《图论及其应用》复习

一、重要概念

1. 图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图

  • :一个图是一个有序对<V, E>,记为G=(V, E),其中: 1) V是一个有限的非空集合,称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数;2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合,称为边集,其元素称为边,且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数

注:图G 的顶点集记为V(G),边集记为E(G)。图G 的顶点数(或阶数)和边数可分别用符号n(G)和m(G)表示

  • 简单图:无环无重边的图称为简单图。(除此之外全部都是复合图)

注:点集与边集均为有限集合的图称为有限图。只有一个顶点而无边的图称为平凡图。边集为空的图称为空图

  • 图的度序列:一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn)称为G的度序列

注:非负整数组(d1, d2,…., dn)是图的度序列的充分必要条件是:∑di 为偶数。度序列的判定问题为重点!

  • 图的图序列一个非负数组如果是某简单图的度序列,称它为可图序列,简称图序列
  • 补图:对于一个简单图G=(V, E),令集合E1={uv|u≠v, u, v∈V},则图H=(V,E1\E)称为G的补图
  • 自补图:若简单图G与其补图同构,则称G为自补图

注:自补图的性质

(1)若n阶图G是自补的(即image),则image


  • 联图:设G1,G2是两个不相交的图,作G1+G2,并且将G1中每个顶点和G2中的每个顶点连接,这样得到的新图称为G1与G2的联图。记为G1∨G2
  • 积图:设G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)是两个图,对点集V1×V2中的任意两个点u=(u1, u2)与v=(v1, v2),当(u1=v1和u2 adj v2)或(u2=v2和u1 adj v1)时,把u与v相连。如此得到的新图称为G1与G2的积图。记为记为G1×G2

例如:image

  • 偶图:所谓具有二分类(X, Y)的偶图(或二部图)是指一个图,它的点集可以分解为两个非空子集X和Y,使得每条边的一个端点在X中,另一个端点在Y中

注:偶图的判定定理:一个图是偶图当且当它不包含奇圈

2. 树、森林、生成树、最小生成树、根树、完全m元树

  • :不含圈的图称为无圈图,树是连通的无圈图

注:1、设G是具有n个点m条边的图,则下列命题等价:

(1)G 是树

(2)G 无环且任意两个不同点之间存在唯一的路

(3)G 连通,删去任一边便不连通

(4)G 连通,且 n = m + 1

(5)G 无圈,且 n = m + 1

(6)G 无圈,添加任何一条边可得唯一的圈

   2、几个结论

(1)树和森林都是简单图

(2)树和森林都是偶图

(3)每棵非平凡树至少含有两片树叶

(4)树是含有边数最少的连通图,成为最小连通图

(5)树是含有边数最多的无圈图

(6)假定(n,m)图G是由k棵树组成的森林,则m=n-k

(7)若G是树,且最大度大于等于k,则G至少有k片叶子


  • 森林:无圈图G为森林
  • 最小生成树:图G的一个生成子图T如果是树,称它为G的一棵生成树;若T为森林,称它为G的一个生成森林。 生成树的边称为树枝,G中非生成树的边称为弦

注:最小生成树的求法:Kruskal算法、破圈法、Prim算法

  • 根树:一棵非平凡的有向树T,如果恰有一个顶点的入度为0,而其余所有顶点的入度为1,这样的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根,出度为0的点称为树叶,入度为1,出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点
  • m元完全树:对于根树T,若每个分支点至多m个儿子,称该根树为m元根树;若每个分支点恰有m个儿子,称它为完全m元树

注:image

3. 途径(闭途径)、迹(闭迹)、路(圈)、最短路、连通图、连通分支、点连通度与边连通度

  • 途径(闭途径):给定图G = (V, E),w =v0e1v1e2…ekvk是G中点边交替组成的序列,其中vi∈V,ei∈E,若w满足ei的端点为vi-1与vi,则称w为一条从顶点v0到顶点vk的途径(或通道或通路),简称(v0, vk)途径。顶点v0和vk分别称为w的起点和终点,其他点称为内部点,途径中的边数称为它的长度。起点和终点相同的途径就称为闭途径(环游)
  • 迹(闭迹):边不重复的途径称为迹,起点终点相同的迹为闭迹(回路)
  • 路(圈):点不重复的迹称为路,起点终点相同的路成为圈
  • 最短路:连接u、v的长度最短的路的长度,也称u与v的距离,记作d(u,v)
  • 连通图:如果图G中任意两个点都是连通的,则G为连通图
  • 连通分支:在非连通图G中,每一个极大的连通部分为G的连通分支
  • 点连通度:对n阶非平凡连通图G,若G存在顶点割,则称G的最小顶点割中的点数为G的连通度;否则称n-1为其连通度。G的连通度符号表示为κ(G),简记为κ;非连通图或平凡图的连通度定义为0。
  • 边连通度:设G为连通图,称使G-E ′不连通的G的边子集E ′为G的边割,含有k条边的边割称为k边割。边数最少的边割称为最小边割

