信号与系统学习笔记 第三章

第三章 周期信号的傅里叶级数表示

下面将讨论信号与线性时不变系统的另一种表示，讨论的出发点仍是将信号表示成一组基本信号的线性组合。这是因为，将信号表示成基本信号的线性组合是有利的，如果基本信号具有一下两个性质：

1.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2.线性时不变系统对每一个基本信号的相应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的相应有一个很方便的表示式。

一个线性时不变系统对复指数信号的响应同样是一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化，即： $连续时间： e^{st}\rightarrow H(s)e^{st}$ $离散时间：z^n\rightarrow H(z)z^n$

其中 $H(s)$或 $H(z)$是一个复振幅因子，一个信号，如果系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数(eigenfunction)，而幅度因子称为系统的特征值(eigenvalue)。

证明：复指数是线性时不变系统的特征函数

考虑单位冲激响应为 $h(t)$的连续时间线性时不变系统，对于任意输入 $x(t)$，可由卷积积分确定输出，因此若 $x(t)=e^{st}$，则有 $y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau$将 $e^{st}$从积分号内提出来，则 $y(t)=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$若无穷积分收敛，令 $H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$，它是一个复常数，其值决定于 $s$，则系统对 $e^{st}$的响应为 $y(t)=H(s)e^{st}$
复指数序列是离散的情况同理可证。
于是我们可以得出，如果一个连续时间线性时不变系统的输入表示成复指数的线性组合，即 $x(t)=\sum\limits_{k}a_ke^{s_kt}$则输出一定是 $y(t)=\sum\limits_{k}a_kH(s_k)e^{s_kt}$

连续周期信号的傅里叶级数表示

如果一个信号是周期的，那么对所有的 $t$，存在某个正值的 $T$，有 $x(t)=x(t+T)$ $x(t)$的基波周期是满足上式的最小非零正值 $T$，基波频率定义为 $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$。

一个基本周期信号是周期复指数信号 $x(t)=e^{j\omega_0 t}$，与上式有关的成谐波关系(harmonically related)的复指数信号集是 $\phi_k(t)=e^{jk\omega_0t}=e^{jk(2\pi/T)t},k=0,\pm1,\pm2,...$
在上式中， $k=0$项为常数，一般地， $k=+N$和 $k=-N$的分量称为第 $N$次谐波分量。

一个周期信号表示成 $x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$的形式称为傅里叶级数(Fourier series)表示。

若 $x(t)$是一个实信号，而且其傅里叶级数表示存在，则因为 $x(t)$的共轭 $x^*(t)=x(t)$，有 $x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_k^*e^{-jk\omega_0t}$用 $-k$代替 $k$，则有 $x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_{-k}^*e^{jk\omega_0t}$这要求 $a_k^*=a_{-k}$

将求和重新写成 $x(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\left[a_ke^{jk\omega_0t}+a_{-k}e^{-jk\omega_0t}\right]$
用 $a_k^*$代替 $a_{-k}$，上式变为 $x(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\left[a_ke^{jk\omega_0t}+a_k^*e^{-jk\omega_0t}\right]$
于是 $x(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2\mathcal{Re}\{a_ke^{jk\omega_0t}\}$若 $a_k$以极坐标的形式给出为 $a_k=A_ke^{j\theta_k}$，则
$x(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2\mathcal{Re}\{A_ke^{j(k\omega_0t+\theta_k)}\}$于是
$x(t)=a_0+2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}{A_kcos(k\omega_0t+\theta_k)}$

连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定

假定一个给定的周期信号能够表示成傅里叶级数形式 $x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$在上式两边同乘 $e^{-jn\omega_0t}$，可得 $x(t)e^{-jn\omega_0t}=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{j(k-n)\omega_0t}$上式两边对 $t$从 $0$到 $T=\frac{2\pi}{\omega_0}$积分，有 $\int_0^Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt=\int_0^T\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{j(k-n)\omega_0t}dt$调换求和积分次序得
$\int_0^Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\left[\int_0^T{e^{j(k-n)\omega_0t}dt}\right]$
对于等式右边的积分，由欧拉关系 $\int_0^T{e^{j(k-n)\omega_0t}dt}=\int_0^Tcos(k-n)\omega_0tdt+j\int_0^Tsin(k-n)\omega_0tdt$由三角函数的正交性，积分值不为 $0$当且仅当 $n=k$，此时积分值为 $T$。
于是 $\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\left[\int_0^T{e^{j(k-n)\omega_0t}dt}\right]=Ta_n$因此有 $a_n=\frac{1}{T}\int_0^Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt$
上述过程可归纳如下：如果 $x(t)$有一个傅里叶级数表达式，即 $x(t)$能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中的系数就可以由上式确定。这一对关系式定义为一个周期连续时间信号的傅里叶级数：
$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\\a_k=\frac{1}{T}\int_0^Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$
其中第一个公式称为综合(synthesis)公式，第二个则称为分析(analysis)公式。

系数 ${a_k}$称为 $x(t)$的傅里叶数级系数(Fourier series coefficients)或称为 $x(t)$的频谱系数(spectral coefficients)。

傅里叶级数的收敛性

Dirichlet得到一组条件，这组条件除了在某些对 $x(t)$不连续的孤立的 $t$值以外，保证了 $x(t)$等于它的傅里叶级数表示；而在那些 $x(t)$不连续的点上，无穷级数收敛于不连续点两边值的平均值。下面给出Dirichlet条件。

条件1 $\quad$在任何周期内， $x(t)$必须绝对可积，即 $\int_T|x(t)|dt<\infty$
条件2 $\quad$在任意有限区间内， $x(t)$具有有限个起伏变化。也就是说， $x(t)$的最大值和最小值的数目有限。

条件3 $\quad$在 $x(t)$的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而在这些不连续点上，函数是有限值。

连续时间傅里叶级数的性质

线性性质

若 $x(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a_{k}$， $y(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} b_{k}$，周期均为 $T$，则 $z(t)=Ax(t)+By(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} c_k=Aa_k+Bb_k$

时移性质

若 $x(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a_{k}$，则 $x(t-t_0) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} e^{-jk\omega_0t_0}a_{k}$

时间反转

若 $x(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a_{k}$，则 $x(-t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a_{-k}$

时域尺度变换

若 $x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$，则 $x(\alpha t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk(\alpha\omega_0)t}$
注意：傅里叶系数没有改变，但是由于基波频率的变化，傅里叶级数表示改变了。

相乘

若 $x(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a_{k}$， $y(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} b_{k}$，周期均为 $T$，则
$x(t)y(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} h_{k}=\sum\limits_{l=-\infty}^{+\infty}a_lb_{k-1}$

共轭与共轭对称

若 $x(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a_{k}$，则 $x^*(t) \stackrel{\mathcal{F S}}{\longleftrightarrow} a^*_{-k}$
这个性质与傅里叶级数系数的共轭对称(conjugate symmetric)性一致。