz circular continua y calcule la respuesta del haz obtenida cuando se usa una ponderación uniforme.

Suponiendo que el producto del radio del número de onda es $kr = 2 \ pi$ , digamos $\ theta \ in [0 ^ \ circ, 360 ^ \ circ], \ phi \ in [0 ^ \ circ, 180 ^ \ circ]$ , usando la fórmula de cálculo de respuesta del haz anterior, su amplitud se muestra en la Figura 2 usando coordenadas tridimensionales.

Figura 2 Respuesta del haz tridimensional

Puede verse en la Figura 2 que la respuesta del haz obtenida por ponderación uniforme $con$ es rotacionalmente simétrica con respecto al eje, es decir, la respuesta del haz solo está relacionada con el ángulo vertical $\fi$ , no con el ángulo horizontal $\ theta$ . Por lo tanto, solo necesitamos dibujar la relación entre el patrón de haz ponderado uniformemente y el ángulo vertical debajo.

Suponiendo el rango del producto del radio del número de onda $kr \ in [0,10]$ y el rango del valor del ángulo vertical $\ phi \ en [0 ^ \ circ, 180 ^ \ circ]$ , la respuesta del haz calculada por la fórmula de cálculo de la respuesta del haz en relación con el producto del radio del número de onda $kr$ y el ángulo vertical $\fi$ se muestra en la Figura 3, donde la amplitud de respuesta del haz en la Figura 3 es el color después del logaritmo La Figura 4 muestra la visualización de coordenadas cilíndricas de amplitud de respuesta del haz.

imagen 3

Figura 4

Para observar mejor la respuesta del haz, la Figura 6 complementa la respuesta del haz en $con$ todo el $360 ^ \ circ$ rango en el plano perpendicular al conjunto de anillos (el plano donde se encuentra el eje) . La Figura 6 muestra los $kr = 2,4,6,8$ diagramas de visualización de coordenadas polares de respuesta del haz correspondientes en los cuatro diagramas.

Figura 6.1

Figura 6.2

Figura 6.3

Figura 6.4

Puede verse en las Figuras 3, 4, 5 y 6, que la matriz de anillos ponderada uniformemente obtiene el lóbulo principal en la dirección perpendicular al anillo, es decir, la dirección $\ phi = 0 ^ \ circ$ y $\ phi = 180 ^ \ circ$ dirección del lóbulo principal del haz . $kr = 0$ Cuando la respuesta del rayo es un círculo unitario, es decir, no hay directividad A medida que aumenta la frecuencia, el lóbulo principal del rayo se estrecha gradualmente.

3. Características de una especie de función Bessel

La $norte$ función de Bessel de primer orden se define como:

$J_n (z) = \ frac {1} {2 \ pi i ^ n} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {i (zcos \ psi + n \ psi)} d \ psi, \ quad n = 0, \ pm1, \ pm2, ...$

$J _ {- n} (z) = (- 1) ^ nJ_n (z)$

La Figura 7 muestra un gráfico de la $0 \ sim 4$ función de Bessel de orden. Puede verse en la figura que a medida que $norte$ aumenta el orden , la amplitud máxima de la función de Bessel $max \ left | J_n (z) \ right |$ disminuye gradualmente.

Figura 7

Se ha deducido anteriormente que la respuesta del haz de la matriz circular continua ponderada uniformemente es la función de Bessel de orden 0, que corresponde a la respuesta del haz de la matriz lineal continua. Como se mencionó $sinc$ en el artículo anterior, $X$ la La respuesta del haz de una matriz lineal continua de longitud en el plano es:

$B (kr, \ Omega) = sinc \ left (k \ frac {2} {L} sin \ phi \ right)$

Esto muestra que cuando la longitud de la matriz lineal es igual al $L$ diámetro de la matriz de anillo circular $2r$ , los $sinc$ argumentos de respuesta del haz de las dos matrices continuas son iguales, el primero es una función y el segundo es una función de Bessel de orden 0.

La Figura 8 muestra $J_0 (z)$ las $sinc (z)$ dos variables en función con respecto al $con$ valor comparativo de la FIG. Se puede ver en la figura que las $z = 0$ dos funciones del tiempo son ambas 1, lo que indica que la respuesta del lóbulo principal del haz es 1, es decir $0dB$ . Excepto por el $z = 0$ punto, las amplitudes de pico y valle de la función de Bessel de orden 0 son mayores que las $sinc$ amplitudes de pico y valle de la función, lo que indica que los lóbulos laterales del haz de la matriz circular continua son más altos que la matriz lineal continua. Sin embargo, la anchura del lóbulo principal de la matriz circular continua es más estrecha que la de la matriz lineal continua.

Figura 8

Libros de referencia:

"Optimización del procesamiento de señales de matriz", Yan Shefeng