注:1、几个结论

(1)若图中两个不同点u与v间存在途径,则u与v间必存在路;若过点u存在闭迹,则过点u必存在圈。

(2)若过点u存在闭途径,则过点u不一定存在圈。

(3)在n(n≥2)阶连通图中,至少有n-1条边;如果边数大于n-1,至少有个圈

(4)若一个图G中的最小度大于等于2,则G中必然有圈

(5)若图G是不连通的,则其补图一定是连通图

(6)设图G为n阶图,若G中任意两个不相邻顶点u与v满足d(u)+d(v)≥n-1,则G是连通图且d(G)≤2

(7)若G是非平凡连通图,则v是G的割点当且仅当{v}是G的1顶点割

(8)完全图没有顶点割,实际上也只有以完全图为生成子图的图没有顶点割

4. 欧拉图、欧拉环游、欧拉迹、哈密尔顿圈、哈密尔顿图、哈密尔顿路、中国邮递员问题、最优H圈

  • 欧拉图:对于连通图G,如果G中存在经过每条边的闭迹,则称G为欧拉图,简称G为E图
  • 欧拉环游:欧拉闭迹又称为欧拉环游,或欧拉回路
  • 欧拉迹:对于连通图G,如果G中存在经过每条边的迹,则称该迹为G的一条欧拉迹
  • 哈密尔顿图:如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点,称这样的图为哈密尔顿图,简称H图
  • 哈密尔顿圈:经过的闭途径是G的一个生成圈,称为G的哈密尔顿圈
  • 哈密尔顿路:图G的经过每个顶点的路称为哈密尔顿路
  • 中国邮递员问题:图论模型为在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边 (允许重复) 且边权之和最小的闭途径,称之为最优环游。

注:

(1) 若图G是一个欧拉图,则找出G的欧拉回路即可。

(2)对一般图,其解法为:添加重复边以使G成为欧拉图G*,并使添加的重复边的边权之和为最小,再求G*的欧拉回路。

(3)image

  • 最优H圈(旅行售货员问题):图论模型:在赋权完全图G中求具有最小权的哈密尔顿圈,这个圈称为最优圈。采用边交换技术求解最优H圈,详情见PPT

5. 匹配、最大匹配、完美匹配、最优匹配、因子分解

  • 匹配:如果M是图G的边子集(不含环),且M中的任意两条边没有共同顶点,则称M是G的一个匹配或边独立集
  • 最大匹配:如果M是图G的包含边数最多的匹配,称M是G的一个最大匹配
  • 完美匹配:若最大匹配饱和了G的所有顶点,称它为G的一个完美匹配
  • 最优匹配:设G=(X, Y)是边赋权完全偶图,G中的一个权值最大的完美匹配称为G的最优匹配
  • 因子分解:所谓一个图G的因子分解,是指把图G分解为若干个边不重的因子之并

6.平面图、极大平面图、极大外平面图、平面图的对偶图

  • 平面图:如果能把图G画在平面上,使得除顶点外,边与边之间没有交叉,称G可以嵌入平面,或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法,称为G的一种平面嵌入,G的平面嵌入表示的图称为平面图
  • 极大平面图:设G是简单可平面图,如果G是Ki (1≤i≤4),或者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后,得到的图均是非可平面图,则称G是极大可平面图。极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图
  • 极大外平面图:若一个可平面图G存在一种平面嵌入,使得其所有顶点均在某个面的边界上,称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入,称为外平面图
  • 平面图的对偶图:给定平面图G,G的对偶图G*如下构造:1) 在G的每个面fi内取一个点vi*作为G*的一个顶点;2) 对G的一条边e,若e 是面 fi 与 fj 的公共边,则连接vi*与vj*,且连线穿过边e;若e是面fi中的割边,则以vi为顶点作环,且让它与e相交

7.边色数、点色数、色多项式

  • 边色数:设G是图,对G进行正常边着色需要的最少颜色数,称为G的边色数,记为χ'(G)
  • 点色数:对图G正常顶点着色需要的最少颜色数,称为图G的点色数,用χ(G)表示
  • 色多项式:对图进行正常顶点着色,其方式数Pk(G)是k的多项式,称为图G的色多项式

