环路补偿对DC-DC稳定性的研究

一、DC-DC BUCK原理

如下是DCDC BUCK芯片的框图，上面的NMOS称为high-side MOSFET，下面的NMOS称为low-side MOSFET。当高边MOS管打开时，SW为VIN，SW对电感进行充电储能，电感电流呈上升趋势；当低边MOS管打开时，SW为GND，此时电感通过续流二极管对输出电容和负载进行供电，理论上高低MOS管不能同时打开，所以上下管打开的周期就形成了占空比，根据负载的轻重，来调节不同的占空比，满足不同负载需求。

二、DC-DC BUCK的基本结构

下面是一个BUCK调节器的基本框图，主要由误差放大器，脉宽调节器，输出滤波器和补偿网络等组成，其中脉宽调节器和输出滤波器加在一起又叫Power Stage。

三、开环和闭环系统

1、开环和闭环系统

如下是一个开环系统，是无法抑制扰动的影响的。

如下，是引入反馈后，形成一个闭环系统，闭环系统可有效衰减扰动的影响，降低系统的灵敏度。

2、电源中的闭环控制系统

• 如下是电源系统的闭环控制框图

• LMR16020闭环调节原理

结合LMR16020的框图，当输入电压或者负载变化时，DC-DC的VOUT是缓慢变化的，这个变化量通过反馈FB检测（R1/R2分压），输入到误差放大器的反向端，与正向端的参考电压进行比较，误差放大器形成一个输出变化量，这个变化量输入到PWM调制器的一端，与斜率补偿形成重新校准的占空比，来控制控制G极驱动器输出VOUT，实现了系统自动调节，这个是DC-DC内部的闭环调节原理。

下图中的Vea就是误差放大器的输出量，Vt就是Slope compensation。

四、Bode Plot介绍

1、定义

波德图（英文Bode Plot），又叫波特图，Bode图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克•韦德•波德在1930年发明，因此此类图表以他的名字命名。Bode plot是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，其横轴频率以对数尺度表示，利用波德图可以看出系统的频率响应。Bode plot一般是由二张图组合而成，一张幅频图表示频率响应增益的分贝值对频率的变化，另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。

2、幅频曲线

幅频曲线的单位是dB，增益在电子学中指的是信号输出与信号输入之比 $GAIN=Ai/Ao$，单位是dB，对数幅值的标准表达式是 $20log10(Ao/Ai)$，从这个式子可以看出，0dB就是增益1，20dB代表增益10，40dB代表增益100，依次类推。

常见的幅频特性曲线的斜率是-1，指的是频率变为10倍，幅度下降-20dB，表示为-20dB/dec，dec指的是10倍的意思。

3、相频曲线

相位的概念是指周期内特定时刻的周期信号的值。因此，当我们说电路引起相移时，我们的意思是它会在输入信号和输出信号之间产生不对准：输入和输出信号不再在同一时刻开始和结束它们的周期。相移值（例如45°或90°）表示已创建多少未对准。相位的概念是针对正弦信号来说的，直流信号和非周期信号没有相位的概念。

相频曲线的单位是度，如RC滤波器的最大相移是90度。

如下所示就是一个bode plot，一般的bode plot会将幅频曲线和相频曲线放在一个坐标轴里面。

幅频特性和相频特性是频率域分析最重要的两个参数，系统的表现如何、是否稳定，几乎完全依赖于这两个特性，因此，分析系统内部的各部分的Bode图，就是进行稳定性分析，并根据规则和准则，改变系统参数，设计出符合要求的稳定的系统。后面的DC-DC补偿电路对DC-DC稳定性就会用bode图。

五、极点和零点

1、信号与系统中极点与零点的定义

零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。
极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。

2、Tina-TI仿真理解极点和零点

如下是用Tina-TI的仿真，通过仿真对极点和零点进行理解。

• 输入输出串一个电阻

对一个系统来说，只要有输入输出，就会有对应的幅频和相频特性，如下输入输出之间串一个电阻，进行的仿真实验，因为是交流信号特性，需要加一个VG1阶跃信号。

如下是仿真得到的波特图，0dB也就是增益为1

• 一阶RC低通滤波器（极点）

接着在仿真图中加入一个电容，这就构成了一阶RC低通滤波器。

仿真得到的波特图如下，图中棕色的是输入，因为严格意义上波特图是输出与输入之比，即绿色的即为输出的波特图，因为输入输出增益是0dB）

图中的A就是一个极点，极点频率是 $F=1/2πRC$，这个频率也被称为截止频率。在截止频率时，幅度降低3dB，所以截止频率也叫做-3dB频率。

• 当通过滤波器的频率小于截止频率时，幅值是直线，基本上是无衰减的。
• 当通过滤波器的频率等于截止频率时，相位滞后45度。
• 当通过滤波器的频率大于截止频率时，斜率很大，相位的滞后接近90度。

