AtCoder AGC031D A Sequence of Permutations (群论、置换快速幂)

题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc031/tasks/agc031_d

题解

这居然真的是个找规律神题。。。

首先要明白置换的一些基本定义，置换\(p\)和\(q\)的复合\(a\)定义为\(a_i=p_{q_i}\), 记作\(a=pq\). 有定理\((pq)^{-1}=q^{-1}p^{-1}\).
显然题目里定义的\(f(p,q)=qp^{-1}\).
然后打表打出前几项:
\(a_1=p\)
\(a_2=q\)
\(a_3=qp^{-1}\)
\(a_4=qp^{-1}q^{-1}\)
\(a_5=qp^{-1}q^{-1}pq^{-1}\)
\(a_6=qp^{-1}q^{-1}p^2q^{-1}\)
\(a_7=qp^{-1}q^{-1}pqpq^{-1}\)
\(a_8=qp^{-1}q^{-1}pqp^{-1}qpq^{-1}\)
好像……规律并不明显啊……
好吧，结论是\(a_n=ga_{n-6}g^{-1}\), 其中\(g=qp^{-1}q^{-1}p\). (这是怎么看出来的……)
知道了结论，我们还是比较容易归纳证明的: 显然\(gg^{-1}=e\) (\(e\)为单位元，\(e_i=i\)), 于是\(a_n=(ga_{n-7}g^{-1})(ga_{n-8}g^{-1})^(-1)=ga_{n-7}a_{n-8}^{-1}g^{-1}=ga_{n-6}g^{-1}\).
于是设\(m'=\lfloor \frac{m-1}{6}\rfloor, n'=m-6m'\), \(a_n=g^{m'}n'g^{-m'}\), 直接快速幂计算即可，时间复杂度\(O(n\log m)\)或\(O(n)\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cassert>
#include<iostream>
using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
    if(f) return x;
    return -x;
}

const int N = 1e5;
const int lgM = 30;
int p[N+3],q[N+3],pp[N+3],qq[N+3];
int g[N+3],f[N+3],ff[N+3];
int tmp[N+3];
int aux[N+3];
int ans[N+3];
int a[7][N+3];
int n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&p[i]),pp[p[i]] = i;
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&q[i]),qq[q[i]] = i;
    for(int i=1; i<=n; i++) a[1][i] = p[i],a[2][i] = q[i];
    for(int k=3; k<=6; k++)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) a[k][a[k-2][i]] = a[k-1][i];
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) g[i] = q[pp[qq[p[i]]]],f[i] = i,tmp[i] = g[i];
    int nn = m%6==0?6:m%6; m = (m-1)/6;
    for(int i=0; m; i++)
    {
        if(m&(1<<i))
        {
            m-=(1<<i);
            for(int j=1; j<=n; j++) aux[j] = f[tmp[j]];
            for(int j=1; j<=n; j++) f[j] = aux[j];
        }
        for(int j=1; j<=n; j++) aux[j] = tmp[tmp[j]];
        for(int j=1; j<=n; j++) tmp[j] = aux[j];
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) ff[f[i]] = i;
    for(int i=1; i<=n; i++) ans[i] = f[a[nn][ff[i]]];
    for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}