计数基础

有重复元素的全排列:

 有k个元素,其中第i个元素有ni个,求全排列个数。

分析:令所有ni之和为n,再设答案为x。首先做全排列,然后把所有元素编号,其中第s种元素编号为1~ns。

这样做以后,由于编号后所有元素均不相同,方案总数为n的全排列为n!

根据乘法原理 n1!n2!n3!...nk!x=n!

求x。

可以想成每个ni!为该种排列位置上的不同编号的方案,但是因为实际上都是同一种元素,所以要剔除这种情况。

 

可重复选择的组合:

有n个不同元素,每个元素可以选多次,一共选k个元素,有多少种方法。

 

该问题可以转换成:  设第i个元素选xi个,求x1+x2+x3...+xn=k的非负整数解的个数,另yi=xi+1,

则答案为y1+y2+y3...+yn=k+n的正整数解的个数,想象有k+n个数字1排成一排,则问题等价于:

把这些1分成n个部分,有多少种方法?

相当于在k+n-1个候选分割线中选n-1个,即C(k+n-1,n-1)=C(n+k-1,k).

 

 

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