树上的动态规划总结(树型dp)

要想熟练的掌握树的动态规划的方法,必须先从模型入手。

树型dp讲究对于一个无向图,先以随机一点为根,建立以该点的树。

无根树转有根树方法原理:

以该根进行dfs,把搜索到的每一个点的父亲设置为该根,直到所有点有相应的父节点。

实现:

void dfs(int u,int fa){
	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(v!=fa){
			p[v]=u;
			dfs(v,u);
		}				
	}		
}

接下来,进一步深入3个模块。

1.树的独立最大子集

对于任何一棵树,选出尽量多的结点,使得任何两个结点均不相邻,输出一个最大独立子集。

分析:设d(i)表示以i为根的子树的最大独立子集的大小,有两种情况:

第一种情况:

选i,这样就表明i的孩子是没有被选中的。 转移方程:    d[u][1]+=dfs(v,u,0);

第二种情况:

不选i,这样的话,i的孩子可选可不选,以i为根的最大独立子集可以表示为:把i的所有以孩子为根的

最大独立子集相加,d[u][flag]+=max(dfs(v,u,1),dfs(v,u,0))

实现:

int  dfs(int u,int fa,int flag){
	if(d[u][flag])
	return d[u][flag];
	
	if(flag)d[u][flag]=u;

	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(v!=fa){
			p[v]=u;
			if(flag)
			d[u][flag]+=dfs(v,u,flag^1);
			else
			d[u][flag]+=max(dfs(v,u,flag),dfs(v,u,flag^1));
		}
	}
	return d[u][flag];
}

2.树的重心:

树的重心的定义为,去掉某个节点后,最大的连通块的节点数最小。

原理:

先找到以i为根的最大子树,这个最大子树就是删除i这个结点后,i的所有子树中的最大联通分量

然后用这个联通分量去和它父亲的那个联通分量比较,看看谁大,也就是说下面这张图中

i的最大子树去和右边方框里的去对比。

实现:

int dfs(int u,int fa){
	if(d[u])                        //可有可无,其实不需要记忆化,因为本来就没有重复计算 
	return d[u];
	
	int temp=0;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(v!=fa){
		
		d[u]+=dfs(v,u)+1;
	   temp=max(temp,d[v]+1);	        //找到以u的最大的子树并且维护 
	}
}
	temp=max(temp,n-d[u]-1);              //把以u为根的树删掉后的剩余的那个联通分支和u的最大子树比较 
	if(temp<size ){
		size=temp;
		num=u;
	}
	
	return d[u];
}

 

3.树的最长路径

对于一棵n个结点的无根树,找到一条最长路径,换句话说,找到两个点,使得他们的路径最长。

这个比较好想,随便找一结点做根,当建立的树有多个支路时,把最长和次长的路径加起来。

当建立的树只有一条路径时就把这个路径输出,因为该路径就是最长路径

下面的代码不仅可以找到选定结点的最长路,并且可以求出任意以i为根的树,从i开始到最长叶子的路径。

实现:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
vector<int> g[10];
vector<int> ans[10];
int d[10];

bool cmp(int a,int b){
	return a<b;
	
}

int dfs(int u,int fa){
	
	d[u]=0;
	int temp=0;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(v==fa) continue;
		if(v!=fa){
		d[u]=max(d[u],dfs(v,u)+1);	
			temp=max(temp,d[v]+1);
		}
	ans[u].push_back(temp);		
	} 
	
	return d[u];
}


int main(){
	int n;
	memset(d,0,sizeof(d));
	scanf("%d",&n);
		
	for(int i=0;i<n;i++){
		int a,b;
		scanf("%d %d",&a,&b);
		g[a].push_back(b);
		g[b].push_back(a);
	}
	
	printf("希望以谁作为根节点?\n");

	int root;
	scanf("%d",&root);
	dfs(root,-1);
	sort(ans[root].begin(),ans[root].end(),cmp);
	
	if(ans[root].size()>1){
	int a1=ans[root].size()-1;
	int a2=ans[root].size()-2;
	printf("%d ",ans[root][a1]+ans[root][a2]);
}
	else{
	int sum=ans[root][ans[root].size()-1];
	printf("树的最长路径为%d",sum);
	}
}

 

 

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