直线与圆

前言

当涉及直线与圆的相关问题时，考查最多的知识点是其中的\(Rt\triangle\)。注：其中的\(Rt\triangle\)指半弦长与半径和弦心距构成的直角三角形。

典例剖析

例1 【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】直线\(l：kx-2y-3=0\)与圆\(C：(x-1)^2+(y+2)^2=4\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangle ABC\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)，则实数\(k\)的值为【】

$A.\cfrac{3}{2}$ $B.-\cfrac{3}{2}$ $C.\pm\cfrac{3}{2}$ $D.\pm \cfrac{1}{2}$

分析：由于圆的半径为\(r=2\)，故由\(\triangle ABC\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)可得，弦长\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则弦心距为\(1\)，

即点\(C\)到直线\(AB\)的距离为\(\cfrac{|k\times 1-2\times(-2)-3|}{\sqrt{k^2+4}}=1\)，解得\(k=\cfrac{3}{2}\)，故选\(A\)。