8.强连通图、单向连通图、弱连通图

  • 强连通图:若D的中任意两点是双向连通的,称D是强连通图
  • 单向连通图:若D的基础图是连通的,称D是弱连通图
  • 弱连通图:若D中任意两点是单向连通的,称D是单向连通图

二、重要结论

1、握手定理及其推论

定理1  图G中所有顶点的度数和等于边数的2倍。

推论1  在任何图中,奇点个数为偶数。

推论2  正则图的阶数和度数不同时为奇数。

2、Turan定理

定理2  若n阶简单图G不包含image,则G度弱于某个完全l 部图 H,且若G具有与H相同的度序列,则G≌H

3、树的性质

定理3 设T是(n, m)树,则m=n-1

4、最小生成树算法

Kruskal算法,Prim算法,破圈法。

5、偶图判定定理

定理4 图G是偶图当且仅当G中没有奇圈

6、Menger定理

定理5   (1) 设x与y是图G中的两个不相邻点,则G中分离点x与y的最小点数等于独立的(x, y)路的最大数目;(2) 设x与y是图G中的两个不相邻点,则G中分离点x与y的最小边数等于G中边不重的(x, y)路的最大数目。

7、欧拉图、欧拉迹的判定

定理6  下列命题对于非平凡连通图G是等价的:
(1)  G是欧拉图;
(2)  G的顶点度数为偶数;
(3)  G的边集合能划分为圈。

推论   连通非欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。

8、H图的判定

定理7 (必要条件)  若G为H图,则对V(G)的任一非空顶点子集S,成立:ω(G-S) ≤|S|。

定理8 (充分条件)  对于n≥3的简单图G,如果δ(G) ≥n/2,则G是H图。

定理9 (充分条件)  对于n≥3的简单图G,如果G中的任意两个不相邻顶点u与v,有d(u)+d(v) ≥n,则G是H图。

定理10 (闭包定理)   图G是H图当且仅当它的闭包是H图。

定理11 (度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1, d2,…,dn),其中d1≤d2≤…≤dn,并且n≥3。若对任意的m<n/2,或者dm>m,或者dn-m≥n-m,则G是H图。

定理12  设G是n阶简单图。若n≥3且image则G是H图;并且具有n个顶点image条边的非H图只有C1,n以及C2,5

9、偶图匹配与因子分解

定理13  设G=(X, Y)是偶图,则G存在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是:image

推论  若G是k (k>0)正则偶图,则G存在完美匹配。

定理14  在偶图中,最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。

定理15  K2n可一因子分解。

定理16  具有H圈的三正则图可一因子分解。

定理17  K2n+1可2因子分解。

定理18  K2n可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。

定理19  每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和。

10、平面图及其对偶图

1)平面图的次数公式

定理20  设G是平面图,则次数之和等于2倍的边数。

2)平面图的欧拉公式

定理21 (欧拉公式) 设G=(n, m)是连通平面图, φ是G的面数,则n-m+φ=2。

3)几个重要推论

推论1 设G是具有n个点m条边φ个面的连通平面图,如果对G的每个面f,有deg (f )≥l ≥3,则:image

推论2   设G=(n,m)是简单平面图,则m≤3n-6。

推论3  设G是简单平面图,则δ(G)≤5。

注:推论2的证明imageimage

4)对偶图的性质

定理22  平面图G的对偶图必然连通。

5)极大平面图的性质

定理23  设G是至少有3个顶点的平面图,则G是极大平面图,当且仅当G的每个面的次数是3且为简单图。

11、着色问题

1)边着色

定理24  完全二部图的边色数等于顶点度数的最大值。

定理25  二部图的边色数等于顶点度数的最大值。

定理26 若G是简单图,则边色数要么为最大度,要么等于最大度+1。

定理27  设G是简单图且Δ(G)>0。若G中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点,则边色数等于最大度。

定理28  设G是简单图。若点数n=2k+1且边数m>kΔ,则边色数等于最大度+1。

定理29  设G是奇数阶Δ正则简单图,若Δ>0,则边色数等于最大度+1。

2)点着色

定理30  对任意的图G,image

定理31 若G是连通的简单图,并且它既不是奇圈,又不是完全图,则image

3)色多项式

a)递推计数法

定理32 设G为简单图,则对任意e∈E(G),有image

b)、理想子图计数方法

12根树问题

定理32 在完全m元树T中,若树叶数为t,分支点数为i,则(m-1)i = t-1。


Note:以上为暂时的全部总结,在近些天复习的过程中发现漏洞会及时填补。


















































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