总结：仿真发现，加了一个电容，bode plot就出现了相移，而且这个相移是不超过90度的。

就会有一个问题，为什么加入电容会有一个90度的相移？

1. 从上面的串电阻仿真实验，电阻的电压和电流的相位是相同的，没有出现相移。

因为电阻上电压 $v(t)=R*i(t)$，若 $i(t)=sin(ωt+θ)$，则 $v(t)=R* sin(ωt+θ)$。 所以，电阻上电压与电流同相位。

2. 电容上的电流会超前电压90度相位（电压滞后电流90度相位）

电容的充放电原理：上面的RC一阶低通滤波器可以看作是VF2通过1K电阻对电容C进行充电，VF2的电势加在电容C的两个金属极板上，正负电荷在电势差作用下分别向电容的两个极板聚集而形成电场，这称为“充电”过程。若将VF2拿掉，在VF1上加一个负载，电容两端的电荷会在电势差下向负载流走，这称为“放电”过程。（流过电容的电流并不是真正穿过了极板的绝缘介质，指的是外部的电流）

衡量电容充电的电荷数是Q，Q=CV，C是常量，所以电荷数和电压呈正比。 $C=Q/V$，电容量，代表电容储存电荷的能力。微分表达式为 $C=dQ(t)/dV(t)$，电流是单位时间内电荷数的变化量，所以 $i(t)=dQ(t)/dt$，可得到 $i(t)=C*dv(t)/dt$，可以得到电容上的电流和电压的变化量是呈正比的，或者是电容上电压的变化量和电流是呈正比的。因为电容上电流 $i(t)=C*dv(t)/dt$，若 $v(t)=sin(ωt+θ)$，则 $i(t)=L*cos(ωt+θ)$。

从上面已经知道，电容的电压会滞后电流90度相位，并且电容上电压的变化量和电流是呈正比的，尝试将R1减小到100R，看幅频和相频特性，发现100R的相频曲线比1K的要平缓，因为在电容量一定的情况下，电流和电容上电压的变化量是呈正比的，电流越大，电压变化量越大。

如下，将C1设置为两个值1uF和4.7uF，得到的bode plot如下所示。会发现在1K电阻不变的情况下，增加了电容量，导致相移比1uF的严重，因为电流一定的时候，电容量越大，也就是充电时间越长，电压的变化量dv/dt越小。

• 极点加零点

如下在R1上并一个C2，将C2的值取10nF和1uF，发现得到的bode图如下所示。

C2=10nF时，曲线开始是平直的，达到极点时增益-3dB、相位-45度，然后增益以-20dB/dec的速度下降、相位趋向与-90度。但达到后面的零点后，增益的下降被零点的增益上升补偿，又成为平直，同时相位也会恢复到0度。

C2=1uF时，曲线几乎是接近于0的直线，相当于C1和C2进行分压，因为电阻R1的存在，所以还不是完美的直线。


将R1改为0R，得到如下的直线。

从上面我们知道了单极点是，曲线开始是平直的，达到极点时增益-3dB、相位-45度，然后增益以-20dB/dec的速度下降、相位趋向与-90度。

单零点是，即开始增益为平，零点频率过后增益以+20dB/dec的速度增加；相位曲线开始是0度，达到零点频率时相移45度，随后继续超前直到接近90度。

单极点




单零点

六、DC-DC中环路补偿介绍

环路增益（Loop gain）是以反馈回路为中心的增益，由误差放大器的增益和功率级增益（Power Stage）部分组成。

误差放大器的作用在前面已经说过了，用来将输出电压和参考电压进行比较，产生误差放大信号，利用此误差信号，来控制校准占空比，从而控制输出稳定的输出电压。

另一方面，DC-DC的负载调整率主要是由环路直流增益决定的，直流增益越高，负载调整率越好，负载调整率越好指的是负载变化时DC-DC调整输出电压的时间越短。因为误差放大器提供了大部分的直流增益，所以加在误差放大器的compensation主要是用来调整误差放大器的频率响应，通过对误差放大器的补偿，来达到了对这个控制环路的补偿，目的是对整个闭环系统进行修正，提供足够的相位余量和适当的带宽，提高系统的稳定性。

