1. 感知机模型
输入为实例的特征向量， 输出为实例的类别， 取+1和-1；感知机对应于输入空间中将实例划分为正负两类的分离超平面， 属于判别模型；导入基于误分类的损失函数；利用梯度下降法对损失函数进行极小化；感知机学习算法具有简单而易于实现的优点， 分为原始形式和对偶形式；1957年由Rosenblatt提出， 是神经网络与支持向量机的基础。定义：假设输入空间（特征空间） 是x⊆Rn， 输出空间是 Y＝{+1,-1}。输入x∊x表示实例的特征向量， 对应于输入空间（特征空间） 的点； 输出y∊ Y表示实例的类别。 由输入空间到输出空间的如下函数：
称为感知机。其中， w和b为感知机模型参数， w∊Rn叫作权值（weight） 或权值向量（weight vector） ， b∊R叫作偏置（bias） ， w·x表示w和x的内积。 sign是符号函数， 即
。
感知机几何解释：
线性方程：
对应于超平面S， w为法向量， b截距， 分离正、 负类：
分离超平面：
2. 感知机学习策略
如何定义损失函数？
自然选择： 误分类点的数目， 但损失函数不是w,b 连续可导， 不宜优化。
另一选择： 误分类点到超平面的总距离。
距离：
误分类点：
误分类点距离： ：
假设超平面S的误分类点集合为M， 那么所有误分类点到超平面S的总距离为：
不考虑
， 就得到感知机学习的损失函数。给定训练数据集
其中， xi∊x＝Rn， yi∊ Y＝{+1,-1}， i＝1,2,…,N。 感知机sign(w·x+b)学习的损失函数定义为
其中M为误分类点的集合。 这个损失函数就是感知机学习的经验风险函数。
3. 感知机学习算法
求解最优化问题：
随机梯度下降法，
首先任意选择一个超平面， w， b， 然后不断极小化目标函数,损失函数L的梯度：
选取误分：
感知机学习算法的原始形式
输入： 训练数据集T＝{(x1， y1),(x2,y2),…,(xN,yN)}， 其中xi∊x＝Rn， yi∊ ＝{-1,+1}， i＝1,2,…,N； 学习率 (0< ≤1)；
输出： w,b； 感知机模型f(x)＝sign(w·x+b)。
（1） 选取初值w0,b0
（2） 在训练集中选取数据(xi， yi)
（3） 如果yi(w·xi+b)≤0：
（4） 转至（2） ， 直至训练集中没有误分类点。
这个可以说是最简单的感知机算法了，下面是用随机梯度下降实现的代码：
# 数据线性可分，二分类数据
# 此处为一元一次线性方程
class Model:
def __init__(self):
self.w = np.ones(len(data[0])-1, dtype=np.float32)
self.b = 0
self.l_rate = 0.1
# self.data = data
def sign(self, x, w, b):
y = np.dot(x, w) + b
return y
# 随机梯度下降法
def fit(self, X_train, y_train):
is_wrong = False
while not is_wrong:
wrong_count = 0
for d in range(len(X_train)):
X = X_train[d]
y = y_train[d]
if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
self.w = self.w + self.l_rate*np.dot(y, X)
self.b = self.b + self.l_rate*y
wrong_count += 1
if wrong_count == 0:
is_wrong = True
return 'Perceptron Model!'
其中data是你数据，是不是很简单。
感知机学习算法的对偶形式
输入： 线性可分的数据集T＝{(x1， y1),(x2， y2),…,(xN,yN)}， 其中xi∊Rn， yi∊{-1,+1}， i＝1,2,…,N； 学习率 （0<
≤1）；
输出： a,b； 感知机模型
其中a＝(a1,a2,…,aN)T 。
（1） a←0， b←0
（2） 在训练集中选取数据(xi， yi)
（3） 如果
,则
（4） 转至（2） 直到没有误分类数据。