博弈论之SG博弈
SG博弈的命名源于SG函数和SG定理，而SG函数的出现则来自于一个简单的取石子游戏：
有1堆n个的石子，每次只能取{1,3,4}个石子，先取完石子者胜利，判断对于不同的n，先手能否取胜？
分析：
这个游戏和巴什博弈的不同在于：
SG博弈中取东西是无规则不连续的，而巴什博弈中取东西则是连续的
因此在讨论SG博弈时要复杂很多，在解答SG博弈类题目时我们需要用到SG函数
SG函数：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0
接下来看一下在1堆n个石子中，随n变化时SG函数值的变化（注意初始情况下可取石子为f[]={1,3,4}）
当 n=0 时，先手无法取走任何石子，故SG[0]=0
当 n=1 时，先手可取f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] } = mex{0} = 1
当 n=2 时，先手可取f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] } = mex{1} = 0
当 n=3 时，先手可取f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} = 1
当n=4 时，先手可取f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2
当 n=5 时，先手可取f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3
以此类推…
从上面可以看出求SG函数的过程如下：
1.首先定义SG[0]=0，且设可取石子的集合为f={ x1,x2,…,xn }（如上面的f={1,3,4}）
2.对于输入的n，求出集合 sg = n-f（要求集合sg中均为非负数，如上面n=3时，得到的sg={2,0}）
3.SG[i]=mex{sg}
根据这样的流程，最终可得到以下数据：
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | …… |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| SG[n] | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 2 | 0 | 1 | …… |
上表已经将SG函数的具体值求了出来，现在的问题是，得到的SG函数有什么用呢？
实际上SG函数为我们指示了先手在某个给定局势（即给定n）时，其能否取得最终的胜利（假设双方都采用最佳取法）：对于某个给定的i，若SG[i]=0则表示先手必败，反之必胜
---经典题型---
HDU1847 Good Luck in CET-4 Everybody!
问题描述
大学英语四级考试就要来临了，你是不是在紧张的复习？也许紧张得连短学期的ACM都没工夫练习了，反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当然，作为在考场浸润了十几载的当代大学生，Kiki和Cici更懂得考前的放松，所谓“张弛有道”就是这个意思。这不，Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松神经。
“升级”？“双扣”？“红五”？还是“斗地主”？
当然都不是！那多俗啊~
作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、 总共n张牌;
2、 双方轮流抓牌；
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？
当然，打牌无论谁赢都问题不大，重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。
Good luck in CET-4 everybody!
输入数据
输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含一个整数n（1<=n<=1000）。
输出数据
如果Kiki能赢的话，请输出“Kiki”，否则请输出“Cici”，每个实例的输出占一行。
样例输入
1
3
样例输出
Kiki
Cici
前面在学习巴什博弈的时候就遇到了这道题，当时是找到了一个规律：当n是3的倍数时先手必败
现在我们用SG博弈的方法再来解答本题，由于前面已经对SG博弈进行了详细的分析，这里就不再赘述
下面直接给出本题的完整代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1005;
int SG[N],f[N];
bool vis[N];
int mex(bool vis[]) //定义mex函数
{
for(int i=0;i<N;i++)
if(!vis[i]) return i;
}
void create_f() //构建f集合
{
f[0]=1;
for(int i=1;f[i-1]<N;i++)
f[i]=f[i-1]*2;
}
void create_sg() //构建sg函数
{
SG[0]=0;
for(int i=1;i<N;i++)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int j=0;f[j]<=i;j++)
vis[SG[i-f[j]]]=true;
SG[i]=mex(vis);
}
}
int main()
{
create_f();
create_sg();
int n;
while(cin>>n)
{
if(SG[n]) cout<<"Kiki"<<endl;
else cout<<"Cici"<<endl;
}
return 0;
}