从以上我们就大概知道了补偿电路的作用。

如下是各个部分比较详细的构图。

七、利用MPS DC-DC Designer软件对DC-DC的稳定性进行仿真

1、使用的DC-DC是MP4560，配置是MPS默认配置，其中开关频率Fsw=500KHz

2、通过仿真可以得到小信号bode图。MPS给出三种，有Power Stage，Compensation和Loop Gain。

3、如下是用默认配置得到bode图

当负载电流发生变化时，最先开始进入的是误差放大和补偿环路，其实是一个阶跃输入响应，环路的带宽越大，阶跃输入信号过去的谐波就越多，就越接近原始输入阶跃信号，在这时间内，幅值和相位也会发生变化；带宽越小的话，通过的谐波数目就越少，对补偿环路来说，输出响应就会越缓和，当然这不是我们想要的，我们想要的是，负载电流变化时，DC-DC能立即响应，从而输出稳定的电压值。

默认的环路补偿器件参数

下图是默认的Power Stage，从下图可以看到，红线的相位图在开关频率处很抖，说明误差放大器和环路补偿的响应很快，说明补偿回路的的增益和带宽比较好，因为对Power Stage来说，补偿回路的输出响应就是其输入。

下图是得到的Compensation bode图，可以看出幅频曲线下降是比较平缓的，增益开始70dB左右，最好是缓慢的接近于0，相位一直补偿的零点也最后在开关频率附近。

尝试将C8 NC掉，会发现，幅频曲线下降很抖，而且相位曲线的斜率变小。


尝试将R5增大到120K，发现相位的零点，往左移了，也就是说，在500KHz的开关频率范围内，零点补偿并没有那么的宽泛，和之前的仿真有点相似，因为加在电容C7的电流变小了的，单位时间内，C7的电压变化量小。


下面是Loop Gain的波特图

从DC-DC的整个环路来看，相位裕量（PM）是65度左右。

从DC-DC的整个环路来看，增益裕量（GM）在-21dB左右。

在一些文档中，环路稳定规定的是：PM>45°，GM>-12dB

从负载电流和输出电压波形看，输出也是比较正常的，没有出现过阻尼或者欠阻尼的情况。

在TI的环路补偿文档中有说到，最佳相位裕量是52度，我们用默认的MPS参数，相位裕度在65度左右。

尝试将R5减小大37K，将整个环路的相位裕量提高到68度左右。


再看负载电流和输出电压的波形，输出出现过阻尼，比相位余量65度时的VOUT误差要大。

也就是说相位裕量也不宜过大，过大会造成输出的过阻尼。

尝试将R5增大到200K，DC-DC环路的相位裕量在14度左右，发现输出出现欠阻尼，不稳定的情况。

八、小结

对于一个DC-DC BUCK来说，系统环路的响应如下：负载跳变时，环路的响应可以拆分为2个部分，一个是power stage，一个是补偿环路。
1、假如负载突然加重时，会引起输出电压的降低，通过环路响应（包括放大器，补偿，比较器，芯片本身的器件延迟）
2、芯片知道这个变化后，会控制高边MOS管和低边MOS管，输入电压会加到LC上面，这个过程可以看做是LC的一个电压阶跃响应。

其中，补偿电路的带宽越大，这个变化的输入信号过去的谐波就越多，就越接近原始的输入信号，幅值和相位也会变化。带宽越小，通过的谐波数量就少，补偿环路的输出响应会缓和。

3、因为环路补偿的输出相当于power stage的输入，如果这个输入信号很抖，说明补偿部分的响应很快（取决于补偿环路的增益和带宽）

对于power stage部分，去除中间的脉宽调制部分的直流增益（DC增益），可以近似看成一个LC的滤波器，上管MOS打开后，或者打开的时间变长，对于这个LC的滤波器来说，就是二阶系统输入阶跃响应。这个响应的速度跟L，C和输出阻抗都有关系。

所以整个DC-DC环路的瞬态响应是这些部分共同作用的。

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