在圆环内随机生成点

策划给了个需求，给定一个圆环，内径r1，外径r2，要在圆环内随机产生点，在这些点位置上生成法术场。那么如何在圆环内随机产生这些点呢？

在圆内随机生成点

首先考虑在圆内生成随机点。
最简单的方法是在一个R*R的正方形内随机选取一个点，判断随机生成的点是否在圆内即可。python代码如下：

import random
def generateRandomPoint(r):
    while True:
        x = random.uniform(-r, r)
        y = random.uniform(-r, r)
        if x * x + y * y <= r * r:
            return x,y

还有一个简单的方法是:
先随机x的值, 根据 $x^2+y^2<=r^2$，随机y的范围。
python代码如下:

import math
import random
def generateRandomPoint3(r):
    x = random.uniform(-r, r)
    square = math.sqrt(r*r-x*x)
    y = random.uniform(-square, square)
    return x,y

还有一个方法是根据半径和角度确定坐标
$r\in[o,R] \\ \theta\in[0,2\pi] \\ x = r * \cos(\theta) \\ y = r * \sin(\theta)$
python代码

import math
def generateRandomPoint1(r):
    random_r = random.uniform(0, r)
    random_theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)
    return random_r * math.cos(random_theta), random_r * math.sin(random_theta)

但是很明显，上面生成的点的数据不是均匀分布的。
原因：
我们期望随机生成的点在圆上是均匀分布的。假设在半径为1的圆内生成点。假设一开始半径是0.5，生成角度在 $[0,2\pi]$的点的密度明显要大于半径1.0，生成角度在 $[0,2\pi]$的点。

即圆的半径 $2\pi r$增长和半径 $r$正相关，即半径越大，需要的点也是线性增长的。即pdf也是线性增长的。由于pdf的面积大小是1，我们的半径长度是1，即

PDF表示概率密度函数（给出了变量落在某值xi邻域内（或者某个区间内）的概率变化快慢，概率密度函数的值不是概率，而是概率的变化率，概率密度函数下面的面积才是概率。见2）
那么如何根据一个均匀分布的随机生成函数random.uniform来产生我们需要的定点呢？

生成CDF（累计分布函数）

$CDF(x)=\int PDF=\int 2x = x^2$

交换x，y

$CDF:y=x^2\\ swap:x=y^2\\ solve:y=\sqrt x \\ CDF^{-1}=y=\sqrt x$

使用均匀分布函数带入

$CDF^{-1}(random())=\sqrt {random()}$

python代码

import math
def generateRandomPoint2(r):
    random_r = math.sqrt(random.uniform(0, r))
    random_theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)
    return random_r * math.cos(random_theta), random_r * math.sin(random_theta)

在圆环内随机生成点

最简单的方法是在一个R*R的正方形内随机选取一个点，判断随机生成的点是否在圆环内即可。python代码如下：

def generateRandomPointFromAnnulus(r1,r2):
    """
    在圆环内随机取点, r1<=r2
    :param r1: 内径
    :param r2: 外径
    :return:
    """
    assert r1<= r2
    while True:
        x = random.uniform(-r2, r2)
        y = random.uniform(-r2, r2)
        if x * x + y * y <= r2 * r2 and x * x + y * y >= r1 * r1:
            return x,y

第二种方法是随机先随机得到x的值，然后算出y的范围，随机y的值，python代码如下:

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import math
def generateRandomPointFromAnnulus1(r1,r2):
    """
    在圆环内随机取点, r1<=r2
    :param r1: 内径
    :param r2: 外径
    :return:
    """
    assert r1<= r2
    x = random.uniform(r1, r2)
    y = random.uniform(math.sqrt(x*x-r1*r1), math.sqrt(r2*r2-x*x))
    return x if random.uniform(-1,1) > 0 else -x, y if random.uniform(-1,1) > 0 else -y

类似求圆的概率密度函数，分布函数

生成CDF（累计分布函数）

和圆不一样，概率密度函数是从 $[r_{min},r_{max}]$,而不是 $[0,r_{max}]$

$CDF(x)=\int_{r_{min}}^{r_{max}} r dr= \frac{\pi r^2-\pi r_{min}^2}{\pi r_{max}^2-\pi r_{min}^2} = A(r^2 - r_{min}^2)\\ A = 1/(r_{max}*r_{max} - r_{min}*r_{min})$

交换x，y

$CDF:y=A(x^2 - r_{min}^2)\\ swap:x=A(y^2 - r_{min}^2)\\ solve:y=\sqrt {\frac {x}{A} + r_{min}^2} \\ CDF^{-1}=y=\sqrt {\frac {x}{A} + r_{min}^2}$

使用均匀分布函数带入

$CDF^{-1}(random())=\sqrt {\frac {random()}{A} + r_{min}^2}$

python代码

import math
def generateRandomPointFromAnnulus2(r1,r2):
    """
    在圆环内随机取点, r1<=r2
    :param r1: 内径
    :param r2: 外径
    :return:
    """
    assert r1<= r2
    a = 1 / (r2*r2-r1*r1)
    random_r = math.sqrt(random.uniform(0, 1) + r1 * r1)
    random_theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)
    return random_r * math.cos(random_theta), random_r * math.sin(random_theta)